南寧市高中一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.已知集合A={x|x2-5x+6≥0},B={x|2x-1>0},則A∩B等于（）

A.(-∞,2)∪(3,+∞)

B.(2,3)

C.[2,3]

D.(-∞,2)∪[3,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z=1+2i的模為|z|，則|z|等于（）

A.1

B.2

C.√5

D.3

4.直線y=kx+b與圓(x-1)2+(y-2)2=5相切，則k的取值范圍是（）

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.[-1,1]

C.(-1,1)

D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

5.已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)為2，公差為3，則a??的值等于（）

A.29

B.30

C.31

D.32

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

7.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

8.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角余弦值等于（）

A.-1/5

B.1/5

C.-4/5

D.4/5

9.已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p的值等于（）

A.1/2

B.2

C.4

D.8

10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值等于（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的是（）

A.y=x2

B.y=sin(x)

C.y=ex

D.y=log?(2)

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?等于（）

A.2?3^(n-1)

B.3?2^(n-1)

C.2?3^(n+1)

D.3?2^(n+1)

3.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）

A.-2

B.-1

C.1

D.2

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線y=-x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-a,-b)

B.(-b,-a)

C.(b,a)

D.(-b,a)

5.下列命題中，真命題的是（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若a2>b2，則a>b

C.不存在實(shí)數(shù)x使得sin(x)+cos(x)=2

D.函數(shù)y=tan(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},則A∪B=_______.

2.計(jì)算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=_______.

3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，邊BC長為6，則邊AC長等于_______.

4.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/9+y2/4=1，則該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_______.

5.若函數(shù)f(x)=x2+bx+1在x=1處的切線斜率為3，則實(shí)數(shù)b的值等于_______.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值。

2.解不等式：log?(x+1)-log?(x-1)>1。

3.已知向量a=(3,-1)，向量b=(-2,4)，求向量a與向量b的夾角θ的余弦值cosθ。

4.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知圓C的方程為(x-2)2+(y-3)2=4，直線L的方程為y=kx。若直線L與圓C相交于兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，求直線L的斜率k的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求x-1>0，即x>1。

2.C解不等式x2-5x+6≥0得(x-2)(x-3)≥0，解集為x∈(-∞,2]∪[3,+∞)。解不等式2x-1>0得x>1/2。則A∩B=[3,+∞)∩(1/2,+∞)=[3,+∞)。注意原選項(xiàng)D錯(cuò)誤，應(yīng)為[3,+∞)。

3.C|z|=√(12+22)=√5。

4.C圓心(1,2)，半徑r=√5。直線與圓相切，則圓心到直線的距離d等于半徑r。即|k*1-1*2+b|/√(k2+12)=√5。兩邊平方得|k-2+b|2=5(k2+1)。展開并整理得(k-2+b)2=5k2+5。即k2-4k+4+4kb+b2=5k2+5。整理得4k2-(4+4b)k+(b2-1)=0。該關(guān)于k的一元二次方程有唯一解，則判別式Δ=[-(4+4b)]2-4*4*(b2-1)=0。即(4+4b)2-16(b2-1)=0。16+32b+16b2-16b2+16=0。48+32b=0。32b=-48。b=-3/2。將b=-3/2代入判別式Δ=0的條件，確保方程有解。將k替換為2-b/2=2-(-3/2)/2=2+3/4=11/4。檢查k=11/4是否滿足原距離公式：|11/4-2+(-3/2)|/√((11/4)2+1)=|11/4-8/4-6/4|/√(121/16+16/16)=|-3/4|/√(137/16)=3/4/(√137)/4=3/√137。而r=√5。顯然3/√137≠√5。需要重新檢查判別式計(jì)算。原方程|k-2+b|=√5(k2+1)。平方得(k-2+b)2=5(k2+1)。k2-4k+4+2kb+b2=5k2+5。4k2-(4+2b)k+(b2-9)=0。判別式Δ=(4+2b)2-16(b2-9)=0。16+16b+4b2-16b2+144=0。-12b2+16b+160=0。3b2-4b-40=0。解得b=(4±√(16+4*3*40))/(2*3)=(4±√(16+480))/6=(4±√496)/6=(4±4√31)/6=2±2√31/3。當(dāng)b=2+2√31/3時(shí)，k=(4+2b)/(2*2)=(4+4+4√31)/12=8+4√31)/12=2+√31/3。當(dāng)b=2-2√31/3時(shí)，k=(4+2b)/(2*2)=(4+4-4√31)/12=8-4√31)/12=2-√31/3。需要檢驗(yàn)k=2+√31/3時(shí)，d=r。|k-2+b|/√(k2+1)=√5。|2+√31/3-2+2-2√31/3|/√((2+√31/3)2+1)=√5。|4-4√31/3|/√(4+4*2√31/3+31/9+1)=√5。4|1-√31/3|/√(45/9+8√31/3+31/9)=√5。4|3-√31|/√(76/9+8√31/3)=√5。4|3-√31|/√((76+24√31)/9)=√5。4|3-√31|/((√76+√24√31)/3)=√5。12|3-√31|/(√76+√744)=√5。顯然不等于√5。因此，k=2-√31/3。當(dāng)k=2-√31/3時(shí)，b=2-2√31/3。檢驗(yàn)d=r。|k-2+b|/√(k2+1)=√5。|2-√31/3-2+2-2√31/3|/√((2-√31/3)2+1)=√5。|4-4√31/3|/√(4-4*2√31/3+31/9+1)=√5。4|1-√31/3|/√(45/9-8√31/3+31/9+1)=√5。4|1-√31/3|/√(76/9-8√31/3)=√5。4|3-√31|/√((76-24√31)/9)=√5。4|3-√31|/((√76-√24√31)/3)=√5。12|3-√31|/(√76-√744)=√5。由于√76<√744，分母為負(fù)數(shù)，此解不合理。所以只有k=2-√31/3。簡化k=2-√31/3。k=6/3-√31/3=(6-√31)/3。k=2-√31/3。因此k的取值范圍是(-1,1)。選擇C。

5.Ca??=a?+(10-1)d=2+9*3=2+27=29。選擇A。

6.A內(nèi)角和為180°。C=180°-A-B=180°-60°-45°=180°-105°=75°。選擇A。

7.AT=2π/|ω|。這里ω=2。T=2π/2=π。選擇A。

8.Bcosθ=(a?*b?+a?*b?)/(√(a?2+a?2)*√(b?2+b?2))。cosθ=(1*3+2*(-4))/(√(12+22)*√(32+(-4)2))=(3-8)/(√5*√(9+16))=(-5)/(√5*√25)=-5/(√5*5)=-5/(5√5)=-1/√5=-√5/5。選擇B。

9.B焦點(diǎn)坐標(biāo)為(Fx,Fy)。根據(jù)方程y2=2px，焦點(diǎn)在x軸正半軸，坐標(biāo)為(Fx,0)。Fy=0。由焦點(diǎn)定義，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離p/2=1。所以p=2。選擇B。

10.Cf'(x)=3x2-3。f'(1)=3*12-3=3-3=0。選擇B。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.B,Cy=sin(x)是奇函數(shù)，滿足f(-x)=-f(x)。y=ex是指數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。y=x2是偶函數(shù)，滿足f(-x)=f(x)。y=log?(2)是冪函數(shù)變形，非奇非偶。選擇B,C。

2.A,Ba?=a?*q^(n-1)。a?=a?*q=6。a?=a?*q3=54。將a?代入得a?*q=6。將a?代入得a?*q3=54。將a?*q=6代入第二個(gè)式子得(6/q)*q3=54。6q2=54。q2=9。q=3或q=-3。若q=3，則a?*3=6=>a?=2。通項(xiàng)a?=2*3^(n-1)。若q=-3，則a?*(-3)=6=>a?=-2。通項(xiàng)a?=-2*(-3)^(n-1)=-2*(-1)^(n-1)*3^(n-1)=2*(-3)^(n-1)。即a?=2*3^(n-1)或a?=2*(-3)^(n-1)。選項(xiàng)A是其中一種形式。選項(xiàng)B是a?=2*3^(n-1)的另一種寫法。選項(xiàng)C和D形式不同。選擇A,B。

3.A,Cf'(x)=3ax2-3。f'(1)=3a*12-3=3a-3。因在x=1處取極值，則f'(1)=0。3a-3=0=>a=1。此時(shí)f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0得x=1或x=-1。當(dāng)a=1時(shí)，f'(x)=3(x-1)(x+1)。列表分析：

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)

f'(x)+0-0+

f(x)↗極大值↘極小值↗

故x=1處為極小值點(diǎn)，符合題意。當(dāng)a=-1時(shí)，f'(x)=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1)。列表分析：

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)

f'(x)-0+0-

f(x)↘極小值↗極大值↘

故x=1處為極大值點(diǎn)，符合題意。選擇A,C。

4.B,D關(guān)于y=-x對稱，設(shè)對稱點(diǎn)為P'(x',y')。有中點(diǎn)公式：(x+x')/2=0=>x'=-x。(y+y')/2=-x=>y+y'=-2x=>y'=-2x-y。所以對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-x,-y)。選項(xiàng)B為(-b,-a)。選項(xiàng)D為(-b,a)。當(dāng)P(a,b)代入，B為(-b,-a)，即(-b,-a)。D為(-b,a)，即(-b,a)。根據(jù)對稱變換公式y(tǒng)'=-2x-y，若原點(diǎn)P(0,0)對稱于P'(a,b)，則b=-2*0-0=0。若P(1,1)對稱于P'(a,b)，則b=-2*1-1=-3。若P(2,3)對稱于P'(a,b)，則b=-2*2-3=-7。所以B(-b,-a)是正確的。D(-b,a)是錯(cuò)誤的。所以正確答案應(yīng)為B。題目選項(xiàng)設(shè)置有誤，但按計(jì)算B正確。選擇B。

5.C,DA.若a=1,b=-2，則1>-2，但12>(-2)2(1>4)不成立。命題假。

B.若a=-2,b=1，則(-2)2>12(4>1)成立，但-2>1不成立。命題假。

C.sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。由于sin函數(shù)值域?yàn)閇-1,1]，√2sin(x+π/4)的最大值為√2。因此sin(x)+cos(x)≤√2<2。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)sin(x+π/4)=1，即x+π/4=2kπ+π/2，x=2kπ+π/4(k∈Z)。此時(shí)sin(x)=1,cos(x)=0。所以不存在實(shí)數(shù)x使得sin(x)+cos(x)=2。命題真。

D.y=tan(x)在定義域內(nèi)(非kπ+π/2,k∈Z)是增函數(shù)。例如在(-π/2,π/2)內(nèi)，tan(x)=sin(x)/cos(x)，sin(x)和cos(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)且cos(x)不為0，tan(x)嚴(yán)格遞增。命題真。

選擇C,D。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.(-∞,2)∪[3,+∞)A=(-1,3)。B=[1,+∞)。A∪B=(-1,3)∪[1,+∞)=(-∞,3)∪[1,+∞)=(-∞,2)∪[3,+∞)。

2.4lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x+2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

3.2√3在△ABC中，sinA=a/BC,sinB=b/AC,sinC=c/AB。a=AC,b=BC=6,c=AB,A=45°,B=60°。sin45°=√2/2,sin60°=√3/2。由正弦定理a/sinA=b/sinB=>AC/√2/2=6/√3=>AC=6*(√2/2)/(√3/2)=6*√2/√3=6√6/3=2√6。或者使用余弦定理。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)。C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°。cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4。AC2=BC2+AB2-2*BC*AB*cosC=62+AB2-2*6*AB*(√6-√2)/4=36+AB2-3AB(√6-√2)。AC2=(2√6)2=24。所以24=36+AB2-3AB(√6-√2)。AB2-3AB(√6-√2)-12=0。令x=AB，x2-3√6x+6x+12=0。x2-3√6x+6x+12=0。x2+(6-3√6)x+12=0。使用求根公式x=[-b±√(b2-4ac)]/2a。x=[-6+3√6±√((6-3√6)2-4*1*12)]/2。x=[-6+3√6±√(36-36√6+54-48)]/2=[-6+3√6±√(90-36√6)]/2。x=[-6+3√6±√(36(2.5-√6))]/2。x=[-6+3√6±6√(2.5-√6)]/2。x=-3+3√6/2±3√(2.5-√6)。需要檢驗(yàn)?zāi)膫€(gè)解是實(shí)數(shù)。顯然這個(gè)解法復(fù)雜且可能出錯(cuò)。使用正弦定理更簡單。sinA=AC/BC=>AC=BC*sinA=6*(√2/2)=3√2。sinA=√2/2。AC=2√3。選擇2√3。

4.(±√5,0)橢圓x2/9+y2/4=1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2+y2/b2=1(a2>b2)。a2=9,b2=4。a=3,b=2。焦點(diǎn)在x軸上，c2=a2-b2=9-4=5。c=√5。焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±c,0)=(±√5,0)。

5.-1f'(x)=2x+b。f'(1)=2*1+b=2+b=3。解得b=1。選擇-1。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.令f(x)=|x-1|+|x+2|。分段討論：

當(dāng)x<-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-x+1-x-2=-2x-1。

當(dāng)-2≤x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=-x+1+x+2=3。

當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=x-1+x+2=2x+1。

在區(qū)間[-3,3]上，f(x)的值為：

當(dāng)x=-3時(shí)，f(-3)=-2*(-3)-1=6-1=5。

當(dāng)x∈[-2,1)時(shí)，f(x)=3。

當(dāng)x=3時(shí)，f(3)=2*3+1=6+1=7。

比較端點(diǎn)和區(qū)間內(nèi)的值，最小值為3，最大值為7。

答：最小值為3，最大值為7。

2.解不等式：log?(x+1)-log?(x-1)>1。

根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則，log?(x+1)/log?(x-1)>1=>log?((x+1)/(x-1))>log?(3)。

由于對數(shù)函數(shù)y=log?(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以有(x+1)/(x-1)>3。

解不等式：(x+1)>3(x-1)。x+1>3x-3。1+3>3x-x。4>2x。x>2。

同時(shí)需要滿足對數(shù)的定義域：x+1>0=>x>-1。x-1>0=>x>1。所以x>1。

綜合得x>2。

答：解集為{x|x>2}。

3.向量a=(3,-1)，向量b=(-2,4)。向量a與向量b的夾角θ的余弦值cosθ=(a?*b?+a?*b?)/(√(a?2+a?2)*√(b?2+b?2))。

cosθ=(3*-2+-1*4)/(√(32+(-1)2)*√((-2)2+42))=(-6-4)/(√(9+1)*√(4+16))=-10/(√10*√20)=-10/(√10*2√5)=-10/(2√50)=-10/(2*5√2)=-10/(10√2)=-1/√2=-√2/2。

答：cosθ=-√2/2。

4.計(jì)算：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

方法一：多項(xiàng)式除法。被除式x2+2x+3，除式x+1。

x+1|x2+2x+3

-(x2+x)

---

x+3

-(x+1)

---

2

所以(x2+2x+3)/(x+1)=x+1+2/(x+1)。

∫(x+1+2/(x+1))dx=∫xdx+∫1dx+∫2/(x+1)dx

=x2/2+x+2*ln|x+1|+C

=x2/2+x+2ln|x+1|+C。

方法二：湊微分。令u=x+1，則du=dx。x=u-1。

∫((u-1)2+2(u-1)+3)/udu=∫(u2-2u+1+2u-2+3)/udu=∫(u2+2)/udu=∫(u+2/u)du=∫udu+∫2/udu

=u2/2+2ln|u|+C=(x+1)2/2+2ln|x+1|+C。

答：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=x2/2+x+2ln|x+1|+C。

5.圓C：(x-2)2+(y-3)2=4。圓心C(2,3)，半徑r=2。直線L：y=kx。圓心C到直線L的距離d=|2k-3|/√(k2+1)。

直線與圓相交于兩點(diǎn)，則d<r。|2k-3|/√(k2+1)<2。

兩邊平方得(2k