14.4.1用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(教學(xué)方式:基本概念課——逐點理清式教學(xué))[課時目標(biāo)]1.會求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).2.理解用樣本的數(shù)字特征、頻率分布直方圖估計總體的集中趨勢.逐點清(一)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)[多維理解]1.平均數(shù)(1)總體均值:一般地,我們把總體中所有數(shù)據(jù)的稱為總體的均值,又稱總體平均數(shù).它通常可以代表總體的水平.

(2)平均數(shù):稱為這n個數(shù)據(jù)a1,a2,…,an的平均數(shù),一般記為a=.

(3)性質(zhì):一般地,若取值為x1,x2,…,xn的頻率分別為p1,p2,…,pn,則其平均數(shù)為.

2.眾數(shù)一般地,我們將一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的那個數(shù)據(jù)叫作該組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

3.中位數(shù)一般地,將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排成一列,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù),那么排在的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù),那么,排在正中間的兩個數(shù)據(jù)的即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).[微點練明]1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.()(2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù).()(3)若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變.()2.一組樣本數(shù)據(jù)為19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A.14,14 B.12,14C.14,15.5 D.12,15.53.(多選)某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球,每人練習(xí)10組,每組罰球40個,命中個數(shù)如下所示:甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26乙:14,9,13,18,19,20,23,21,21,11則下面結(jié)論正確的是()A.甲的極差是29 B.乙的眾數(shù)是21C.甲的平均數(shù)為21.4 D.甲的中位數(shù)是244.(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻,得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位:kg)并整理下表:畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200]頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù),下列結(jié)論中正確的是()A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間逐點清(二)頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)[多維理解]1.單峰頻率分布直方圖中的平均數(shù)與中位數(shù)(1)如果直方圖的形狀是對稱的,那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多.(2)如果直方圖在右邊“拖尾”,那么平均數(shù)大于中位數(shù).(3)如果直方圖在左邊“拖尾”,那么平均數(shù)小于中位數(shù),也就是說,和中位數(shù)相比,平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊.2.頻率分布直方圖中眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高矩形底邊中點的橫坐標(biāo),中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,樣本平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和.[微點練明]1.某班全體學(xué)生參加物理測試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如圖所示,則估計該班物理測試的平均成績是()A.70分 B.75分 C.68分 D.66分2.某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名,將其物理成績(均為整數(shù))分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中的信息,回答下列問題:(1)估計這次考試的物理成績的眾數(shù)m與中位數(shù)n(結(jié)果保留一位小數(shù));(2)估計這次考試的物理成績的及格率(60分及以上為及格)和平均分.3.某快遞公司招聘快遞騎手,該公司提供了兩種日工資方案:方案1:規(guī)定每日底薪50元,快遞騎手每完成一單業(yè)務(wù)提成3元;方案2:規(guī)定每日底薪150元,快遞業(yè)務(wù)的前44單沒有提成,從第45單開始,每完成一單業(yè)務(wù)提成5元,該快遞公司記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量.現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)若僅從人均日收入的角度考慮,請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)逐點清(三)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用[典例]甲、乙、丙三家電子廠商在廣告中都聲稱,他們的某型電子產(chǎn)品在正常情況下的待機時間都是12h,質(zhì)量檢測部門對這三家銷售產(chǎn)品的待機時間進行了抽樣調(diào)查,統(tǒng)計結(jié)果(單位:h)如下:甲:8,9,9,9,9,11,13,16,17,19;乙:10,10,12,12,12,13,14,16,18,19;丙:8,8,8,10,11,13,17,19,20,20.(1)分別求出以上三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);(2)這三個廠商的推銷廣告分別利用了上述哪一種數(shù)據(jù)來表示待機時間?(3)如果你是顧客,宜選擇哪個廠商的產(chǎn)品?為什么?聽課記錄:|思|維|建|模|利用樣本數(shù)字特征進行決策時的兩個關(guān)注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān),可以反映更多的總體信息,但受極端值的影響大;中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,不受幾個極端值的影響;眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點,無法客觀反映總體特征.(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時,說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值.[針對訓(xùn)練]某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進行晨練,兩群市民的年齡如下(單位:歲):甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群:54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映甲群市民的年齡特征?(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個統(tǒng)計量能較好地反映乙群市民的年齡特征?14.4.1用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)[多維理解]1.(1)算術(shù)平均數(shù)(2)a1+(3)x1p1+x2p2+…+xnpn2.次數(shù)最多3.正中間平均數(shù)[微點練明]1.(1)√(2)×(3)×2.選A把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27,則可知其眾數(shù)為14,中位數(shù)為14.3.選ABC把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,得甲:8,12,13,20,22,24,25,26,27,37,乙:9,11,13,14,18,19,20,21,21,23,故甲的最大值為37,最小值為8,則極差為29,所以A正確;乙中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是21,所以B正確;甲的平均數(shù)為x甲=110(8+12+13+20+22+24+25+26+27+37)=21.4,所以C正確;甲的中位數(shù)為12(22+24)=23,所以4.選C根據(jù)頻數(shù)分布表可知,6+12+18=36<50,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯誤;畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,所以低于1100kg的稻田占比為100-34100=66%,故B錯誤;稻田畝產(chǎn)量的極差最大約為1200-900=300,最小約為1150-950=200,故C正確;由頻數(shù)分布表可得,100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為1100×(6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175)=1067,故D1.選C0.005×20×30+0.010×20×50+0.020×20×70+0.015×20×90=68(分).2.解:(1)眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高小矩形底邊中點的橫坐標(biāo),所以眾數(shù)為m=75.0.前3個小矩形面積和為0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4<0.5,前4個小矩形面積和為0.4+0.03×10=0.7>0.5,所以中位數(shù)n=70+0.5-0.40.03≈73.3(2)依題意,60及60以上的分數(shù)在第三、四、五、六組,頻率和為(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以估計這次考試的物理成績的及格率是75%.利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分為45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.所以估計這次考試物理成績的平均分是71分.3.解:(1)由頻率分布直方圖得(0.005+0.005+a+0.03+a+0.015+0.005)×10=1,解得a=0.02.(2)由題圖,知快遞公司人均每日完成快遞數(shù)量的平均數(shù)是30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05=62.方案1日工資為50+62×3=236,方案2日工資為150+(62-44)×5=240>236.∴騎手應(yīng)選擇方案2.[典例]解:(1)根據(jù)平均數(shù)的計算公式可知,甲廠數(shù)據(jù)的平均數(shù)是110(8+9+9+9+9+11+13+16+17+19)=12乙廠數(shù)據(jù)的平均數(shù)是110(10+10+12+12+12+13+14+16+18+19)=13.6丙廠數(shù)據(jù)的平均數(shù)是110(8+8+8+10+11+13+17+19+20+20)=13.4甲廠、乙廠、丙廠的眾數(shù)分別是9,12,8.甲廠數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9+112=10,乙廠數(shù)據(jù)的中位數(shù)為12+132=12.5,丙廠數(shù)據(jù)的中位數(shù)為11+13(2)甲廠用平均數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機時間,乙廠用眾數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機時間,丙廠用中位數(shù)作為該電子產(chǎn)品的待機時間.(3)我會選乙廠的產(chǎn)品因為乙廠產(chǎn)品的平均數(shù)最大,眾數(shù)最大,中位數(shù)最大,所以待機時間更長些,穩(wěn)定性也較好.