測量不確定度評定考試題答案一、明確被測量與測量方法被測量為標(biāo)稱質(zhì)量100g標(biāo)準(zhǔn)砝碼的實(shí)際質(zhì)量\(m\)（單位：g）。測量方法采用直接比較法，使用型號為XX的電子天平（最大稱量200g，分度值0.1mg，校準(zhǔn)證書給出最大允許誤差MPE為±0.5mg，檢定周期內(nèi)狀態(tài)穩(wěn)定），在溫度\((20\pm2)^\circ\text{C}\)、相對濕度\(50\%\pm10\%\)的實(shí)驗室環(huán)境下，對砝碼進(jìn)行10次獨(dú)立重復(fù)測量，記錄示值\(m_i\)（\(i=1,2,\dots,10\)），取平均值作為測量結(jié)果。二、建立數(shù)學(xué)模型測量結(jié)果的數(shù)學(xué)模型為：\[m=\overline{m_d}+\deltam\]式中：\(\overline{m_d}\)為10次測量示值的平均值（g）；\(\deltam\)為天平的系統(tǒng)誤差修正值（g），由校準(zhǔn)證書給出\(\deltam=0.2mg\)（即天平示值需減去0.2mg以修正系統(tǒng)誤差）。三、識別不確定度來源通過分析測量過程，不確定度主要來源包括：1.測量重復(fù)性引入的不確定度\(u_1\)（A類評定）；2.電子天平最大允許誤差引入的不確定度\(u_2\)（B類評定）；3.溫度變化引起的砝碼熱膨脹引入的不確定度\(u_3\)（B類評定）；4.空氣浮力修正引入的不確定度\(u_4\)（B類評定）；5.校準(zhǔn)修正值的不確定度\(u_5\)（B類評定）。四、各不確定度分量的評定1.測量重復(fù)性引入的不確定度\(u_1\)（A類評定）在相同條件下對砝碼進(jìn)行10次重復(fù)測量，得到示值數(shù)據(jù)如下（單位：g）：100.0012,100.0015,100.0010,100.0013,100.0011,100.0014,100.0012,100.0013,100.0011,100.0012。計算平均值：\[\overline{m_d}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}m_i=100.00123\,\text{g}\]單次測量的實(shí)驗標(biāo)準(zhǔn)差\(s\)按貝塞爾公式計算：\[s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}(m_i\overline{m_d})^2}{n1}}=\sqrt{\frac{(100.0012100.00123)^2+\dots+(100.0012100.00123)^2}{9}}\]計算得\(s=0.00013\,\text{g}=0.13\,\text{mg}\)。由于測量結(jié)果取平均值，平均值的實(shí)驗標(biāo)準(zhǔn)差為：\[u_1=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0.13\,\text{mg}}{\sqrt{10}}\approx0.041\,\text{mg}\]自由度\(\nu_1=n1=9\)。2.電子天平最大允許誤差引入的不確定度\(u_2\)（B類評定）天平校準(zhǔn)證書給出MPE為±0.5mg，假設(shè)示值誤差在區(qū)間\([0.5\,\text{mg},+0.5\,\text{mg}]\)內(nèi)服從均勻分布，包含因子\(k=\sqrt{3}\)，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：\[u_2=\frac{0.5\,\text{mg}}{\sqrt{3}}\approx0.289\,\text{mg}\]由于MPE信息可信度較高，估計自由度\(\nu_2\approx\infty\)。3.溫度變化引起的砝碼熱膨脹不確定度\(u_3\)（B類評定）砝碼材料為不銹鋼，線膨脹系數(shù)\(\alpha=(10.5\pm0.5)\times10^{6}\,^\circ\text{C}^{1}\)（校準(zhǔn)證書給出），實(shí)驗室溫度波動范圍為\(\DeltaT=\pm2^\circ\text{C}\)。砝碼實(shí)際質(zhì)量隨溫度變化的修正公式為：\[\Deltam_T=m_0\cdot\alpha\cdot\DeltaT\]式中\(zhòng)(m_0=100\,\text{g}\)為標(biāo)稱質(zhì)量。溫度變化的標(biāo)準(zhǔn)不確定度\(u(\DeltaT)=2^\circ\text{C}/\sqrt{3}\approx1.1547^\circ\text{C}\)（假設(shè)溫度在區(qū)間\([2^\circ\text{C},+2^\circ\text{C}]\)內(nèi)均勻分布）；線膨脹系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度\(u(\alpha)=0.5\times10^{6}\,^\circ\text{C}^{1}\)（校準(zhǔn)證書給出的擴(kuò)展不確定度除以\(k=2\)，假設(shè)正態(tài)分布）。由于\(\Deltam_T\)是\(\alpha\)和\(\DeltaT\)的函數(shù)，采用不確定度傳播律：\[u_3=\sqrt{\left(\frac{\partial\Deltam_T}{\partial\alpha}\cdotu(\alpha)\right)^2+\left(\frac{\partial\Deltam_T}{\partial\DeltaT}\cdotu(\DeltaT)\right)^2}\]計算偏導(dǎo)數(shù)：\[\frac{\partial\Deltam_T}{\partial\alpha}=m_0\cdot\DeltaT=100\,\text{g}\times2^\circ\text{C}=200\,\text{g}\cdot^\circ\text{C}\]\[\frac{\partial\Deltam_T}{\partial\DeltaT}=m_0\cdot\alpha=100\,\text{g}\times10.5\times10^{6}\,^\circ\text{C}^{1}=1.05\times10^{3}\,\text{g}\cdot^\circ\text{C}^{1}\]代入數(shù)據(jù)：\[u_3=\sqrt{\left(200\times0.5\times10^{6}\right)^2+\left(1.05\times10^{3}\times1.1547\right)^2}\,\text{g}\]\[=\sqrt{\left(1.0\times10^{4}\,\text{g}\right)^2+\left(1.212\times10^{3}\,\text{g}\right)^2}\approx1.216\times10^{3}\,\text{g}=1.216\,\text{mg}\]（注：此處因溫度波動范圍較大，實(shí)際中需注意是否超過天平精度，但為示例保留計算）自由度\(\nu_3\)由\(u(\alpha)\)和\(u(\DeltaT)\)的自由度合成，假設(shè)\(u(\alpha)\)自由度\(\nu(\alpha)=10\)，\(u(\DeltaT)\)自由度\(\nu(\DeltaT)=\infty\)，則\(\nu_3\approx\frac{u_3^4}{\frac{u(\alpha)^4}{\nu(\alpha)}+\frac{u(\DeltaT)^4}{\nu(\DeltaT)}}\approx10\)（近似）。4.空氣浮力修正引入的不確定度\(u_4\)（B類評定）空氣浮力修正公式為：\[m=m_d\cdot\frac{1\rho_a/\rho_m}{1\rho_a/\rho_r}\]式中：\(\rho_a\)為空氣密度（\(\text{kg/m}^3\)），\(\rho_m\)為砝碼密度（\(\text{kg/m}^3\)），\(\rho_r\)為參考密度（通常取\(8000\,\text{kg/m}^3\)）。實(shí)驗室環(huán)境下，空氣密度\(\rho_a=(1.20\pm0.05)\,\text{kg/m}^3\)（由溫濕度計和氣壓計測量，擴(kuò)展不確定度\(U=0.05\,\text{kg/m}^3\)，\(k=2\)），則\(u(\rho_a)=0.05/2=0.025\,\text{kg/m}^3\)；砝碼密度\(\rho_m=(8000\pm20)\,\text{kg/m}^3\)（校準(zhǔn)證書給出，擴(kuò)展不確定度\(U=20\,\text{kg/m}^3\)，\(k=2\)），則\(u(\rho_m)=20/2=10\,\text{kg/m}^3\)；參考密度\(\rho_r=8000\,\text{kg/m}^3\)，假設(shè)其不確定度可忽略（\(u(\rho_r)\approx0\)）。由于\(\rho_a\ll\rho_m\)和\(\rho_a\ll\rho_r\)，可近似\(\frac{1\rho_a/\rho_m}{1\rho_a/\rho_r}\approx1+\rho_a\left(\frac{1}{\rho_r}\frac{1}{\rho_m}\right)\)，因此浮力修正量\(\deltam_b\approxm_d\cdot\rho_a\left(\frac{1}{\rho_r}\frac{1}{\rho_m}\right)\)。不確定度傳播律計算\(u_4\)：\[u_4=\sqrt{\left(\frac{\partial\deltam_b}{\partial\rho_a}\cdotu(\rho_a)\right)^2+\left(\frac{\partial\deltam_b}{\partial\rho_m}\cdotu(\rho_m)\right)^2}\]計算偏導(dǎo)數(shù)：\[\frac{\partial\deltam_b}{\partial\rho_a}=m_d\left(\frac{1}{\rho_r}\frac{1}{\rho_m}\right)=100\,\text{g}\times\left(\frac{1}{8000}\frac{1}{8000}\right)=0\]（注：若\(\rho_m=\rho_r\)，浮力修正為0，此處假設(shè)\(\rho_m=8020\,\text{kg/m}^3\)以體現(xiàn)差異）修正假設(shè)\(\rho_m=8020\,\text{kg/m}^3\)，則：\[\frac{\partial\deltam_b}{\partial\rho_a}=100\,\text{g}\times\left(\frac{1}{8000}\frac{1}{8020}\right)\approx100\times(1.25\times10^{4}1.247\times10^{4})=100\times3\times10^{7}=3\times10^{5}\,\text{g}\cdot\text{m}^3/\text{kg}\]\[\frac{\partial\deltam_b}{\partial\rho_m}=m_d\cdot\rho_a\cdot\frac{1}{\rho_m^2}=100\,\text{g}\times1.20\,\text{kg/m}^3\times\frac{1}{(8020)^2}\approx100\times1.20\times1.55\times10^{8}\approx1.86\times10^{6}\,\text{g}\cdot\text{m}^3/\text{kg}\]代入數(shù)據(jù)：\[u_4=\sqrt{\left(3\times10^{5}\times0.025\right)^2+\left(1.86\times10^{6}\times10\right)^2}\,\text{g}\]\[=\sqrt{\left(7.5\times10^{7}\,\text{g}\right)^2+\left(1.86\times10^{5}\,\text{g}\right)^2}\approx1.86\times10^{5}\,\text{g}=0.0186\,\text{mg}\]自由度\(\nu_4\)由\(u(\rho_a)\)和\(u(\rho_m)\)的自由度合成，假設(shè)均為\(\nu=10\)，則\(\nu_4\approx10\)。5.校準(zhǔn)修正值的不確定度\(u_5\)（B類評定）校準(zhǔn)證書給出修正值\(\deltam=0.2\,\text{mg}\)，其擴(kuò)展不確定度\(U=0.1\,\text{mg}\)（\(k=2