第2章線性離散系統(tǒng)的數(shù)學描述和分析方法

2.1信號變換理論

2.2線性離散系統(tǒng)的數(shù)學描述方法

2.3線性離散系統(tǒng)的Z變換分析法

2.4脈沖傳遞函數(shù)

2.5線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

2.6線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

2.7線性離散系統(tǒng)的動態(tài)響應分析蘭州交通大學自動化學院12.1信號變換理論1.連續(xù)信號的采樣和量化

圖2-1采樣過程采樣過程蘭州交通大學自動化學院2在計算機控制系統(tǒng)中，采樣信號是一數(shù)字序列，可分解成一系列單脈沖之和。

則：式中，為時刻的單脈沖，脈沖的幅值為；為時刻的單脈沖，脈沖的幅值為；……；為時刻的單脈沖，脈沖的幅值為。。

蘭州交通大學自動化學院幅值時間3圖2-2對單位脈沖序列的調(diào)制

可以解釋為連續(xù)時間信號被理想單位脈沖做了離散時間調(diào)制。

因此：蘭州交通大學自動化學院4量化過程

圖2-3量化過程所謂量化，就是采用一組數(shù)碼（如二進制碼）來逼近離散模擬信號的幅值，將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。這個經(jīng)量化使采樣信號成為數(shù)字信號的過程稱為量化過程。

蘭州交通大學自動化學院52.采樣定理

圖2-4、的頻譜及從恢復（a)的頻譜（b）的頻譜（c）理想的濾波器（d）濾波器輸出信號頻譜蘭州交通大學自動化學院6為保證采樣信號的頻譜是被采樣信號的頻譜無重疊的重復（沿頻率軸方向），以便采樣信號能反映被采樣信號的變化規(guī)律，采樣頻率至少應是的頻譜的最高頻率的兩倍，即

采樣定理奠定了選擇采樣頻率的理論基礎，但對于連續(xù)對象的離散控制，不易確定連續(xù)信號的最高頻率。因此，采樣定理給出了選擇頻率的準則，在實際應用中還要根據(jù)系統(tǒng)的實際情況綜合考慮。采樣定理蘭州交通大學自動化學院73.采樣信號的復現(xiàn)和采樣保持器

保持器

保持器是一種基于時域外推原理、把采樣信號轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號，實現(xiàn)采樣點之間的插值的元件。零階保持器

。

零階保持器采用恒值外推原理，把每個采樣值一直保持到下一個采樣時刻,從而把采樣信號變成了階梯連續(xù)信號。圖2-5零階保持器的功能蘭州交通大學自動化學院82.2線性離散系統(tǒng)的數(shù)學描述方法1.差分方程——線性離散系統(tǒng)的差分方程圖2-6連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)

（a）連續(xù)系統(tǒng)（b）離散系統(tǒng)蘭州交通大學自動化學院92.差分方程的求解例2-1已知一個數(shù)字系統(tǒng)的差分方程為輸入信號

初始條件，試求解差分方程。，代入差分方程，得

解：令，蘭州交通大學自動化學院102.3線性離散系統(tǒng)的Z變換分析法1.Z變換對上式取拉氏變換：令：則：蘭州交通大學自動化學院11注意：（1）只有采樣函數(shù)才能定義Z變換；（2）比較下面兩式

中，決定幅值，決定時間。

（3）Z變換是由采樣函數(shù)決定的，它反映不了非采樣時刻的信息。圖2-7采樣值相同連續(xù)函數(shù)不同蘭州交通大學自動化學院12

例2-2

求單位階躍函數(shù)的Z變換。

解：

，由Z變換定義有

將上式兩端同時乘以,有

直接法

Z變換的求?、佗冖偈綔p②式則：蘭州交通大學自動化學院13例2-4

已知，求F（z）。

解:

部分分式法

蘭州交通大學自動化學院14，求。例2-5

已知解:

，

留數(shù)法

已知，具有N個不同的極點，有個重極點（=1，為單極點），則若,蘭州交通大學自動化學院152.Z反變換長除法

例2-7用長除法求函數(shù)的Z反變換。

解：

蘭州交通大學自動化學院16部分分式法

例2-8用部分分式法求的Z反變換。

解：

（查表2—1）蘭州交通大學自動化學院17留數(shù)計算法

例2-9

用留數(shù)計算法求的Z反變換。根據(jù)留數(shù)定理

蘭州交通大學自動化學院183.用Z變換解差分方程用Z變換求解差分方程主要用到變換的平移定理。

例2-10

用Z變換求解差分方程：初始條件為：

解：

對上式進行Z變換得由線性定理:由超前定理:蘭州交通大學自動化學院19查表得為了書寫方便，通常將寫成。代入初始條件，解得蘭州交通大學自動化學院202.4脈沖傳遞函數(shù)圖2-8單輸入單輸出離散系統(tǒng)的方框圖為了應用脈沖傳遞函數(shù)的概念，通常可在輸出端虛設一采樣開關(guān)，對輸出的連續(xù)時間信號做假想采樣，來獲得輸出信號的采樣信號。

1.脈沖傳遞函數(shù)蘭州交通大學自動化學院21脈沖傳遞函數(shù)與差分方程的相互轉(zhuǎn)換

，

若已知n階離散系統(tǒng)的差分方程是在零初始條件下，進行Z變換脈沖傳遞函數(shù)為蘭州交通大學自動化學院222.離散系統(tǒng)方框圖的變換開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖2-9串聯(lián)環(huán)節(jié)框圖的兩種形式

（a）兩環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)

（b）兩環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)

（a）（b）通常蘭州交通大學自動化學院23閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

例2-11

求圖所示典型計算機控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。圖2-10典型計算機控制系統(tǒng)

解：

蘭州交通大學自動化學院242.5線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點位于Z平面的單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；線性定常離散系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：蘭州交通大學自動化學院在單位圓上有重極點或者在單位圓外有一個以上的極點，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；在單位圓上有一對復數(shù)極點或一個實極點，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。25朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)

朱利穩(wěn)定性判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設離散系統(tǒng)的特征方程為其中，為實數(shù)，通常取。與構(gòu)造勞斯表類似，按以下方法構(gòu)造朱利表蘭州交通大學自動化學院第一行系數(shù)用特征方程的高次冪系數(shù)到低次冪系數(shù)順序排列；第二行系數(shù)將上行系數(shù)倒序排列而成；第三行系數(shù)計算公式：第一行系數(shù)－第二行系數(shù)×（第一行末系數(shù)／第一行首系數(shù)）第四行系數(shù)是第三行系數(shù)倒序排列；…,以此類推。26朱利表

蘭州交通大學自動化學院…即：27朱利穩(wěn)定判據(jù)

蘭州交通大學自動化學院即：如果有小于零的系數(shù)，其個數(shù)表明特征方程的根在z平面單位圓外的個數(shù)。離散系統(tǒng)特征方程式的所有根都在平面單位圓內(nèi)的充分必要條件是朱利表中所有奇數(shù)行第一列系數(shù)均大于零。即：28為了減少計算，給出系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：對于二階系統(tǒng)有可以證明：離散線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件等價于朱利穩(wěn)定判據(jù)的充要條件中最后一行系數(shù)大于零，即：29例2-14已知二階離散系統(tǒng)特征多項式為

試確定使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的K值范圍。

，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的K值是蘭州交通大學自動化學院解：系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件是30

2.6線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析離散系統(tǒng)采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差假設所有的極點都在平面單位圓內(nèi)，根據(jù)終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為圖2-11離散控制系統(tǒng)

蘭州交通大學自動化學院312.7線性離散系統(tǒng)的動態(tài)響應分析

1．已知離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，分析系統(tǒng)的動態(tài)響應特性當離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知時，在輸入信號給定的情況下，得到輸出量的變換，經(jīng)過反變換，就能得到系統(tǒng)輸出的時間序列。根據(jù)過渡過程曲線，可以分析系統(tǒng)的動態(tài)特性如、等。

蘭州交通大學自動化學院32解：

被控對象脈沖傳遞函數(shù)代入已知參數(shù)，可得系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

例2-17

如圖所示的線性離散系統(tǒng)，輸入為單位階躍序列。試分析系統(tǒng)的過渡過程。（其中：）圖2-12例11圖蘭州交通大學自動化學院33得到輸出時間序列為

圖2-13離散系統(tǒng)輸出時間序列蘭州交通大學自動化學院342．已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)零、極點在平面中的分布情況，分析系統(tǒng)的動態(tài)響應特性圖2－14閉環(huán)極點分布與過渡分量的關(guān)系(a)閉環(huán)實數(shù)極點蘭州交通大學自動化學院(b)閉環(huán)復數(shù)極點35