考研數(shù)學(數(shù)學一)模擬試卷28(共9

套)

(共206題)

考研數(shù)學(數(shù)學一)模擬試卷第1套

一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

1、

點"0,1」)滿足方程2/"-"-2#=1,則存在點P的鄰域，在該領域內該方程

(A)只能確定具有連續(xù)偏導數(shù)的想函數(shù)z=z(%y).

(B)只能確定具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z).

(C)只能確定具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)4=x(y,z).

(D)可確定兩個具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x,z)和z=z(x,y).[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【分析】該題是關干尸(x.”z)=2/1-產-2*-I=0是否存在隱函數(shù)X=%(y,z),y=yG.z).

工=z(x.y)的問題

【詳解】F(*,y,z)=2eVJ-ys-2x-I

戶(0,1,1)=0

些=2k-2

"

力=2-2=0

p

力

=2xze"-z尊|=-1#0

力dy?f

募=2xyeIW-y"I=-1#0

dz??

由的函數(shù)存在定理,存在點p的某領域,在該領域內存在具有連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)，=>6,

z).z=工(”,〉).所以(。)為答案.

【評注】自2005年8,考研數(shù)學大綱規(guī)定：教學一新增加除函數(shù)存在定理考點

■

2、

已知/(4)在(-5,5)內具有二階導數(shù)，且1加￡3=l,/w(%)>0,則

?-0X

(A)在(-6,0)內/⑸>凡在(。⑻內〃在<x

(B)在(-5,0)內/⑺〈孫在(0,6)內/(4)>x.

(C)在(-5,5)內/(在<x.

(D)在(-5⑻內/(%)>x.)

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【分析】條件lim四=I相當于/(0)=0,/*(0)=1.然后用單謝性或極值與最值即可導出不等代

41-0X

【詳解】由題設1加&1=|知，/(0)=0,廠(0)=I.

x

令尸(W=/(x)-r,則廣(2=//(?)-I.F*(x)=/*(?)>0.

于是〃’⑴在(-8,5)內單調增加,且〃’(0)=0.當#w(-3,0)時，'⑴<F*(0)

=0;當xw(0,5)時，*’(x)>尸(0)=0.可見儀4)在點x=0處取極小值，也即最小值.

從而有/(幻>F(0)=0,即/(*)>x.xe(-3J5).故應選(D)

、評注】本題也可由泰勒公式.有，*)=/(0)+/'(0)”+//?/)/，蝦"(")>0知，當*€(-8,：

￡…….5)時，有/⑴"°)乜'(°上=」?故應選(D)：................................：

3、

設常數(shù)A>0,且級數(shù)2d收斂,則級數(shù)2(-1)"—^=

"B,fle,7n+A

(A)發(fā)散(B)條件收斂

(C)絕對收斂(D)收斂性與人的取值有關

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【詳解】?.?(-i)-4==一%.

；^%w-爹I42.??1

又￡泰「，￡方均收斂=￡(泰一點)收斂=￡卜攵斂

.?.原級數(shù)絕對收斂.

設平面曲線/：今+9=-：2+著=|，"°，其所圍成的區(qū)域分別記為。和功,

則有

(A)^(x+/)ds=2j(x+y2)ds.

(B)J(x2+y)ds=2((x2+y)ds.

(C)，(4+y3)dxdy=2g(x+y3)dxdy.

DD|

(D)J(x2+y)dxdy=2/(一+y}dxdy.[]

00

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：

【分析】本題考查曲線枳分和二更枳分的對稱性質.

【詳解】由對稱性知[(，+/)后=f/ds=2卜％,

且白，+>岫“嚴

故有J(x+/)ds=2f((x+

因此正確選項為(A).

對于(B).[(/+y)出=fx2ds=2/出，但(卡>0,

因此[(―7油f24(/+八右.

對于(C),左端為0,但右端為2“</xdy>0.不相等.

DI

對于(D),左端為=2上&"但,加dy>0,因此左、右兩端也不相等.

%%DI

【評注】本題若先計算出積分值.再進行比較，則將問題弄發(fā)雜了，而應盡量利用對稱性進行比較.

類似對稱性問題還可從三嵬積分、曲面積分等進行考杳.

九;

T,~i??4"fc.***?-**''■'■:、?、?

設A為4x5矩陣,r(A)=4,8為4x2矩陣，則下列命題中不正確的是

(A)[::卜=0只有零解.

(B)(4\B)x=0必有無窮多解.

(C)Vb,[；卜:6有唯一解.

(D)Vb,(4；B)x=力必有無窮多解.

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【分析】齊次方程組解的判定問題完全轉化為系數(shù)矩陣秩的判定,而非齊次線性方程組解的判定，則應

考慮系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等.注意本題要找的是不正確的命題?

【詳解】因為r[:J=4,r(/1H6)=4,由齊次線性方程解的判定知，(A)、(B)兩項均成立.

Xr(A：F：b)=r(A：B)=4<7,可見(口)也成立，但]與r不一定相等,

因此(C)為不正確命題,應選(C).

f........................?..................:

，評注】若，=m,即人為行滿秩的矩苒.則r(A)=r(A汕)=*從而Ar=b必有解.：；

6、

設A,3為兩個n階方陣，現(xiàn)有四個命題：

①若A、5為等價矩陣，則A、B的行向量組等價；

②若的行列式相等，即IAI=131,則4、5為等價矩陣；

③若Ax=0與Bx=0均只有零解，則A,8為等價矩陣；

④若AI為相似矩陣，則Ax=0與bx=0解空間的維數(shù)相同.

以上命題中正確的是

(A)①，③(B)②，④(C)②，③.(D)(3)&[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【分析】逐一分析四個命題，注意AI等價0(4)=?日).由此易判斷命題①、②、③是否正確.而Ax

=0解空間的維數(shù)為。.完全轉化為系數(shù)矩陣秩的確定.

【詳解】為〃階方陣.因此等價=r(A)=r(3),而兩個矩陣的秩相等，并不能得到其行向證

組一定等價，如A=「=°]，則=,(6),即41等價，但41的行向量組

LooJlo1」

并不等價,可見命題①不成立；I/Il=181,推導不出r(A)=r(B),即推導不出等價,命

題②也不成立;若=0與Rr=0均只有零解，則r(A)=r(H)=n?從而A、8為等價矩陣,

命題③成立;若相似，則r(A)="3),從而Ar=0與=0解空間維數(shù)分別為〃-"4)

與n-「(8),顯然是相同的，命題④成立.對照四個選項知,應選(D).

，評注】若〃階方陣的行(列)向量組等價,則”A)=r(3),從而A、B為等價矩陣，但反之不:

成立，即兩個n階死陣等價，其行(列)向量組不一定等價.

-,

7、

設4、A、C是三個隨機事件J(4月C)=0,且0<P(C)<1,則一定有

(A)P(ABC)二P(A)P(8)尸(C).

(B)P((4+R)IC)=P(AIC)+P(/?IC).

(C)+8+C)=P(A)+P⑹+P(C).

(D)P((4+B)C)=P(AIC)+P(H\C)[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：

[分析】本題考查隨機事件的運算性質,根據(jù)加法公式、乘法公式和條件概率逐項分析即可.

【詳解】?(A)：由于不知道?(A)或?(。)是否為零，因此(A)不一定成立；

(B)：尸((4+8)C)=P(4C+8C)=P(AC)^P(RC)-P(ARC)=P(AC)+P(BC)

P((4+B)\C)==叭？=P(AIC)+P(BIC)

可見(B)為正確選項.

(C)：P(4+H+C)=P(A)+P⑻+P(C)-P(AR)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

由于不能確定P(dG、P(竺)、尸(f。)的概號是否全?冬.因此,9)項不一定成立.

(D)：P((4+B)C)=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)-P(ARC)

而P(ARC)=P[AR)-P(4/?C),其值是否為零不能判斷，因此,(D)也不一定成立.

：【評注】隨機事件的運算及其概率是常考題型之一,應注意隨機事件的運算與代數(shù)運算的差異,葛：

練掌握加法公式、乘法公式和條件椎率等運算公式.

已知隨機變量X服從二項分布8(〃,p),且以X)=2.4,"(X)=1.44,則二項分布的參

數(shù)〃,P的值是

(A)n=4,p=0.6.(B)n=6,p=0.4.

(C)n=8=0.3.(D)n=24=0.I.[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：

【分析】這是一個已知數(shù)學期望與方差，反求參數(shù)的問題.利用二項分布的期望與方差即得.

【詳解】因為X~8(n,p)所以

)=np=2.4fra=6

C)=np(1-p)=1.44Ip=0.4

故選(B).

二、填空題(本題共5題，每題7.0分，共5分。)

9、

J%>/4x-xdx=.

標準答案：10兀

知識點解析：

【分析】本題為定積分基本計算題，根式內先配方,再作三角代換即可.

【詳解】原式=￡，M_2

JA-(x-2)'dx-一1+2sirU+sin2i)cos2:(/r

1(hr.

【評注】含有形如/a?+>+c項的不定積分或定積分，一般均應考慮將根式內先配方，再作

三角代換.另外，根據(jù)對稱區(qū)間上奇函數(shù)的積分為零，有?cos2td：=0.

10、

已知微分方程:+多石+/公打=0為全微分方程，則a=______________.

(x+y)(?+y)

標準答案：2

知識點解析：

【分析】微分方程P(%7)瓶+Q(孫：r)。=0為全微分方程的充要條件是:空=由此可確定。

辦ay

應滿足的條件.

【詳解】因為PG,y)=聲飛，Q(*y)=

(%+y)(?+r)

于是絲=—_為_必_(0_2)一D由曳=必可得0=2

于是加(*+>)3'砂-(x+y)3'由力一打'［得,

【評注】本題條件可換為：

①/澇油+十萬"為某函數(shù)的全微分；

②4+■即?+,?’"為某函數(shù)的梯度;

(4+y)z(X+y)z

③4產*4c+廣飛七江0,其中I為任一4+y>0區(qū)域內的封閉曲段.

其含意是相同的，結果均為。=2.

II、

設曲線y=/(%)在原點處與，=sinx相切，明6為常數(shù)，且ab.0,則1吧：(磔)&(”)

標準答案：a+b

知識點解析：

【分析】已知曲線y=/?)在原點處與y=sinx相切，相當于已知/(%)在點*=0處的函數(shù)值/(0)

與導數(shù)值/(O),再根據(jù)導數(shù)的定義即可得要求的極限.

【詳解】由題設知，/(0)=sinO=0./'(0)=(si?)'=c*0=l?于是

J?0

“(2)+")=］im—傍)-七/Sil

?<osinx??《x

一加54一二3+人/網1%

i-oaxbx

二a/r(0)+b廣(0)=a+b.

，???????????????????????????????????O?????，??????????????????????????????????????????'??f

］評注】本題條件/(0)=0很重要，否則待求函數(shù)極限的分子部分極限非零，整個極限不存在,或1

要求將分子改為“/(a)-/(以)”，才能求極亂

已知向量組5=所生成的向量空間的維數(shù)是2,

貝]It-.

標準答案：3

知識點解析：

【分析】相當于向班組的秩為2,由向肽組為列（或行）構成的矩陣,通過初等變換化其為階梯形，再

根據(jù)秩為2,即可確定t的值.

【詳解】向雄組所生成的向量空間的維數(shù)是2表明,向世組5,a?,■的秩是2.因此，對

向量組.，&構成的矩陣A施行初等變換：

「2r-121-12/Iri2t

134014-t014Toi4-t

A=H

1120-12-1006-2/006-2t

1-1M-0012-4」L。00

-0-3-t-

可見1=3.

12I

【評注】本題也可根據(jù)行況式134=0,得￡=3.

112

13、

設總體X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,X,尤，…,X.為取自總體X的一組簡單隨機樣本,則

當幾T8時，隨機變量jX,依概率收斂于?

標準答案；

知識點解析：

【分析】若總體x的A階原點矩風=1,2,…）存在，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律.

當n->8時，有4=:三X；—】，2,….

若g是連續(xù)函數(shù)，則進一步有

P

&（4*2,…，4）—，M2，???，〃&）?

利用上述結果,即可方便地得出本題的結論.

【詳解】由題設，知EX=1,OX=1,于是EX'=DX+[Exy=2.根據(jù)大數(shù)定律，有

??p.?P

4=7》*：---?2,從而有。彳￡"—故應填

;【砰注】大數(shù)定律在數(shù)學一試卷中還從未命題考查過，但大致定律的條件和結論還是值得注意的.

三、解答題(本題共9題，每題7.0分，共9分。)

14、

設"無)=如'吟?[g(2—十)-或2外],展“)的一個原函數(shù)為ln(—1),計算

定積分

標準答案：

【分析】先通過第一類重要極限與導數(shù)定義可確定/(動的表達式,再通過分部積分計算即可.

【詳解】因為/(*)=limt%in-7-?[g(2x+-^-)-g(2x)]

-tI

sin+g(2x+-g(2x)

=lim-----------x------------------:----------------

1-?三

=xg飛2G.

于是Jo〃z)dx='(2x)dx=Joy-g'(t)/市=x</g(z).

=-T-[xg(x)-[g{xydx\

40J。

112I9

=~T-[x?—------ln(x+1)]=-T-[-Z--ln3].

q1+40q，

'評注】本題每一計算步碟榭是最基本的，但綜合考查了極限、導致、原函數(shù)、換元積分和分部積:

分等多個知識點.i

知瘦點碎柝丁野無解析

15、

(1)將函數(shù)/?)=4-1(0W4這2)展開成周期為4的余弦級數(shù)；

(2)求￡4

usin

標準答案:

【分析】展開成余弦級數(shù),必須將/(外進行偶展拓,此時*=0是展拓后函數(shù)的連續(xù)點.

【詳解】(1)將〃％)進行偶展拓(見右圖)

b.=0(n=0,1,2,…)

，。=年/(4-1)dx=0

a.="I-/(4-1)cos詈xdx

rzi、2.rnr.4nir-.2

=I(*->),一sin-x+-j—j-cos-x]o

HITZn,rr幺

nTT

='8z、(k=1,2,…)

1-(2^177……

所以/(%)=-AX(“1產上與一"4.xe[0,2]

ITEtNA-1)/

(2)令4=0

心)=",=-7^(irh7

所以￡號萬耳

所以:￡/=￡昌■尸導

所以￡N子系

/??????????????????...?????:?????[??:：????????：?..................................???】號:..:*....

\評注】在傅立葉級數(shù)中代入X=”。得到數(shù)項級數(shù)和(本題中的=0)是常用的方法.本題考查了

關于/(%)展開成余弦級數(shù)的偶展拓方法,也考查了關干數(shù)項級數(shù)的運算.

I

知而看葡而「函元喊標…

16、

計算g幽生二娃士磬，其中￡是球面(％_1/=a"。＞o,a0l),

z(x2+/+4z2)2

取外側.

標準答案：

【分析】本題￡為封閉曲面，首先想到用高斯公式,但注意E所圍空間立體內是否包含“奇”點，即

一階偏導不連續(xù)的點,若是，應先挖掉奇點后再利用高斯公式.

【詳解】令。

3P=]__________3________2x?

力一(z2+/+4?)12(?+/+4?)1

dQ=]__________3_2-

時(x2+/+4?)T2(/*y+&2)/

2

—dR—=I■■一?3i2-4■■z■,

由(x2+/+4z2)t2(/+y2+4z*)*

可見有堊+空+號=。'(7，z)旦(0,0,0).

(fxcfyrfz

(1)當a<1時，E：(x-1)2+/+z?=a?,此時E所圍成的立體空間。不含坐標原點.

由高斯公式，有

xdydz+ydzdx+zdxdy叩簽+:啜］上力也=0.

(x2+/+49)2

(2)當。>1時，令>：/+/+4?=取內儕,￡>0充分小.則

jxdydz+ydzdx+zdady_ffxdydz+淡&+zdxtfyj4)也+ydzdx+zdxdy

?黃=1.(J+y+d,R(/+'+&2/

=0—^^xdydz+ydzdx+zdxdy=^^dxdydz

斗dxd)',D|：x2+/+4z2We

ir(e-4z?)&=27r.

“評注】用一小的曲面挖掉奇點時，應注意使汨在此小曲面上積分時比較容易.一般可考慮選擇

分母為常數(shù)的時氏曲面作為要求的小曲面.本題正是利用此思想，作小曲而

+4z2=使得在此曲面上積分時，被積函數(shù)的分母為常數(shù)，從而便于用南斯公式計算

出所要求的曲面積分.

。市商初最蕨僦「......

17、

某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進土層.汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻

力而作功，設土層對樁的阻力的大小與樁被打進地下的深度成正比(比例系數(shù)為3A>0),

汽錘第一次擊打將樁打進地下。(m).根據(jù)設計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前

一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0<r<1).M:

(1)汽錘打樁3次后，可將樁打進地下多深？

(2)若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進地下多深?(注:m表示長度單位米)

標準答案：

【分析】設第n次擊打，樁被打入地下4,汽錘所作的功為凡.由已知條件知：%=rW^.

【詳解】⑴%==yx；=ya2

22

%=[3也=y(xl-x?)=y(x2-a)

由%=7％得4■(如'-J)=r*4"°

22

所以*2=(1+r)a

22

%=Ckxdx=-y(x3-x2)=與[婷-(1+r)a]

由%=rW2=/弘得

/[婷-(1+，)/】=，'y?2

222

所以X,=(1+r+r)a

所以x,=-J\+r+?a

(2)假設#.=/1+r+???+r-''a

則％=f：Hdx=/G3-V)

=宗以-(1+―?.?+M)1]

%.1=「%=???=『%

所以

*3-(I+r+J+…+r"")a2=r*a2

所以x.=八+7+???+-"a=J；-1a

于是則:”?=則:Jf1=7r?7

所以，若不限制擊打次數(shù)，樁至多打入地F-T2n(米).

/1-r

*

“評注】本題是用定積分求功及序列極限的綜合應用題.而積分的幾何應用及物理應用是歷年

:常學的題型.?<---:」?.■,

而菠百蹄琳「看芫蹄旃…

18、

1

設/(%)在(-8,+8)上有定義，對于任意兩個加，X2(Xt#巧)，恒有1/(陽)-/(七)

2

這(X2-X,),證明")/(%)在(-8,+8)可微;(2)在(-8,+8)上/(%)恒為常數(shù).

標準答案：

【分析】要證/（外在（-8,+8）上為常數(shù),只要證明=0..

【詳解】取/=x,x2=x+dx,xe（-?,+oo）

則ow及一）-/（叫＜￡=51

AxIIAxI

所以一以土絲）-/（戲=0

d-oAx

所以/'（“）存在且/'?）-0

所以在（-8,+8）上/（外=c.

I

4評注】該黑主要考查導數(shù)定義，難度不大.

知識點解析：暫無解析

19、

"1b—2'

設A為三階實對稱矩陣，且存在可逆矩陣P=0a+1一5,使得

■211-

,1r2*

2?又A的伴隨矩陣A?有特征值4°,A°所對應的特征向量為a二5

-1」1_卜

（1）求兒的值；（2）計算（A'）、（3）計算行列式IA0+EI.

標準答案:

【分析】本題關鍵條件是A為實對稱矩陣，而P-么尸=2，相當于已知A的三個特征值,

-1

且P的每列為對應特征向林,再根據(jù)不同特征值對應特征向盤是正交的，可確定參數(shù)a,b.

然后利用特征值與特征向他的定義可求出入。.至于（4?尸JT=-；4,只需求出A

=I4AIAZ

即可.而行列式IzT+EI，利用特征值或相似矩陣均可計算.

【詳解】（1）由題設，右=P2，令/>=[a].必]，其中.=a

-1

-2]

a+I-5，貝1J4al=I?a,,Aa2

1

即.分別是屬于三個不同特征值兒=l.A2=2,A3=-1的特征向垃.

而A為三階實對稱矩陣，其不同特征值對應的特征向瓶必正交，即

fa[-a,=0,f-2-5a+2=0,

（n{、解得a=0,6=-2.

la；,a-i=0,I-26-5（a+l）+1=0,

又/Va=A。。，而。=-1,于是有-aj=4°（-。3）,即4'03=Aoaj,

IAI

從而AA*a,=Ao4a,,IAIa,=AAa,.可見Aa=——a,=

oyAo

因此有一=43=-?,故40=2.

A。

-2-2

0,a2=-5

2」

有4If,a,]=1a),2a?,-a3],于是

A=[a,,2a2,一4][.,%必]"

2

5-5

1-42-2-2

1

025?01-5

2T

2212

1Iii

TTio」

71i-

10To

故有（4?尸=A---r-A11■,i

~2T4

1i11

10一T-2oJ

⑶由川=A,a,,i-123,有4'?-?進+玲a,-(^-7-^+1)?,

44i

可見+E的特征值為用=+]=一+1,即出=—1，4=°,他=3,

人i4

故IA,+EI=出/X2/X3=0.

【評注】與A?有關的問題.一般均可考慮利用關系式AT=47=1AlE進行化簡.

知識點解析：暫無解析

20、

(1)設5,，，⑸仇均是三維列向鼠，且.，嗎?線性無關，仇,向線性無關，證明存在非零向

量，，使得f既可由％線性表出，又可由⑶,角線性表出.

「21-3-

3?Pi=-4時,求所有既可由線性表出，又

-1--3-

可由⑸，魚線性表出的向量.

標準答案：

I分析】(1)向量的個數(shù)多于維數(shù)必線性相關,可見.，.，由，向線性相關,再利用線性相關的定

義證明即可;(2)利用(1)的分析，相當于解一線性方程組.

【詳解】(1)四個三維向髭■，,⑶血必線性相關,故知存在不全為零的自AM,,A2，使得

k?、+ha1+Aj/?2+^2Pi~0成立，

即A)a,+A2a2=-4】d-八鞏成立，

其中瓦不全為零不全則，由-3-入孫=0,可推出九=>=。,這和占,飼,用,左

不全為零相矛盾).

令g=&/?=_九⑶_入孫/0,

則《即為所求得證存在非零向量，使得3既可由■線性表出，又可由eA線性表出.

(2)由(I)知事=kg+k2a2=-A/1一人必，

%

k

得占,+A2a2+入，1+入h~。，即［.,與，Bi，Bzl=。，

A,

以」

解此方程組，得通解為(占，與，尢，A2)=*(1,0,-5,-3)。故所求向母為

€=%.+與％=-4/I-入再2=3A，其中A為任意常數(shù).

：【評注】討論一組向量的線性表示問題，本質上可化為線性方程組的求解問曷.

葡養(yǎng)…喜元初￡

21、

設隨機變量X與Y相互獨立，且P(X=1)=P(X=-1)=；,P(Y=1)=

P(Y=-1)=T?,定義Z=XY.證明:X,Y,Z兩兩獨立，但不相互獨立.

標準答案：

【分析】X,Y,Z為離散型隨機變量，兩兩獨立，意指X與Y,X與Z.Y與Z是相互獨立的，即它們的聯(lián)

合分布律等于邊緣分布律相乘.而證明X,Y,Z不是相互獨立，只需檢驗在某組取值上的聯(lián)

合分布律與邊緣分布律相乘不相等即可.

【詳解】(X,Y)的聯(lián)合概率分布為

P(X=-l,Y=-1)=P(X=-1,Y=1)=P(X=l.Y=-1)

=P(X=l.Y=1)=十

而Z=XY的分布為P(Z=-1)=P(Z=1)=

且P(X=-1,Z=-1)=P(X=-1,Z=1)=P(X=1,Z=-1)

=P(X=1,Z=I)=4-

4

這里P(X=1,Z=-l)=P(X=1,Y=-l),其余類推.

從而X和Z獨立.同理Y和Z也獨立.由題設知X.Y獨立.

但P(X=1,Y=1,Z=1)=P(X=l,Y=I)=~

4

而P(X=1)P(Y=1)P(Z=1)=《，兩者不相等，所以X,Y,Z兩兩獨立，但不相互獨立.

O

【評注】對于幀機事件的獨立性，兩兩獨立與相互獨立也是有差別的：

設A,B,C為三個隨機事件，若P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=

P(B)P(C)羊*二

則稱A,B,C兩兩獨立;若進一步還有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，則稱A,B,C相互獨立

知識點解析：暫無解析

22、

某系統(tǒng)Q由兩個子系統(tǒng)％與92聯(lián)接組成,聯(lián)接的方式有三種：1)6,%串聯(lián)；2%、q

并聯(lián)；3)%與%一個工作一個備用.已知子系統(tǒng)％,%的壽命X,Y均服從指數(shù)分布,其概率

密度分別為

ae*(wx>0,r>o,

fxM={fyM

0,zW0,=r0,”0,

其中常數(shù)a>0,6>0,且設系統(tǒng)Q的壽命為Z,分別求三種情況下,Q的壽命Z的概

率密度.

標準答案：

(分析】本題實質上為求隨機變垃函數(shù)的分布,5g中聯(lián).意指壽命Z=min(X.Y)0.%并聯(lián),意

指壽命Z=max(X.Y)；而當/損壞時勺立即開始工作,意指Z=X+Y.

【詳解】(1)因依他中聯(lián),其中一個損壞,系統(tǒng)便停止工作，所以Q的壽命Z=min(X,Y).因為

于是有匕X"??-[1-FM(Z)][!

故J")=〃z)U-&(￡)]+43"?々(￡)]

=((a+6)e-fx>0,

I0,zWO.

(2)因切,%并聯(lián)，當%與%均損壞時?系統(tǒng)才停止工作.所以Q的壽命Z=max(X.Y).

于是有-一([)=0(z)F；(z),

故J")"z)“⑴&⑺

Jae-+加4?(az>0.

-I0,zS0.

(3)因為當名損壞時，先立即開始工作，當生也損壞時，系統(tǒng)Q才停止工作.

故工=X+Y,于是

=昌(「7)->0,

Q-0

JU.f.,X-e。),z>0,

故Zr”(z)=a-6

I0,2^0.

*評注】時于常見二維酋機變量函數(shù)的分布，如Z=mintX.YhZ=maxtX.YJ.Z=X+Y等應

i作為公式加以記憶.

珀茨瞬標…看完籥橋”

考研數(shù)學(數(shù)學一)模擬試卷第2套

一、選擇題(本題共8題，每題L0分，共8分。)

1、

設函數(shù)/(4)是在(-8,+8)內連續(xù)的單調增加的奇函數(shù)，/1(x)=￡(2/-^)/(x-r)Jz,

則廣⑴是

(A)單調增加的非奇非偶函數(shù).(B)單調減少的非奇非偶函數(shù).

(C)單調增加的奇函數(shù).(D)單調減少的奇函數(shù).

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【分析】利用性質:如/(4)為連續(xù)的奇函數(shù),則函數(shù)/；/(，)市為偶函數(shù);如/(4)為連續(xù)的偶函數(shù)，則

函數(shù)力為奇函數(shù).

【詳解】令"-I=u,F(%)=J(x-2u)/(u)(-du)=x^f(u)du-2^uf(u)du,

所以,FM是奇函數(shù).

又尸⑴=O(u)du+叭%)-2xf(x)

=j°f(心du-切⑺<^f(x)(iu-xf(x)=0

即F(X)單調減少.故選(D).

產........................................................................................

，評注】第悉上述性質,可以提高解題的速度.另外,對于變限積分，先換元變形，再求導是考生:

應熟練掌握的基本技巧.

2、

設在全平面上有更號近<0,虻今近>0,則在下列條件中使f(陽，為)</(3，力)

oxay

成立的是

(A)/<3，力<y2-(B)的<町，力>y2.

(C)x,>x2,y,<y2.(D)x,x&，%>y2.[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【分析】由吟五<0,華”>0,可得到函數(shù)/(%,外關于#華因減少，關于八單調增加.

axdy

【詳解】由已知,當所>千時，〃陽，力)</(3，力)；當為(力時，〃與，力)〈丸&,%)?

所以，當X]>x2Oi<力時，有/(0，力)</(*2，力)?故選(。).

r:::??一......................................0

【評注】本題主要考察編導函數(shù)的意義，多元函數(shù)對某自變量的偏導函數(shù)大于零.只能得到函數(shù)

關于該自交量單調增加(其余自交量保持不交).

設/(%,y)為連續(xù)函數(shù)，則使j"*y)d曲:可二呵)(rcoB0,rsin6)rdr成立的充

分條件是

(A)/(-x,-y)=/(”).

(B)/(-x,-y)=-f(x,y).

(C)/(-xfy)=/(x,-y)=-f(xty).

(D)/(-x,y)=/(x,-y)=/(x,y).]

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【分析】如令區(qū)域D=|(x,y)Ix2+/<!|,D,