考研數(shù)學(xué)一(一元函數(shù)微分學(xué))模擬試

卷1(共9套)

(共279題)

考研數(shù)學(xué)一(一元函數(shù)微分學(xué))模擬試

卷第1套

一、選擇題(本題共6題，每題分，共6分。)

1、設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=l,f(l)=0,則在(0,1)內(nèi)至少

存在一點。使()

A小)T

A、c

/(E)=嘈

OxS

/(€)=-邛

C、s

D、所壁

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點解析：設(shè)F(x)=xf(x),則F(x)在［0,1］上滿足羅爾定理的條件，故存在

年(0,1),使得(xf(x))'Ix=e。，即F+f(&)=0,有E所以選A.

2、f(x)=xex的x階麥克勞林公式為

丁+彳2+W+…_|---N---卜、(吐尬yrH,0vev1

A、N十'十2!(〃_】)！5+D!

…+■+,.?++色警產(chǎn),ovevi

B、(n-D!(〃+D!

C、

)1+工+《+???+[+絲產(chǎn),0<ev1

D、2!n!(n-FD!

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：因為f(x)=xeX,f(0)=0,f(x)=ex(l+x),f(0)=l,f(n)(x)=ex(n+x),

/n)(0)=n,'n+"(x)=eX(n+l+x),f(n+1)(9x)=e0x(n+1+Gx),依次代入到泰勒公式，卻得

B.

3、若f(x)在xo點可導(dǎo)，則If(x)I在xo點()

A、必可導(dǎo)

B、連續(xù)，但不一定可導(dǎo)

C、一定不可導(dǎo)

D、不連續(xù)

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：函數(shù)f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但I(xiàn)f(x)I=IxI在x=0處不可導(dǎo)，排除

A函數(shù)f(x)=x?在x=0處可導(dǎo)，If(x)I=Ix2I在x=0處也可導(dǎo)，排除C,D.

4、在區(qū)間［0,8］內(nèi)，對函數(shù)人"=/82一/,羅爾定理()

A、不成立

B、成立,并且f(2尸0

C、成立，并且『(4)=0

D、成立，并且f(8)=0

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點解析：因為f(x)在［0,8］上連續(xù)，在(0,8)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=f(8),故f(x)在

/(x)二分且二區(qū)一;=0

［0,8］上滿足羅爾定理條件.令"(8工一小2得廣(4)=0,即定理中自可

以取為4.

5、給出如下5個命題：(1)若不恒為常數(shù)的函數(shù)f(x)在(-8,+8)內(nèi)有定義，且

x()#)是f(x)的極大值點，則一xo必是一f(一x)的極大值點；(2)設(shè)函數(shù)f(x)在⑶

fG)-f(a)

+oo)上連續(xù)，尸(x)在(a,+8)內(nèi)存在且大于零，則F［x)二%一Q在(a,+8)內(nèi)單

2

調(diào)增加；(3)若函數(shù)f(x)對一切x都滿足xfXx)+3x［f(x)］=l-eL且f(xo)=Oj

x(#0,則f(xo)是f(x)的極大值；(4)設(shè)函數(shù)產(chǎn)y(x)由方程2y3—2y2+2xy—x2=l所確

定，則產(chǎn)y(x)的駐點必定是它的極小值點；(5)設(shè)函數(shù)f(x)=xe',則它的n階導(dǎo)數(shù)

苻)(x)在點xo=-(n+l)處取得極小值.正確命題的個數(shù)為()

A、2

B、3

C、4

D、5

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：對上述5個命題一一論證.對于(1),只要注意到：若f(x)在點X。取

到極大值，則一f(x)必在點xo處取到極小值，故該結(jié)論錯誤；對于(2),對任意x>

a,由拉格朗日中值定理知,存在樂(a,x)使f(x)-f(a)=G878=r《)(x-a),則

A)__1〃力―/(.)、_/(力一/⑷

■*x-a\J'x-aIx-a?由L(x)>0知，「(x)在(a,

+8)內(nèi)單調(diào)增加，因此，對任意的x與或aV^Vx,有r(x)>「《)，從而由上式得

FXx)>0,所以函數(shù)F(x)在(a,+oo)內(nèi)單調(diào)增加，該結(jié)論正確；對于(3),因

f(xo)=O,故所給定的方程為?'劭=一,顯然，不論xo>O,還是xo〈O,都有

,

f(x0)>0,于是由「(xo)=O與P(xo)>O得f(xo)是f(x)的極小值，故該結(jié)論錯誤；

對于(4),對給定的方程兩邊求導(dǎo)，得3y勺一2yy-xy，+xy，一x=0,①再求導(dǎo)，得

(3y2-2y+z)y,,+(6y-2)(y,)2+2y,=l.②令y=0,則由式①得y=x,再將此代入

原方程有2x3—x2=l,從而得y—丫仁)的唯一駐點xo=],因xo=l時yo=l,把它們

代入式②得y“I所以唯一駐點xo=l是y=y(x)的極小值點，該結(jié)論正

確；對于⑸，因為是求n階導(dǎo)數(shù)苻)(x)的極值問題，故考慮函數(shù)f(x尸x?x的n+1階

導(dǎo)數(shù)曲+D(x),由高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式得f(n)(x)=x(ex)(n)4-x(ex)(n-1)=(x+n)ex,

f<n+1)(x)=[x+(n+l)]ex；f<n+2)(x)=[x+(n+2)]ex.令苻+D(x)=O,得f0°(x)的唯一駐點

xo=_(n+1)；又因)(xo)=e-(n+l)>O,故點xo=—(n+l)是n階導(dǎo)數(shù)四⑴的極小

值點，且其極小值為苻奴尸一e?+D,該結(jié)論正確.故正確命題一共3個，答案選

擇B.

6、若f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且X],X2是(a,b)內(nèi)任意兩點，則至少存在一點

。使下列諸式中成立的是

A、f(X2)-f(xi)=(xi-X2)f^E(a,b)

B、f(Xj)-f(X2)=(X|-X2)f(4)?&在xi，X2之間

C,f(xi)-f(X2)=(X2-Xi)f(§),X1<§2

D、fg)—f(xi)=(X2—xi)?C),xi<§2

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：由拉格朗三中值定理易知A,C錯，B正確，又因未知xi與X2的大

小關(guān)，知D不正確.

二、解答題(本題共36題，每題1.0分，共36分。)

7、若函數(shù)(p(x)及w(x)是n階可微的，且(p*)(xo尸yk)(xo),k=0,1,2,…，n—l,

又X>XO時，W(n)(x)>i|/n)(x).試證：當(dāng)X>X。時，(P(X)>V(X).

標(biāo)準(zhǔn)答案：令U(n-D(x)=(p(n/)(x)—W(n」)(x).在因)，x]上用微分中值定理得/自人)

-U)n-1(XO)=U(n)(^(X-XO)，X0V&Vx.又由U(n)@>0可知u(n⑴(X)—ll(n-D(xo)>0,

且U?l)(xo)=O,所以W")(X)>0,即當(dāng)X>XO時，同理四

2)(x)=(p(n-2)(x)—v(n-2)(x)>0.歸納有U(n-3)I(x)>0,...?u*(x)>0,u(x)>0.于是,

當(dāng)X>X0時,(p(x)>\|/(x).

知識點解析：暫無解析

計算工dx

8、z+4'一？

一入TJ：就』0S1IU+COSJ：

si.ru,吧+c—osx業(yè)

則21=1近黑啟&+

標(biāo)準(zhǔn)答案：＜dj_jc

x+/6—工，4

知識點解析：暫無解析

(JlnG+4T7)+53

9、J/TTP=*

標(biāo)準(zhǔn)答案：

因為口n(1+yrr?)+5]=」、

x/TT7r

價以[?Jln(z++U

=|[ln(x+J\+工，)+5]+d[ln(x++J?)+5]

JVTTV

="[ln<x+N+5止+C

o/TT?)

知識點解析：暫無解析

fl±21ar.

10>Jxlnx，

f14".21nJdx=[n土伸—業(yè)=f-yl-dC^Inx)=In|x:lnx|+C

標(biāo)準(zhǔn)答皇.JxlnxJxHru:JxHaz

知識點腦析：暫無解析

[x+2,r

II、Jz(l+x:eO"

標(biāo)準(zhǔn)答案：因為(X2CX)，=(X2+2X)CX,

1

所以J]x(擊l4-x%e)業(yè)=J[j￡r芹e(l:+雜ze)盧一J[x*ex(l+xe^)

=J(為一京9A(")=In啟三+C

知識點解析：暫無解析

⑵卜廬業(yè).

標(biāo)準(zhǔn)答案：

因為lim(1一彳*；J用=々且｝V1,所以耳匕收斂.

于是心［凈=工程等業(yè)

二『一"1+皿2?E疝=［%inasin")d,

J0COWJ0

=J：si向市+J：sin"d/=方+得x"】=||+卷

知識點解析：暫無解析

I?設(shè)/(工)連續(xù)，且Jz/(2x—t)dt=yarctanx:?/(1)=1,求j/(x)dj：.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

由/，/(21一。山(2x-u)/(“)(-du)

—u)f(u)du=210f(“)du—廣u/(u)dtt

得2r1/(tt)du—￡uf(u)du=/arctanx',等式兩邊對x求導(dǎo)得

2p/(w)dw+2x[2/(2x)-/(x)]-4x/(2x)4-X/(J:)=疔丁,整理得

20/(w)du-z/(x)=],

取N=1得2(/(M)du-/(I)="I■,故JJ(工)業(yè)=

知識點解析：暫無解析

sinx

.dx(a>1).

計算JI八一2acosx+M

sinx

dx(a>1).

計算

14、Jivl-2ocosx4-a:

sinr1f*d(1-2acosx+a))

。八一

0v1—2acosz4-a2aJ22acosx+a?

…八=——2acosx+=—［(a-F1)—(a—1)］

標(biāo)準(zhǔn)答案：。I。。

知識點解析?：暫無解析

15、若f(x)在a,b］上二階可微,且產(chǎn)(x)>0,則f(x)為［a,b］上的凹函數(shù);

標(biāo)準(zhǔn)答案:

對Vx,z<>6—有

r2

/(x)=/(x0)4-/(Xc)(x—x<l)4--1-/(^(x))(x—Xo)>/(%)+/(工0)(工一工0),

在上式中分別取工=4,z=々U。=*產(chǎn)?得到

/GO>/（中）+，（中）,一中卜

/但)>/(中)+/(中)5-中

上述兩式相加即得證.

知識點解析：暫無解析

16、若f(x)為⑶b]上的有界凹函數(shù)，則下列結(jié)論成立：①V九40,1],f(入xi+(l

~X)x2)<%f(xi)+(l—*X)f(x2)?xi，X2G[a,b]；②

+/2+…+zn\/f(1i)+/(生)+…+f(工D

n尸H,③

HR"

,A,e[0,1],￡入=i，ne[a,b]=>f(X九乙)&(今)

W.-I.-I④.f(x)為(a.h)I-

的連續(xù)函數(shù).

標(biāo)準(zhǔn)答案：先證(i).由⑴有f(x)Nf(xo)+r(xo)(x—xo),分別取x=xi，x=X2，

xo=Xxi+(l一九)X2，得至I]f(xi)>f(xo)+(l-X)f(xo)(xi-X2)，①

f(X2)>f(xo)+Xf(XO)(X2—X|),②入x①+(1—九)X②得Xf(x1)+(1—

S—5)-〃Zg)，其中%，=1.

MRx2)>f(X0)=fi(Xx<i/sub>+(l-X)x2),得證.⑴可寫成iim由歸納

A,=-?i=lr*?,n,(；v)Wrf.rflAl

法即可得證(iii).這里略去.(iii)中令n即得證(ii).再證、八?二L?，“」.設(shè)G為lfix)l的

上界,取絕對值充分小的6.m〈n.使得xlx2j..xm=x+n6.xm+l=...=xn=x.

/(為+矽,…+二)&-)+???+△*■)

n

/（座+?+Gi-m）z）=/G+M）〈m/G+城）+G—m）/（n）

即有￡9+回匕>/g+而）―/殳），用一6代替心同時由

nm

f（匾述+得逋）&Gr+k）+人工一同］

加/（3+靖）一/（工）N/(/+M)—>，(工)—f(工—>f(H)-f(工一、)

m1mln

取m=1,有/一/（力）+冷一/G）》以1二g.

nn

令8f0,則〃f8,故有/（N+6）-/（x）f0,從而證明了/（N）的連續(xù)性.

知識點解析：暫無解析

“(1.0<x<l-

設(shè)f(liur)=<，求/(x).

17、(xtx>1

標(biāo)準(zhǔn)答案：

令lnr=C,則/(力=當(dāng)f&O時JQ)=t+G;當(dāng)，>0時,f(D=d+G.

ld,f>0

顯然/（O為連續(xù)函數(shù)，所以/U）也連續(xù)，于是有

x+l+C,x<0,

G1+&,故/(公

e*+C,x>0.

知識點解析：暫無解析

18、計算xV^lnxd-Inx)

標(biāo)準(zhǔn)答案:

d(lnx)

xv^lnjrd-laz)VlnxG-loz)

2arcsin7^|:

'3475.

知識點解析：暫無解析

。?由，求

⑼設(shè),⑺=jJ/(x)cosxdx.

/(x)cosj-dr=I/(x)d(sinx)=/(x)sinx—If(x)sirLrdr

0J0oJo

e^sinjdr=ef：=￡

標(biāo)準(zhǔn)答案：

知識點解析：暫無解析

lim口工"+/"cLr

20、J。—b

標(biāo)準(zhǔn)答案：

令f(X)=lim7d+產(chǎn)，當(dāng)0。41時Jim占?+^?=z,當(dāng)1V*42時，

lim%*+產(chǎn)=x2,則flimvCr"+x:"clr=xdx+Pxx(lr=y4-Y~V-

J0L8JI400

知識點解析：暫無解析

設(shè)f(工)連續(xù),口/(1-Dck=1—cosx,^j^/(x)(Lr.

=|(X—M/(u)du

(j：—u)/(?)(—du))

-Ju/(u)du.

得zjf(.u)du—ju/(u)du=1

二、公“,兩邊求導(dǎo)得j/(“)du=sinx,令z=￡得［/(x)dx=L

標(biāo)準(zhǔn)答案：J。/Jo

知識點解析：暫無解析

Icos/I

22、設(shè)S(x)=J。

標(biāo)準(zhǔn)答案：

知識點解析：暫無解析

23、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，al2V…n

標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在［a,b］上連續(xù)，所以mWf(x)WM,其中m,M分別為f(x)在

［a,b］上的最小值和最大

值.

m<f")&M,①

m</(x2)<M,②

???:

以工。&M,@

①+②+…+@=>nm</(X1)+/(j)+~+

故m4,3)+/嗎-1/+?)&M.由介值定理可得￡6［。力］,使得

/(?=/但)+3+/(二)

知識點解析：暫無解析

24、設(shè)f(x)在閉區(qū)間［一1,1］上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(-1)=0,f(l)=l,

f(0)=0.證明：在［?1,I］內(nèi)存在。使得f’'@=3.

標(biāo)準(zhǔn)答案:

f(x)——x())4-/*(xo)(z—a^)2+春廣(獻(xiàn)(工一與戶,

4<5?

取Zo=0,工=】代入，

2r3

./(I)=/(0)+-1/(0)(l-0)+-i-/(7l)(l-0),71c(Oj).①

取工0=0,x=-1代入，

f(—D=/(O)-i-y/*(O)(-1—O)2+卷，(依)(一1—0)\依6(―1?0).②

0)-^=八1)一八-1)=春［/(力)+/*(恰)］=1-0.③

因為/*(x)在［-1,1］上連續(xù)，則存在m和M,使得

V“￡［一1」］,"r(力WM,

m4「(T)&M=>m4_!■［/*(小)+/*(浜)］&M,④

③代入④而m43&M,由介值定理，存在E€［-1,1工使得廣(0=3.

知識點解析：暫無解析

設(shè)f(x)在［0,+8)上連續(xù)，非負(fù)，且以T為周期，證明：

「/Q)&f/(x)<Lr

lim-------―.

4—X1

25、設(shè)f(x)在［0,+8)上連續(xù)，非負(fù)，且以T為周期，證明：

「/Q)&f/(x)<Lr

limJ-=包不一.

標(biāo)準(zhǔn)答案：對充分大的x,存在自然數(shù)n,使得nTSxV(n+l)T,

r-Tt*r(w*nT

因為八z)2o,所以J。/(z)dz<J/(nd/<Jc/(，)&,

即市《「，(八出《("+1)"/(八也，由,《工<4,得

JoJ0J0171十1)/Xfll

〃「1a)市「,(力山(”+D「fa)山

Jo_____WJo_____々______Jo______

(n+l)T.-x-&nT'

〃1/?(?)&(fi+D「fa)dt「fG)ck

注意到當(dāng)zf+8時E-+8,且lim/—不〒=lim------*-----="■——，

Ie(〃+DilbniT

1/⑴&fr/(x)dx

由夾逼定理得limL-----=回斤一.

1+8X1

知識點解析：暫無解析

26、在(a,b)內(nèi)，g(x)#)；

標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)cE(a,b),g(c)=O.由g=g(c)=g(b)=O,g(x)在［a,c］,［c,b］上兩次

運(yùn)用羅爾定理可得g'(1l)=g'&)=0,其中c),12［c,b),對g<x)在3］

上運(yùn)用羅爾定理,可得g"&)=0.因已知g"(x)#),故g(c)#O.

知識點解析：暫無解析

〃)=f(11)+f(工z)+…+f(二)

27、在(a,b)內(nèi)至少存在一點。使八夕一一n

標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x尸f(x)g，(x)—f(x)g(x)在［a,b］上運(yùn)用羅爾定理，F(xiàn)(a)=O,F(b)=O.故

使黑=焉

知識點解析：暫無解析

28、在區(qū)間［0,a］上I『(x)IWM,且f(x)在(0,a)內(nèi)取得極大值.求證：If(0)I

+If(a)}<Ma.

標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)在(0,a)內(nèi)取得極大值,不妨設(shè)P(c尸0,P(x)在［0,c］與［c,a］之間

分別使用拉格朗日中值定理,F(c)—f(0尸c『(4)，36(0,c),f(a)-f(c)=(a-

c)V\Q,眄c,a),所以f(0)I+If(a)I=cI廣?)I+(a-c)I產(chǎn)&)I<cM+(a-

c)M=aM.

知識點解析：暫無解析

29、設(shè)f(x)在閉區(qū)間［1,2］上可導(dǎo)，證明：g(0g⑷,使f⑵一2f(1)=孑@一

f??

標(biāo)準(zhǔn)答案：把所證等式&改為X,得

x/(x)-/(x)=/(2)-2/(1),

兩邊同除以豆〉季"4戲=八2)；空!).得

(鈔=(--%⑵

令FCr)=(7二2￡(1)1(工)在口,2］上連續(xù),(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且

F(2)=F(l)=/(2)-f(l).

由羅爾定理，(1,2),便尸(0=0,即

/(2)-2/(1)=-/(?.

知識點解析：暫無解析

設(shè)。?=’tanhdr(口>2),證明：方」e<%<寸_^.

30、J。2(n+l)2(n-1)

標(biāo)準(zhǔn)答案:

=](14-tan2x)tan-xdz=[*tan*xd(tartr)=―rtan1rH1=—?—,

J。Jon-f-1I。n+I

同理%+j=不匕.因為tan—tanFz在[o,￡]上連續(xù).tanZ>tan-2?r,且tan"r,

tan"%不恒等，所以J：tan&clr>J：tanEjrdx,即Q.>一?,

于是*i=4+="V2、即a.>而%，同理可證4vmF.

知識點解析：暫無解析

31、設(shè)f(x)有界，且r(x)連續(xù),對任意的旌(-8,+8)有If(x)+r(x)I01.證

明：lf(x)ls.

標(biāo)準(zhǔn)答案:令(p(x)=exf(x),則(p,(x)=ex[f(x)+f(x)],由If(x)+f(x)I01得I

「/(x)dx

優(yōu)(x)I<ex,又由f(x)有界得(p(—8)=0,則(p(x)=<p(x)—<p(—8)=J-B

丫I八工)*[?夕'(])|dr&fexdx=ex

兩邊取絕對值得I=，所以|f(X)|

<1.

媼識點解析：暫無解析

32、設(shè)f(x)在(一co,+8)上有定義，且對任意的x,yW(—8,+8)有If(x)—f(y)I

十n|f/(])業(yè)—(。一。)/(。)|4](6—

<Ix—yI.證明：?2

標(biāo)準(zhǔn)答案：因為(b-a)f(a)=

所以(工)業(yè)一(6—a)/Q)|=||~f(a)]dz<JI/(x)—/(a)|dr

知識點解析：暫無解析

33、設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),且0VmSf(x)SM,對任意的x€[0,1],證明:

(￡信川》工杜)《廿.

標(biāo)準(zhǔn)答案：因為0<mSf(x)SM,所以f(x)—m20,f(x)—M<0,從而

—M)Mm

/(x)&0,于是八/+7u)&M+m,兩邊積分得

/(x)dr+Mm[i

dr&M+m,

。Jo7(^)

因為「/(z)dx+

司志業(yè)》之J恤“⑺城金/(x)

所以2小,回:于是(工人力業(yè))(￡志業(yè))《當(dāng)夢

知識點解析：暫無解析

「zf(z)dr》經(jīng)吆

34、設(shè)f(x)在⑶b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：J-2./(x)dx.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

令中Q)=卜一心)[2)一，(審力

因為f(x)在上單調(diào)增加，所以j2(z)業(yè)20,

而j中(j：)dx=J1一號)”一(審)拄

=11_審)八幻"_不岑)[(]_華)業(yè)=[(”一號)人力業(yè)

=Jx/(x)(Lr—/(x)dx>

故(z)dx>號[fG)dz

知識點解析：暫無解析

35、設(shè)f(x)在(0,+8)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少.證明:

^7(x)dx<g/a)</(I)4-j>(x)dx.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

J/(z)dLr=/(z)dj：+J^/(x)dx+4-J/(x)dx?

當(dāng)z6[1,2]時JGr)<f(l),兩邊積分得ff(i)dz</(D..

同理j；/(z)dx《f(2)，…J：'fQ)dx&/(〃)，相加得"&S/S)；

當(dāng)[1,2]時,/(2)4/(工)，兩邊積分得/<2)<j'/(x)dx,.

同理/(3)<17(x)dx,-./(nX1^/<x)dx,

相加得/(2)+…+f(n)&]/(工)業(yè),于是火/W&/(I)4-j，'/(x)dx.

知識點解析：暫無解析'

36、設(shè)f(x)在⑶b］上連續(xù)且單調(diào)減少.證明：當(dāng)OVkVl時,

f/(z)dx2k/(x)dz.

JoJo

標(biāo)準(zhǔn)答案：

j/(x)dr—^/(x)dLr=J/(x)dx-A^/(x)dx-+-1^/(x)djrj

=(1-4)17(x)dx-*￡/(x)dx=Ml-?￡/(&)=/(&)，

其中&e[0/1，&W0,11.因為OVAVI且/G)單網(wǎng)減少，

所以1/(工)如-4]：/(公&=A(1一幻[八&)一/(&)1》0,故[/(])&》｛/(工)業(yè)?

知識點解析：暫無解析

37、設(shè)r(x)在［0,1］上連續(xù)且|F(x)IWM.證明:

標(biāo)準(zhǔn)答案：

=八幻必一9(劃+1八力"—:/?)］+…+口/8必-7/(7)］

s*|J；/(x)ar-l/(l)|-|J；［八力一/田同

vf|人公卜-利&鐘配-加嚼(66卜4D，

同理r-y劇《疝??傀人工)業(yè)-那黑

知識點解析：暫無解析

38、設(shè)f(x)在|0,a］上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0,令黑U，(工"“。證明：

||'/(x)<Lr|c^M.

*

標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)—f(o)=r6)x,其中。介入0與x之間，因為

f(0)=0,所以If(x)I=If(^)xI<Mx,x6［0,a］,從而

|j/(z)dx<￡I/(x)|dx<￡Mrdr=yM.

知識點解析：暫無解析

39、設(shè)P(x)在［0,1］上連續(xù)，且f⑴一f(0)=L證明：/?！?dx

標(biāo)準(zhǔn)答案：

由1=/(I)—/(0)=(/(JOCLT,

得了=1=(|y(x)dx)2<￡rdxjy2(x)dx=jy^xjdx^j'z：(x)dx>i.

知識點解析：暫無解析

40、(X)在［a,b］上連續(xù)可導(dǎo),且f(a)=0.證明:

］r(幻心《二士￡［八工)］&.

由/(0)=0,得/(x)-/(a)=/(x)=[/'a)df,由柯西不等式得

C=(j/70dr)2<￡l2d/17,2a)dr<(x-a)J7Z2(x)dx

積分得J(n-a)dr?jf"(Gdr="20>('"(”"工

標(biāo)準(zhǔn)答案:

知識點解析：暫無解析

41、(x)在［a,b］上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=O.證明:

l/(x)|<|￡|/(x)|dx(a<x<6).

標(biāo)準(zhǔn)答案:

f/(x)-/(a)=1f'(八出，

因為彳:且八。)=/3)=0,所以

/(x)-/(6)=(，(￡)也，

I/(x)|=jr(Od/1/(0|dn

<::兩式相加得I/(x)K-j-J|/(x)|業(yè)?

I/(x)I-|jy(Odz|/(O|dn-

知識點解析：暫無解析

42、設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)可導(dǎo)，證明：

max|/(x)|<|^/(z)dz|+￡ir(z)|dz.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

因為/(x)在［a,切上連續(xù)，所以I八外I在［a,6］上連續(xù)?令|/(c)|=max|/(x)|.

根據(jù)積分中值定理=/(?,其中。6［a.6］.

由積分基本定理J(c)=八0+￡/'(工)業(yè),取絕對值得

IfMKI/<e)i+|￡r(x)dx|<i/($)i+￡?/(X)?即

"G)IV|士。(工詞+J：1人力1五?

知識點解析：暫無解析

J；/(x>)dx</(1).

43、設(shè)f(x)在［0,1］上二階可導(dǎo)，且F(x)V0.證明:

標(biāo)準(zhǔn)答案：

由泰勒公式，得/⑴=/(§)+/(§)(，_§)+號［其中E介于手

與/之間,從而仆2)&,(/)+r佶乂/一/),積分得J：/(?)dx&/佶).

知識點解析：暫無解析

考研數(shù)學(xué)一(一元函數(shù)微分學(xué))模擬試

卷第2套

一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)

1、設(shè)F(x尸g(x)(p(x),x=a是(p(x)的跳躍間斷點,g〈a)存在，則g(0)=0,g<a)=O是

F(x)在x=a處可導(dǎo)的()

A、充分必要條件.

B、充分非必要條件.

C、必要非充分條件.

D、非充分非必要條件.

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點解析：因(p(x)在x=a不可導(dǎo)，所以不能對F(x)用乘積的求導(dǎo)法則，需用定義

記

limx)f同

求，F(xiàn)^a).題設(shè)(p(x)以x=a為跳躍間斷點，則存在*,

A+^A—?當(dāng)g(a)=O時,

F；(a)=lim口或jim?(一)，(4)-g(a)3(a)

L”0X-GI—atO%-a

=lim晨處⑴=lim盤-6⑷D

x-*a±OX-Qi-*atOX*O

=g'(Q)A*,

這表明,g(Q)=0時,F'(Q)存在oF'.(a)=F(a)

og'(a)(4.-4-)=0

Qg'(a)=°-下面證

明若F，(a)存在，則g(a)=0.反證法，若g(a)H0,(p(x尸&(*),由商的求導(dǎo)法則，

(p(x)在x=a可導(dǎo)，這與題設(shè)矛盾，則g(a)=0,g'(a)=0是F(x)在x=a處可導(dǎo)的充要條

件.故選A.

2、已知函數(shù)y=y(x)在任意點x處的增量Ayf+/+a,且當(dāng)Ax—O時，a是的

高階無窮小，y(O)=n,則y(l)等于()

A、2兀.

B、兀.

x

C、

D、K

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

+a,lima

知識點解析：因為函數(shù)產(chǎn)y(x)在任意點x處的增量Ay=l+/=0,故由

—jdx

微分定義可知dy=l+』.此為一階可分離變量的微分方程，分離變量得

立二.

y?，兩邊積分，得InIyI=arctanx+Ci，即y=CWanx,由y(0尸兀得

C=7t,于是y(X)=/rcianx因此丫(1)=畫皿川5廣.故選D.

J_3

3、函數(shù)f(x)=(x2+x—2)Isin2兀xI在區(qū)間(一2'2)上不可導(dǎo)點的個數(shù)是()

A、3.

B、2.

C、1.

D、0.

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：設(shè)g(x)=x:+x—2,(p(x)=Isin27ixI,顯然g(x)處處可導(dǎo)，(p(x)處處

連續(xù)，有不可導(dǎo)點.只須考查(p(x)不可導(dǎo)點處g(x)是否為零.(p(x)=Isin27ixI的

內(nèi)只有不可導(dǎo)點欠=O,yJ

圖形如圖27所示，在I22，2,其余均可

y

_一

.±OLI2x

2212

±

導(dǎo).圖2-4因為g(O)=-2/0,g(2/o,

±

g(l)=0,所以f(x)=g(x)(p(x)在x=0,2處不可導(dǎo),在x=l可導(dǎo),其余點均可導(dǎo).故

選B.

4、曲線y=(x—l)2(x—3發(fā)的拐點個數(shù)為()

A、0.

B、1.

C、2.

D、3.

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點解析：對于曲線y,有y，=2(x—l)(x—31+2(x—l)2(x—3)=4(x—l)(x—

2)(x―3),y"=4[(x-2)(x-3)+(x-1)(x—3)+(x-1)(x—2)]=8(x一l)(2x一

￡

5),令y”=0,得xi=l,X2=5.又由丫‘''=8(2乂-5)+16g-1),可得y"'(l)=一

5_

248，yh(5)=24和，因此曲線有兩個拐點，故選C.

5、設(shè)f(x)=IxIsin2x,則使導(dǎo)數(shù)存在的最高階數(shù)n=()

A、0.

B、1.

C、2.

D、3.

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點解析：

由/(x)={.相4°，則廣⑴=[叱…必，x>0,

L-xsin2x,xC0,I-(sinx+4sin2x),%C0,

UH、f2sin2x2xcos2x,x>0,

從而/(x)=x

I-(2sin2x+2xcos92x),#W。，

f?(0)=(2sin2x+2xcos2x)r=6,

￡3)(0)=(-2sin2x-2xcos2x)1=-6,

故符)(0)不存在.因此n=2,故選C.

6、極限d(o.o)xyln(x2+y2)()

A、不存在.

B、等于1.

C、等于0.

D、等于2.

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

1

22222222

知識點解析：由于0<Ixyln(x+y)I<2(x+y)ln(x+y)(Sx+y<l時).令

x2+y2=r,則

1

lim(x2+y2)ln(x2+y2)=limrlnr=lim塔=lim--=0,

———一■一

rr2

則lim^r(x2+y2)ln(x2+y2)=0,故limxyln(x2*y2)=0,應(yīng)選C.

7、設(shè)f(x)在(0,+00)內(nèi)二階可導(dǎo)，滿足f(0)=0,r(x)<0(x>0),又設(shè)b>a>0,則a

VxVb時，恒有()

A、af(x)>xf(a).

B、bf(x)>xf(b).

C>xf(x)>bf(b).

D、xf(x)>af(a).

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

將A,B選項分別改寫成”>噂號>牛

于是，若能證明或叭4)的單調(diào)性即可.

x

=心⑺一/(%)

知識點解析：XfX2令

g(x)=xf(x)—f(x),則g(0)=0,gXx)=xf'(x)<0(x>0),因此g(x)Vg(0)=0(x>0),

故All在(0,+8)所以有單調(diào)減小.

X

因此當(dāng)a<x<6時,/w>華4故選B.

xb

x

8、設(shè)常數(shù)k>0,函數(shù)f(x)=lnx—e+k在(0,+oo)內(nèi)零點個數(shù)為()

A、3.

B、2.

C、1.

D、0.

標(biāo)準(zhǔn)答案：R

知識點解析：因f(x)=T-T,令f(x尸0得唯一駐點x=c,且在f(x)的定義域內(nèi)無

「(x)不存在的點，故f(x)在區(qū)間(0,e)與(e,+8)內(nèi)都具有單調(diào)性.又f(e)=k>0,而

=lim(Inx-王+A)=-8,

3-4)?*-e)

.x,\

limf(x)ulim|fix——+k[=一B,

?—??e)所以f(x)在(0,e)與(e,+8)內(nèi)分別有唯一

零點，故選B.

9、設(shè)f(x)在(i—Ti+3)內(nèi)存在導(dǎo)數(shù),r(x)嚴(yán)格單調(diào)減少,且f(i)=r⑴=1,則()

A、在(IT,1)和(1,1+3)內(nèi)均有f(x)Vx.

B、在(1—8,1)和(1,B6)內(nèi)均有f(x)>x.

C、在(1—3,1)有f(x)Vx,在(1,C3)內(nèi)均有f(x)>x.

D、在(IT,I)有f(x)>x,在(1,1+3)內(nèi)均有f(x)<x.

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點解析：F(x)在(1一6,1+3)嚴(yán)格單調(diào)減少，則f(x)在(1一，1+3)是凸的，因

此在此區(qū)間上，y=f(x)在點(1,1)處的切線y—1=7⑴(x—1),即y=x在此曲線的

上方(除切點外).因此f(x)Vx(xe(l-此1+5),x#l).

10、設(shè)L。(x-ay=一1,則在X=a處()

A、f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且f(a)和.

B、f(x)取得極大值.

C、f(x)取得極小值.

D、f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在.

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點解析：利用賦值法求解.取f(x)—f(a尸一(x—a)2,顯然滿足題設(shè)條件，而

此時f(x)為一開口向下的拋物線，必在其頂點x=a處取得極大值，故選B.

11、設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且「⑴-0,(x-])22,則()

A、f(l)是f(x)的極大值.

B、f⑴是f(x)的極小值.

C、(1,f(l))是曲線f(x)的拐點坐標(biāo).

D、f(l)不是f(x)的極值,(1,f(l))也不是曲線f(x)的拐點坐標(biāo).

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

2

—(x-|)如取/*(%)=—

知識點解析：選取特殊函數(shù)f(x),其滿足，f'(x)=2'24(x—

1)匕則f(x)滿足題中條件，f(x)在x=l處取極小值，而其余均不正確.故選B.

12、可導(dǎo)函數(shù)f(x),對任意的x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y),且『(0尸1,則f(x)等于()

A、x+cosx.

B、shx.

C、ex.

D、1—e-x.

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點解析：在等式f(x+y尸f(x)f(y)兩端對y求導(dǎo)，得F(x+y尸f(x)f(y),令y=0

得，f(x)=f(x).由此可得f(x)=CeX.由「(0尸1知，C=l,即f(x)=eX.

,_maxf(x)

13、設(shè)f(x)在［a,b］可導(dǎo)，f(a)=l7「,則()

A、f+(O)=O.

B、f+(a)>0.

C、f+(a)<0.

D、f+(a)<0.

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點解析：考查r+(a)=1M欠<0,故選D.

二、填空題(本題共9題，每題7.0分，共9分。)

f7T

14、對數(shù)螺線p=ee在點(p,0)=(6'彳)處切線的直角坐標(biāo)方程為

標(biāo)準(zhǔn)答案：x+y二e手

知識點解析：

Y=e'cos。

{y=e"sinG.

所以學(xué)=則到嘴■=-1,且當(dāng)公/時，…。，「優(yōu)

ax”于cos?-sin?0*于2

因此所求的切線方程是

y-ey=-1,(x-0),

化簡為

X

x+y=e2.

￡

15、曲線y=2x+l的斜漸近線方程為0

標(biāo)準(zhǔn)答案：

知識點解析：設(shè)所求斜漸近線方程為y=ax+b.因為

1

=iim-7---

?-?x2xfx2^

6=lim[/(x)-ax]二!77y

所以所求斜漸近線方程為，:會一上

⑹設(shè)評上團(tuán)則網(wǎng)的極值為,3的拐點坐標(biāo)為

(主祭”

標(biāo)準(zhǔn)答案：0；1)

知識點解析：對f(x)求導(dǎo)，令「(X尸e