/北京市大興精華學校2023?2024學年高三下學期5月高考適應性考試數(shù)學試卷一、單選題1．已知為純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A．0 B．1 C． D．2．若集合，，則（

）A． B．C． D．3．已知平面向量，，則下列結論一定錯誤的是（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．5．已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為的直線與直線交于點A，點M在拋物線上，且滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．6．在的展開式中，x的系數(shù)為（

）A．9 B．15 C． D．7．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，下列結論正確的是（

）．A．是最小正周期為的偶函數(shù) B．點是的對稱中心C．在區(qū)間上的最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減8．已知直線與圓，則“，直線與圓有公共點”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．連接空間幾何體上的某兩點的直線，如果把該幾何體繞此直線旋轉角，使該幾何體與自身重合，那么稱這條直線為該幾何體的旋轉軸.則正方體的旋轉軸共有（

）A．7條 B．9條C．13條 D．14條10．已知函數(shù)，則下列命題不正確的是（

）A．當時，有唯一極小值 B．存在定直線始終與曲線相切C．存在實數(shù)a，使為增函數(shù) D．存在實數(shù)a，使為減函數(shù)二、填空題11．已知，若，則.12．雙曲線的焦點坐標是.13．已知，，若對任意實數(shù)x都有恒成立，則滿足條件的一組有序數(shù)對為.14．在數(shù)學發(fā)展史上，已知各除數(shù)及其對應的余數(shù)，求適合條件的被除數(shù)，這類問題統(tǒng)稱為剩余問題.1852年《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”問題的解法傳至歐洲，在西方的數(shù)學史上將“物不知其數(shù)”問題的解法稱之為“中國剩余定理”，“物不知其數(shù)”問題后經(jīng)秦九韶推廣，得到了一個普遍的解法，提升了“中國剩余定理”的高度.現(xiàn)有一個剩余問題：在的整數(shù)中，把被除余數(shù)為，被除余數(shù)為，被除余數(shù)也為的數(shù)，按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，則數(shù)列的項數(shù)為.15．在棱長為6的正方體中，E為棱上一動點，且不與端點重合，F(xiàn)，G分別為，的中點，給出下列四個結論：①平面平面；②平面可能經(jīng)過的三等分點；③在線段上的任意點H（不與端點重合），存在點E使得平面；④若E為棱的中點，則平面與正方體所形成的截面為五邊形，且周長為.其中所有正確結論的序號是.三、解答題16．中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，，.（1）求的大?。唬?）若，求的面積.17．如圖（1），在中，，，將沿折起到的位置，E，F(xiàn)分別為，上的動點，過作平面，交于點Q，使得平面，如圖（2）.（1）證明：；（2）若，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.條件①：平面平面；條件②：.18．某居民小區(qū)某棟樓共有10戶家庭入住，若該樓住戶在2024年4月的用電量（單位：度）如下圖所示：

若電力公司組織了線上抽獎活動，各住戶抽獎相互獨立，但對用電量不同的住戶，系統(tǒng)設定了如下中獎率：用電量中獎率50%50%（1）在該樓中隨機抽取一戶家庭，求其4月用電量不低于30度的概率；（2）在該樓隨機抽取2戶家庭，以X表示中獎的戶數(shù)，試求X的分布列和期望；（3）以頻率估計概率，在該小區(qū)隨機抽取2戶家庭，以Y表示中獎的戶數(shù)，試比較與的大小關系.（結論不要求證明）19．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求曲線與曲線的交點個數(shù).20．已知橢圓的左、右焦點分別為，，且點在橢圓上，動點C，D分別在直線和橢圓上.（1）求橢圓的標準方程及其焦點坐標；（2）若橢圓上存在一點E，使得四邊形是矩形，求點D的橫坐標.21．已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且定義數(shù)列的“相鄰數(shù)列”為，其中或(1)已知，數(shù)列，寫出的所有“相鄰數(shù)列”；(2)已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且的所有“相鄰數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求這樣的數(shù)列的個數(shù)；(3)已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且存在的一個“相鄰數(shù)列”，對任意的，求的最小值．

參考答案1．【答案】D【詳解】因為，又為純虛數(shù)，所以，解得.故選D2．【答案】C【詳解】,又所以故選C3．【答案】D【詳解】對于A：若，則，解得，故A正確；對于B：若，則，解得，故B正確；對于C：因為，，顯然，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選D4．【答案】B【詳解】對于A，函數(shù)是奇函數(shù)，A錯誤；對于B，函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，令，得，當時，在上單調(diào)遞減，B正確；對于C，函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)性有增也有減，C錯誤；對于D，函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，，函數(shù)在上一定不是減函數(shù)，D錯誤；故選B.5．【答案】C【詳解】由題意可得，故過F且斜率為的直線方程為，令，則由題，因為，所以垂直于直線，故，又M在拋物線上，所以由，所以.故選C.6．【答案】A【詳解】易知，的展開式中，沒有x項；因為的展開式的通項為：，令，即，所以展開式中，x的系數(shù)為；又因為的展開式的通項為：，令，即，所以展開式中，x的系數(shù)為；綜上，在的展開式中，x的系數(shù)為，故選A.7．【答案】D【詳解】，向左平移個單位長度得到函數(shù)，則，對于A：由以上解析可得為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B：當時，，故B錯誤；對于C：因為函數(shù)的遞增區(qū)間為，即，同理得函數(shù)的遞減區(qū)間為所以是的一個遞減區(qū)間，又當時，，所以，故C錯誤；對于D：由C的解析可知，所以遞減區(qū)間為，所以當時可得，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選D8．【答案】B【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，當，直線與圓有公共點時，恒成立，即恒成立，則且，解得，即或（舍去）所以“，直線與圓有公共點”是“”的必要不充分條件，故選B.9．【答案】C【詳解】由對稱性結合題意可知，過正方體相對面中心的連線為旋轉軸，如圖中，此類共3條，此時旋轉角α最小為90°，以正方體的體對角線為旋轉軸，如圖中，此類共有4條，此時旋轉角α最小為120°，以正方體對棱的中點連線為對稱軸，如圖中，此類共有6條，此時旋轉角α最小為180°，綜上，這個正方體的旋轉軸共有13條．故選C．10．【答案】C【詳解】對于A，當時，，，令，則，由得或，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，所以在內(nèi)存在唯一零點，使得，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有唯一極小值，故A正確；

對于B，，因為，，所以存在定直線始終與曲線相切，故B正確；對于C，由B可知，不論為何值，恒成立，故不能為增函數(shù)，故C錯誤；對于D，當時，，令，，令，則，所以當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以是單調(diào)遞減函數(shù)，故D正確.故選C.11．【答案】或【詳解】因為且，所以或，解得或.12．【答案】，【詳解】因為雙曲線的焦點在軸上，，，所以雙曲線的焦點坐標是，.13．【答案】（答案不唯一）【詳解】，若對任意實數(shù)x都有恒成立，則，或，由，得，因為，令，得，由，得，因為，令，得，所以滿足條件的一組有序數(shù)對為或.14．【答案】【詳解】依題意既是的倍數(shù)也是的倍數(shù)還是的倍數(shù)，也就是的倍數(shù)，所以，即，令，∴，又因為，所以共項.15．【答案】①③④【詳解】如圖所示建立直角坐標系，以為原點，以分別為為正方向，，，設①，因為，所以是平面內(nèi)兩條相交直線，則平面，平面，因此平面平面，①正確；②取點為的三等分點，即或，設平面的法向量為，，則，令，所以當時，，若在平面中，，解得不合題意；當時，，若在平面中，，解得不合題意；②錯誤；③在線段上的任意點H（不與端點重合），設，則，由上可知平面的法向量為，若存在點E使得平面，則有，即，解得所以當時成立，③正確；④延長三線相交于點，連接分別交直線于點,因為E為棱的中點，則平面與正方體所形成的截面為五邊形，在正方體中，，根據(jù)三角形相似可得，則，，因此周長為.④正確.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由已知得，由正弦定理得得，得（2）法一：由（1）知，代入得，由余弦定理得得或①當時，②當時，法二：代入得∵，∴，或①時，②時，17．【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【詳解】（1）因為，所以，，又因為、平面，，所以平面，而平面，所以平面平面，因為平面平面，平面平面，所以．（2）選擇條件①：平面平面，因為，，所以為二面角的平面角，因為平面平面，所以，所以建立如圖空間直角坐標系，又，所以E，F(xiàn)，Q分別是PC，BC，CD的中點，，，，，，平面的法向量為，設平面的法向量為，則得，令，則，，所以，設二面角的平面角為，則，由題可知，二面角為鈍二面角則，二面角的余弦值為，選擇條件②：，因為平面，平面，所以，因為，，BC，平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，因為，，所以建立如圖空間直角坐標系，又，所以E，F(xiàn)，Q分別是，，的中點，，，，，，平面的法向量為，設平面的法向量為，則得，令，則，，所以，設二面角的平面角為，則，由題可知，二面角為鈍二面角，則，二面角的余弦值為．18．【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）【詳解】（1）記“在該樓中隨機抽取一戶家庭，其4月用電量不低于30度”為事件A，在該樓10個住戶中，用電量不低于30度的共戶，故概率估計值；（2）解法1：X的所有可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為：012X的期望值，解法2：X的所有可能取值為0，1，2，，，，X的分布列為：X012PX的期望值；（3）Y的所有可能取值為0，1，2，，，，則，故.19．【答案】(1)(2)交點個數(shù)為1【分析】（1）借助導數(shù)的結合意義計算即可得；（2）原問題可轉化為函數(shù)在上的零點個數(shù)問題，借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性后結合零點的存在性定理即可判斷.【詳解】（1）由，則，，則，所以切線方程為，即；（2）令，故，令，，令，，當時，，，，∴，∴在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，又，，∴在上有唯一的零點，設為，即，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又，，，∴在上有且只有一個零點，在上無零點，∴曲線與曲線的交點個數(shù)為1.20．【答案】（1）方程為，焦點坐標為，（2）橫坐標為或【詳解】（1）由題設，解得，.所以橢圓G的方程為.焦點坐標為，（2）設，，，，因為四邊形是矩形，一定為平行四邊形，所以，則，，所以，D，E都在橢圓上，，變形得①，又，所以，即，則，②②代入①得，解得：或，若時，，，此時C與重合，D點坐標為；若時，聯(lián)立，可得：，解得：，因為，所以，所以D點橫坐標為或.21．【答案】(1)；；；.(2)11個(3)37【分析】（1）根據(jù)相鄰數(shù)列的概念直接求解即可；（2）任取的一個“相鄰數(shù)列”，根據(jù)相鄰數(shù)列的概念可得且，對于的取值分情況討論，利用為遞增數(shù)列可得是公差為1的等差數(shù)列，列不等式組求解即可；（3）令可得對任意，設，證明與要么是空集，要么是連續(xù)自然數(shù)構成的集合，進而根據(jù)定義求解即可.【詳解】（1）根據(jù)“相鄰數(shù)列”的概念可知，，或，或，所以的所有“相鄰數(shù)列”有；；；.（2）任取的一個“相鄰數(shù)列”，因為或，或，所以有且，對于的取值分以下4種情形：（a），（b），（c），（d）由數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，前3種情形顯然都能得到，所以只需考慮第4種情形，遞增，，即，由是遞增的整數(shù)數(shù)列得，從而是公差為1的等差數(shù)列，于是，則，即滿足數(shù)列的有11個.（3）令，所以對任意，設，則且，先證明與