高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市深圳盟校2024-2025學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為.故選：C2.直線的一個方向向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以直線的斜率為，又當直線斜率存在時，直線的一個方向向量為，所以直線的一個方向向量為，故選：C.3.若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設直線所成角為，所以，所以.故選：B4.已知圓關于直線對稱，則實數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由，得，故圓心為，又因為圓關于直線對稱，故圓心在直線上，則.故選：A5.已知點，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.[1,4]【答案】D【解析】記為點，則直線PA的斜率，直線PB的斜率，因為直線過點，且與線段AB相交，結合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是[1,4].故選：D．6.已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面的關系是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】因為，所以，則或.故選：D7.在正方體中，分別是棱的中點，則點到直線的距離為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】如圖，以為原點，的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，如下所示：易知，，;取，，則，所以點到直線的距離為．故選：C.8.已知，是圓上兩點，且，若直線上存在點使得，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知:圓的圓心為，半徑，設中點為，則，且，可得，又因為，可知為等腰直角三角形，則，可得，故點的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，因為直線上存在點使得，即直線與圓有交點，即圓心到直線的距離，解得或.故選：A.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線過點，且在軸上的截距是軸上的截距的3倍，則直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】當截距為0時，設直線的方程為，將點代入可得，所以，即;當截距不等于0時，設直線的方程為，將點代入可得，解得，所以直線的方程為，即，所以直線的方程為或.故選：BD.10.下列圓中與圓相切的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由題知，圓的圓心為，半徑為4.A選項，的圓心為，半徑為2，故，由于，所以圓與內(nèi)切，A正確；B選項，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與外切，B正確；C選項，的圓心為，半徑為4，故，由于，故圓與不相切，C錯誤;D選項，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與不相切，D錯誤.故選：AB．11.如圖，四棱錐中，底面，底面為正方形，且，分別為的中點，則（）A.B.與所成角的余弦值是C.點到平面的距離為D.過點平面截四棱錐的截面面積為【答案】AC【解析】如圖，以點為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，所以，故A正確；，則與所成角的余弦值為，故B錯誤；，設平面的法向量為，則令，可得，則點到平面的距離為，故C正確；設過點的平面與線段的交點為，則，因為共面，則共面，故存在唯一實數(shù)對使得，即，所以解得，所以，則，因為，所以，所以過點的平面截四棱錐的截面面積為，故D錯誤．故選：AC三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則線段的中點坐標為___________.【答案】【解析】因為，所以線段的中點坐標為，故答案為：.13.若直線與直線平行，則與之間的距離為___________.【答案】【解析】因為直線與直線平行，所以直線斜率存在，且，得到，此時，即，滿足，所以與之間的距離.14.空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.【答案】【解析】法一：因為平面的方程為，所以平面的一個法向量，又直線:上有兩個點，所以直線的方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為.法二：由題知兩平面與的法向量分別為，設直線的一個方向向量，則即，取，則，又平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求滿足下列條件的圓的標準方程.（1）圓心為，經(jīng)過點；（2）圓心在直線上，且與軸交于點.解：（1）由兩點間的距離公式可得圓的半徑故圓的標準方程為（2）因為圓與y軸交于點，所以圓心在直線y=3上.又圓心在直線上，所以圓心的坐標為，所以圓的半徑，故圓的標準方程為.16.已知向量，，.（1）當時，若向量與垂直，求實數(shù)的值；（2）若向量與向量、共面，求實數(shù)的值.解：（1）因為，所以，解得，即.由，且，得，解得.（2）因為向量與向量、共面，所以設，因此，即，解得，故的值為.17.已知的三個頂點是.（1）求BC邊上的高所在直線的方程;（2）若直線過點，且點A，B到直線的距離相等，求直線的方程.解：（1）因為，所以BC邊上的高所在直線的斜率為1，所以BC邊上高所在直線為，即.（2）因為點A，B到直線的距離相等，所以直線與AB平行或過AB的中點，①當直線與AB平行，所以，所以，即.②當直線過AB的中點，所以，所以，即.綜上，直線的方程為或.18.已知以點為圓心的圓與軸交于點，與軸交于點N，O為坐標原點.（M，N與不重合）（1）求證：的面積為定值;（2）設直線與圓交于點A，B，若，求實數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，設P，Q分別是直線和圓上的動點，求|PQ|的最小值及此時點的坐標.解：（1）由圓的方程，化簡得，其與軸，軸的交點分別為:，所以為定值.（2）如圖①所示，因為，所以.又OC的斜率，所以，解得（負數(shù)舍去），（3）如圖②所示，由②知:圓的方程為:，圓心，半徑.設點關于直線的對稱點為，則中點為，且解得，即，則，又點到圓上點的最短距離為，則的最小值為，此時直線的方程為:，即.點為直線與直線的交點，則解得即點19.在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大?。唬?）在線段上是否存在點，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.（1）證明：因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）解：由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.因為，故，由幾何關系可知，，，，故，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設與平面所成角的大小為，則有，設為與平面所成角，故，即與平面所成角的大