第05講圓的方程題型梳理題型梳理易錯分析易錯點一對圓的標準方程的結構形式把握不準致誤易錯點二忽視方程表示圓的條件致誤題型方法題型一圓的標準方程及其求法題型二點與圓的位置關系題型三對圓的一般方程的理解題型四求圓的一般方程知識清單知識清單知識點01圓的定義平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點就是圓心，定長就是半徑.知識點02圓的方程1.圓的標準方程方程(xa)2+(yb)2=r2(r>0)叫作以點(a，b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程.特別地，當a=b=0時，方程為x2+y2=r2(r>0)，表示以原點為圓心，r為半徑的圓.2.圓的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)叫作圓的一般方程，化為標準形式為x+D22+y+E22=D①當D2+E24F=0時，方程表示一個點?D②當D2+E24F<0時，方程不表示任何圖形；③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓時，B=0，A=C≠0.知識點03點與圓的位置關系已知圓C的標準方程為(xa)2+(yb)2=r2(r>0)或一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)，設所給點為M(x0，y0)，則點與圓的位置關系如下表：位置關系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上MC=r(x0a)2+(y0b)2=r2(或x02+y02+Dx點在圓內MC<r(x0a)2+(y0b)2<r2(或x02+y02+Dx點在圓外MC>r(x0a)2+(y0b)2>r2(或x02+y02+Dx易錯分析易錯分析【易錯點一】對圓的標準方程的結構形式把握不準致誤【答案】A【分析】求出圓心關于直線的對稱點即可得解.故選：A【答案】BC故選：BC【變式2】（多選）（2122高二·江蘇·單元測試）已知圓C關于x軸對稱，經過點(0，1)，且被y軸分成兩段，弧長之比為2∶1，則圓C的方程為（

）【答案】CD【分析】由題意，設C(a,0)，結合被y軸分成兩段的弧長比有|a|＝，根據弦長、半徑、弦心距的幾何關系求參數(shù)a，即可寫出圓的方程.【詳解】由圓C關于x軸對稱，可設圓心C(a,0)，又圓C被y軸分成的兩段弧長之比為2∶1，∴|a|＝，則()2＋1＝r2，得r2＝，a＝±，故選：CD．【易錯點二】忽視方程表示圓的條件致誤【答案】B【分析】根據二元二次方程表示圓的條件列不等式求解即可.故選：B.【答案】B故選：B.【分析】根據二元二次方程與圓的一般式方程之間的關系直接列式求解即可.【答案】分類討論，詳見解析題型方法題型方法【題型一】圓的標準方程及其求法【答案】B【分析】由題可得兩直線交點，即可根據圓的標準方程性質求解圓的方程.故選：B解題技巧求圓的標準方程的方法(1)幾何法：確定圓的標準方程只需確定圓心坐標和半徑，常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．(2)待定系數(shù)法：【答案】B又圓的半徑與對稱圓的半徑相等都為2，故選：B.【分析】首先分析題意，利用圓的基本性質即可得出答案.【變式3】（2324高二上·江蘇淮安·階段練習）分別根據下列條件求圓的標準方程：【分析】（1）首先由題意可以先求出圓的半徑，然后結合圓心即可直接寫出圓的標準方程.（2）首先由待定系數(shù)法求出圓的一般方程，然后將其化為標準形式即可.【題型二】點與圓的位置關系A．在圓內 B．在圓上C．在圓外 D．與a的取值有關【答案】C∴點P在圓外.故選：C．解題技巧判斷點與圓的位置關系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大?。?2)代數(shù)法：把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．【答案】C【分析】通過方程表示圓及點在圓外，構造不等式求解即可.故選：C.【答案】故答案為：【分析】由點與圓的位置關系建立不等關系，解不等式即可得答案.【題型三】對圓的一般方程的理解【答案】A故選：A.解題技巧圓的一般方程的辨析(1)由圓的一般方程的定義，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，則表示圓，否則不表示圓．(2)將方程配方后，根據圓的標準方程的特征求解．【答案】A【分析】將圓的一般方程轉化為標準方程，從而求得圓心坐標.故選：A.C．曲線圍成的圖形的面積大于5【答案】ACD

C選項，曲線圍成的圖形的面積可分割為邊長為的正方形和4個半徑為的半圓，

故選：ACD【點睛】方法點睛：研究曲線方程其圖形的對稱性，作出圖形，數(shù)形結合進行求解是解曲線方程問題常用技巧.【答案】【分析】將圓的一般式方程化為標準式，即可得到半徑.故答案為:.【題型四】求圓的一般方程【例4】（2223高二·江蘇）過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法設出圓的一般方程，將三個點的坐標代入得到方程組，求出圓的方程.故選：A解題技巧應用待定系數(shù)法求圓的方程(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).【分析】用待定系數(shù)法先設圓C的一般方程，再將圓C經過的點代入方程求出未知量即可得解.(2)若點關于直線的對稱點為，求點到直線的距離．(2)【分析】（1）設外接圓的一般方程，代入點的坐標計算得解；（2）求出點關于直線的對稱點D，再由點到直線的距離求解即可.好題必刷好題必刷一、單選題【答案】D【分析】配方后可得圓心坐標和半徑．故選：D．【答案】B【分析】利用圓的標準方程直接寫出圓心即可.故選：B【答案】D故選：D【答案】A【分析】根據條件，直接求出圓心和半徑，即可求解.故選：A.【答案】D故選：D.二、多選題A． B．0 C． D．【答案】BC【分析】配方后，利用半徑的平方大于0，得到不等式，解不等式求出實數(shù)a的取值范圍.故選：BCA．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上D．所有圓的面積均為4【答案】AB故答案為：AB.三、填空題【分析】設圓的一般方程，然后將點代入組成方程組解出即可.【答案】【分析】利用配方法化圓的一般方程為圓的標準方程即可求解.故答案為：【答案】2故答案為：2四、解答題(1)求圓的方程；【分析】（1）計算的垂直平分線，計算交點得到圓心，再確定半徑得到答案.13．（2023高二上·江蘇·專題練習）某河上有一座圓拱橋，其跨度為30m，圓拱高為5m，一船寬為10m，上面載有貨物，水面到船頂高為4m，問該船能否順利通過該橋？【答案】能以圓拱橋的橫截面與水面的交線所在的直線為x軸，過圓拱最高點且垂直于水面的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，∵