第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)高一數(shù)學(xué)必修一第一冊(cè)人教A版（2019）1.4充分條件與必要條件同步練習(xí)參考答案與題目解析知識(shí)點(diǎn)梳理一、命題一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.(判斷為真的語(yǔ)句是真命題，判斷為假的語(yǔ)句是假命題.)命題的形式:真命題“若p，則q”、“如果p，那么q”等.真命題例如:對(duì)頂角相等.可改寫(xiě)為:若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等.條件p結(jié)論q例1.判斷下列語(yǔ)句是不是命題，如果是命題，指出是真命題還是假命題.(1)任何負(fù)數(shù)都大于零;(2)△ABC與△CDE是全等三角形:(3)6是方程(x2)(x6)=0的解:(4)方程x22x+5=0有實(shí)數(shù)解.例1.[解答]：(1)任何負(fù)數(shù)都小于零，故該語(yǔ)句是命題，且是假命題。(2)兩個(gè)三角形為全等三角形是有條件的，本小題無(wú)法判斷真假，故不是命題.(3)6是所給方程的解，故該語(yǔ)句是命題，且是真命題.(4)由于給定方程的判別式△=44×5=16<0，可知給定方程x22x+5=0無(wú)實(shí)根，故該語(yǔ)句是命題，且為假命題,[故答案為](1)是命題，且是假命題；(2)不是命題；(3)是命題，且是真命題；(4)是命題,且是假命題.二、充分條件與必要條件的概念1.充分條件與必要條件的定義:一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過(guò)推理可以得出q.這時(shí)，我們就說(shuō)，由p可以推出q，記作pq，并且說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件.p:兩個(gè)角是對(duì)頂角q:這兩個(gè)角相等充分足夠必不可少如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作.此時(shí)，我們就說(shuō)p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.若p=q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分條件q是p的必要條件2.充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理之間的關(guān)系?結(jié)論1:一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.結(jié)論2:一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.例2.下列命題中，哪些命題是“四邊形是矩形”的充分條件?(1)四邊形的對(duì)角線相等:(2)四邊形的四條邊均相等;(3)四邊形有三個(gè)內(nèi)角都為直角;(4)四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且有一組對(duì)角互補(bǔ).例2.【解答】解:記條件中的語(yǔ)句為p，q:四邊形是矩形.(1)由于等腰梯形的對(duì)角線也相等，故，“四邊形的對(duì)角線相等”不是“四邊形是矩形”的充分條件:(2)由菱形的判定定理知四條邊均相等的四邊形是菱形，故,因此“四邊形的四條邊均相等”不是“四邊形是矩形”的充分條件:(3)由矩形的判定定理知有三個(gè)內(nèi)角都為直角的四邊形是是矩形，故pq,因此“四邊形有三個(gè)內(nèi)角都為直角”是“四邊形是矩形”的充分條件;(4)矩形的判定定理知兩組對(duì)邊分別平行且有一組對(duì)角互補(bǔ)四邊形是矩形，故pq，因此“四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且有一組對(duì)角互補(bǔ)”是“四邊形是矩形”的充分條件.[故答案為]:(3)、(4)例3.設(shè)x,y∈R,下列各式中哪些是“xy≠0”的必要條件?(1)x+y=0;(2)x2+y2>0;(3)x2+y2≠0;(4)x3+y3≠0.例3.【解答】解:記p:xy≠0，記條件中的語(yǔ)句為q.(1)因?yàn)閤y≠0,不妨取x=1,y=2,則x+y≠0,故,因此“x+y=0”不是“xy≠0”的必要條件.(2)因?yàn)閤y≠0，即x、y均不為0，所以x2+y2>0，故pq，因此“x2+y2>0”是“xy≠0”的必要條件.(3)因?yàn)閤y≠0，即x、y均不為0，所以x2+y2≠0，故pq，因此“x2+y2≠0”是“xy≠0”的必要條件.(4)因?yàn)閤y≠0,不妨取x=1,y=1，則x3+y3=0，故，因此“x3+y3≠0”不是“xy≠0”的必要條件.[故答案為]:(2)、(3).三、充要條件1.逆命題:將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題形式的命題，“若q，則p”，稱(chēng)這個(gè)命題為原命題的逆命題.2.如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有pq，又有qp，就記作：pq.此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)為充要條件(necessaryandsufficientcondition)。顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件.概括地說(shuō)，如果pq，那么p與q互為充要條件.例4.充要條件定義對(duì)于兩個(gè)陳述句α與β，如果既有________，又有_________，就稱(chēng)α是β的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件，記作αβ，讀作“α與β等價(jià)”或“α成立當(dāng)且僅當(dāng)β成立”.例4.【答案為】：充分條件，必要條件例5.設(shè)甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則甲是丁的()條件A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件例5.[正確答案]:A例6.下列各組命題中，p是q的什么條件?(請(qǐng)用“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分也不必要條件”回答)(1)p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等邊三角形;(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根，q:b24ac≥0;(3)p:x>y，q:x2>y2;(4)p:x>0，q:x>1.例6.【解答】(1)必要不充分條件.(2)充要條件.(3)既不充分也不必要條件.(4)充分不必要條件.四、幾何命題與充分條件、必要條件1、對(duì)于語(yǔ)句p和語(yǔ)句q，如果p?q，q?p，那么p是q的充要條件;2、判斷充要條件的過(guò)程是將原命題改寫(xiě)成逆命題，再判斷原命題和逆命題的真假;3、證明充要條件要關(guān)注兩個(gè)方面，既要證明充分性，又要證明必要性;4、體會(huì)充要條件和定義間的關(guān)系;5、認(rèn)識(shí)到在推理證明中，充要條件是進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的重要機(jī)遇.例7.寫(xiě)出“兩個(gè)三角形相似”的充要條件，它們可以作為相似三角形的定義嗎?例7.【解答】:“兩個(gè)三角形相似”的充要條件有:“一個(gè)三角形的的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等”;“兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等”;“一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例”;它們可以作為兩個(gè)三角形相似的定義.例8.求證:a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等邊三角形的充要條件.(這里a，b，c是△ABC的三邊邊長(zhǎng))例8.【解答】證明：先證明充分性:由a2+b2+c2=ab+ac+bc得2(a2+b2+c2)=2ab+2ac+2bc,整理得，(ab)2+(ac)2+(bc)2=0.所以a=b=c，即△ABC是等邊三角形.然后證明必要性:由△ABC是等邊三角形，則a=b=c,所以a2+b2+c2=ab+ac+bc.綜上所述，a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等邊三角形的充要條件.同步練習(xí)1.下列命題是真命題的是()A.若兩個(gè)三角形的面積相等，則這兩個(gè)三角形全等B.若平行四邊形的對(duì)角線相等，則這個(gè)四邊形是矩形C.存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得|x|<0D.所有可以被5整除的整數(shù)，末尾數(shù)字都是01.【解答】：若兩個(gè)三角形的面積相等，由三角形的面積公式可得這兩個(gè)三角形底與高的乘積相等，所以?xún)蓚€(gè)三角形不一定全等，故A錯(cuò)誤:由矩形的定義可知，若平行四邊形的對(duì)角線相等，則則這個(gè)四邊形是矩形，故B正確:因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)，|x|≥0，故C錯(cuò)誤:所有可以被5整除的整數(shù)，末尾數(shù)字都是0或者5，故D錯(cuò)誤:故選:B2.“x>5"是“x≥3”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.【解答】因?yàn)閤>5所表示的范圍要小于x≥3所表示的范圍，所以，“x>5"是“x≥3"的充分不必要條件.故選:A.3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.“A∩B=B”是“B=?"的必要不充分條件B.“x=3”的一個(gè)充分不必要條件是“x22x3=0”C."|x|=1”是“x=1"的必要不充分條件D.“m是實(shí)數(shù)”的一個(gè)充分不必要條件是“m是有理數(shù)”3.【解答】：“A∩B=B”是“B=?”的必要不充分條件，因此A中說(shuō)法正確:由x22x3=0，解得x=3或x=1,故“x=3”是“x22x3=0"的充分不必要條件，因此B中說(shuō)法錯(cuò)誤:“|x|=1”是“x=1”的必要不充分條件，因此C中說(shuō)法正確;“m是實(shí)數(shù)”的一個(gè)充分不必要條件是“m是有理數(shù)”，因此D中說(shuō)法正確.故選B.4.若α:{2}B{2,3,4}，β:B={2,4}，則α是β的().A.充分非必要條件:B.必要非充分條件:C.充要條件;D.既非充分又非必要條件.4.[答案為]：B.5..設(shè)x>0,y∈R,則“x>y”是“x>|y|”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件5.[答案為]:C6.關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0只有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件為()A.a≤0或a=1B.a<0或a=1C.a≥1或a=0D.a>1或a=0故選A.[總結(jié)]解決含參數(shù)的“一元二次方程”問(wèn)題時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)是不是0，從而對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，解題時(shí)防止遺漏導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.7.(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的是()A.若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似B.若x>5，則x>10C.若ac=bc，則a=bD.若0<x<5，則|x1|<17.【解答】：對(duì)于選項(xiàng)A，若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形一定相似，而兩個(gè)相似的三角形卻不一定全等，故A不正確:對(duì)于選項(xiàng)B，由x>5無(wú)法推出x>10，如6>5，但是6<10，反之成立，故B正確:對(duì)于選項(xiàng)C，由ac=bc無(wú)法得到a=b，如當(dāng)c=0，a=1，b=2時(shí)，有ac=bc，但是a≠b，反之成立，故C正確:對(duì)于選項(xiàng)D，若0<x<5，則1<x1<4，則|x1|<4，而若|x1|<1，則0<x<2,能推出0<x<5，故D正確.故選BCD.8.(多選)下列命題是真命題的是()A.所有平行四邊形的對(duì)角線互相平分B.若x，y是無(wú)理數(shù)，則xy一定是有理數(shù)C.若m<1，則關(guān)于x的方程x2+2x+m=0有兩個(gè)負(fù)根D.兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于它們對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)之比8.【解答】解：對(duì)于A，所有平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以A正確:對(duì)于B，當(dāng)x=,y=時(shí)，xy=是無(wú)理數(shù)，所以B錯(cuò)誤:對(duì)于C，由關(guān)于x的方程x2+2x+m=0有兩個(gè)負(fù)根，得m>0,△=44m>0解得0<m<1，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于它們對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)之比，所以D正確，故選:AD9.對(duì)于兩個(gè)陳述句α與β,如果_________，就稱(chēng)α是β的充分條件,亦稱(chēng)β是α的必要條件.如果既有_________，又有_________，就稱(chēng)α是β的充分必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件,記作_________，讀作__________________，或__________________.9.【答案為】：αβ，αβ，βα，αβ，“α與β等價(jià)”“α成立當(dāng)且僅當(dāng)β成立”10.下圖是由電池、開(kāi)關(guān)和燈泡組成的電路，假定所有零件均能正常工作，則電路中“開(kāi)關(guān)和有且只有一個(gè)閉合”是“燈泡亮”的__________________條件.(填“充分不必要”“必要不充分“充要”或“既不充分也不必要”)10.【解答】解：當(dāng)開(kāi)關(guān)和有且只有一個(gè)閉合時(shí)，燈泡亮，當(dāng)燈泡亮?xí)r，開(kāi)關(guān)和也有可能都閉合，故電路中“開(kāi)關(guān)和有且只有一個(gè)閉合”是“燈泡亮”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要11.判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由:(1)“a>b”是“ac2>bc2”的充分條件;(2)“x2≠1”是“x≠1”的必要條件;(3)“四邊形為正方形”是“四邊形為矩形”的充分而不必要條件:(4)“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件:(5)“x=1”是“(x1)(x2)=0”的充要條件;(6)“x∈A∩B”的充要條件是“x∈A”.11.【解答】(1)假命題.理由:當(dāng)c=0時(shí),“a>b”不能推出是“ac2>bc2”;故前者不是后者的充分條件，該命題為假命題；(2)假命題.理由:“x=1時(shí)x2=1”,“x2≠1”不是“x≠1”必要條件，該命題為假命題；(3)真命題.理由:四邊形為正方形則一定是矩形，但是矩形除了正方形還有長(zhǎng)方形，所以“四邊形為正方形”可以推出“四邊形為矩形”，但后者不能推出前者，故前者是后者的充分而不必要條件，該命題為真命題；(4)真命題.理由:由不等式性質(zhì)可知不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變，所以“a>b”可以推出“a+c>b+c”，反之也成立，該命題為真命題；(5)假命題.理由:(x1)(x2)=0解得x=1或x=2，故“(x1)(x2)=0”不能推出“x=1”，即“x=1”不是“(x1)(x2)=0”的必要條件，該命題為假命題；(6)假命題.理由xEA時(shí)，x不一定在A∩B的范圍內(nèi)，即“x∈A”不是“x∈A∩B”的充分條件，該命題為假命題.[總結(jié)]“必要而不充分條件”“充要條件”和“既不充分又不必要條件”12.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若a=b，則|a|=|b|;(2)兩條直線被同一條直線所截，若同位角相等，則這兩條直線平行;(3)若a>b，則<.12.【解答】:命題(1)(2)中的p是q的充分條件，命題(3)中的p不是q的充分條件;13.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件?(1)若四邊形兩條對(duì)角線垂直且相等，則這個(gè)四邊形是菱形;(2)若PA=PB，則點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn):(3)若ac2>bc2，則a>b.13.【解答】：命題(3)中的q是p的必要條件，命題(1)(2)中的q不是p的必要條件.14.判斷下列各組中，是否有“pq”或“qp”成立，并用必要條件的語(yǔ)言表述:(1)p:x>5，q:x>3;(2)p:ab=0，q:a=0;(3)p:x=1，q:x23x+2=0.14.【解答】：(1)“pq”成立，“x>3”是“x>5”的必要條件;(2)“qp”成立，“ab=0”是“a=0”的必要條件;(3)“pq”成立，“x23x+2=0”是“x=1”的必要條件.15.下列各組命題中,p是q的什么條件?(請(qǐng)用“充分不必要條件”,“必要不充分條件”,“充要條件”，“既不充分也不必要條件”回答)(1)p:BA；q:AUB=A;(2)p:0<x<3；q:|x1|<2;(3)p:兩圓的圓心距小于半徑之和；q:兩圓相交;(4)p:兩個(gè)三角形有兩組邊相等，一組角相等；q:兩個(gè)三角形全等;15.【解答】：(1)充要條件;(2)充分不必要條件;(3)必要不充分條件;(4)必要不充分條件