/函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的圖象圖象變換主要有:平移變換、伸縮變換、對稱變換等。引理函數(shù)圖象對稱性的判定若定義在
上的函數(shù)
滿足
,則
的圖象關(guān)于直線
對稱。若定義在
上的函數(shù)
滿足
,則
的圖象關(guān)于點對稱。引理函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。注:①引理中)是對一個函數(shù)而言的,引理中的兩個命題是對兩個函數(shù)而言的。②證明的思路是一樣的,即任取一點
求其對稱點
驗證對稱點是否在函數(shù)圖象上
最后由點的任意性得證。函數(shù)的值域(最值)的求法常用方法有:配方法:如果所給的函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的形式,一般采用配方法,但在求解時,要注意作為二次函數(shù)形式的自變量的取值范圍。判別式法:將所給函數(shù)
看作是關(guān)于
的方程。若是關(guān)于
的一元二次方程,則可利用判別式大于等于來求
的取值范圍,但要注意取等號的問題。換元法:將一個復(fù)雜的函數(shù)中某個式子當(dāng)作整體,通過換元可化為我們熟知的表達(dá)式,這里要注意所換元的表達(dá)式的取值范圍。利用函數(shù)單調(diào)性法:如果所給的函數(shù)是熟悉的已知函數(shù)的形式,則可利用函數(shù)的單調(diào)性來示值域,但要注意其單調(diào)區(qū)間。反函數(shù)法：若某函數(shù)存在反函數(shù),則可利用互為反函數(shù)兩個函數(shù)的定義域與值域互換,改求反函數(shù)的定義域。利用均值不等式法。構(gòu)造法:通過構(gòu)造相應(yīng)圖形,數(shù)形結(jié)合求出最值。.函數(shù)的單調(diào)性與其應(yīng)用()函數(shù)與其反函數(shù)在各自的定義域上具有相同的單調(diào)性。()對于復(fù)合函數(shù)
,若
與
的單調(diào)性相同,則
是增函數(shù);若
與
的單調(diào)性相反,則
是減函數(shù)。()若
與
是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù),當(dāng)
與
都是增（減)函數(shù)時,
也必為增（減)函數(shù);當(dāng)
與
恒大于,且
與
都是單調(diào)遞增(減)的,則
也是單調(diào)遞增(減)的。(）函數(shù)的單調(diào)性主要有以下應(yīng)用:利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域（或最值）;利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式;利用函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍;利用函數(shù)的單調(diào)性解方程等等。.函數(shù)的奇偶性與其應(yīng)用()函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是圖象關(guān)于原點對稱;函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于
軸對稱。()定義域關(guān)于原點對稱的任何一個函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和的形式。()若函數(shù)是奇函數(shù),則其反函數(shù)也為奇函數(shù),反之亦然。(）函數(shù)的奇偶性主要有以下應(yīng)用:求函數(shù)值；求函數(shù)表達(dá)式；判斷函數(shù)的單調(diào)性：如果已知具有奇偶性的函數(shù)
在區(qū)間

上的單調(diào)性,由奇偶函數(shù)的對稱性可直接判斷
在
上的單調(diào)性。函數(shù)的周期性對于函數(shù)
,如果存在一個不為零的正數(shù)
,使得當(dāng)
取定義域中的每一個數(shù)時,
總成立,那么稱
是周期函數(shù),
稱為這個周期函數(shù)的周期。若定義在
上的函數(shù)
滿足
,
,則
是周期函數(shù),且周期為
。若定義在
上的函數(shù)
滿足
,
,則
是周期函數(shù),且周期為
。函數(shù)的對稱與周期的關(guān)系:若定義在
上的函數(shù)
既關(guān)于直線
對稱,又關(guān)于直線
對稱,且
,則
是周期函數(shù),且
是周期。若定義在
上的函數(shù)
既關(guān)于直線
對稱,又關(guān)于點
對稱,且
,則
是周期函數(shù),且
是周期。鞏固練習(xí):一選擇題下面列舉的四個函數(shù)中,滿足性質(zhì)
的函數(shù)
是()。已知
(
為實數(shù)),且
,則
的值是()。隨的值而定設(shè)
是定義在實數(shù)集
上的函數(shù),且滿足:()
;()
。則
是()。偶函數(shù),又是周期函數(shù)偶函數(shù),但不是周期函數(shù)奇函數(shù),又是周期函數(shù)奇函數(shù),但不是周期函數(shù)對于一切實數(shù)
、
,函數(shù)
滿足方程
,且
,那么,
的整數(shù)
的個數(shù)共有（）個。函數(shù)
()。是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)若
,則()。二解答題設(shè)
。若
是從
到
的一個映射,且滿足()
,對任何
;(）,對任何
。證明：存在一個實數(shù)
,使得對任何
均有
。函數(shù)
定義在
上,對定義域中任意數(shù)
,在定義域中存在
,
,使
,
,且滿足以下三個條件:若
,
或
,則
；
(
是正常數(shù));當(dāng)
時,
。試證:()
是奇函數(shù);（)
是周期函數(shù),并求出其周期；(）
在
內(nèi)是減函數(shù)。.若函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值為
,最大值為
,求
..函數(shù)
在
上連續(xù),
,且對任意不同的
,都有
,求證：
。答案提示:一、選擇題:.二、解答題:.分析:要證此問題,因
是從
到
的映射,所以只要證明對任意
均有
即可。證明：由（）,（）得令
,
,任意
。則即又，即關(guān)于對稱。由的對稱性可知
,
,任意的

(）式變成即。再由
的任意性可知,又有
,于是
。
存在一個實數(shù)
使得,對任意
均有
。.證明：（）對任意
,由條件①知,在定義域內(nèi)存在
,使
,且
,有所以為奇函數(shù)。()因
是奇函數(shù),
,故
,于是
,(?。┤?則，則(ⅱ)若
則，可見仍有綜上所述,
為周期函數(shù),
是一個周期。()先證
在區(qū)間
上是減函數(shù)。事實上,任取
,
滿足
,則
,又有
,根據(jù)題設(shè)條件①,③,有
,
,且
,故
,知
在區(qū)間
上是減函數(shù)。當(dāng)
時,又任取
,
,滿足
,則
,有，所以,
在
內(nèi)也是減函數(shù)。雖然,由上述推導(dǎo)過程知,對于任意的
,總有
,即
在區(qū)間
內(nèi)是減函數(shù)。.解:由條件知函數(shù)
是頂點為
,對稱軸為
,開口向下的拋物線,在區(qū)間
上的最小值為
,最大值為
,對區(qū)間
的位置分別討論如下:（）若
,則
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,故滿足，即，解得
,
,
區(qū)間
。()若
,則
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,故
,即
。由
,故
,而
,所以
在
時取最小值
,即
,解得
。所以。（）若
,則
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,即