第一章有理數(shù)（復習講義）①掌握正數(shù)、負數(shù)的概念，理解有理數(shù)的概念和分類；②理解并應(yīng)用數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值等相關(guān)概念，學會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題；③熟練掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算法則，并能在混合運算中選擇合適的運算律簡化運算；④能利用有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算解決簡單的生活實際問題；⑤掌握科學記數(shù)法的相關(guān)概念；理解并運用近似數(shù)的概念；知識點重點歸納常見易錯點正數(shù)負數(shù)正數(shù)、負數(shù)可以表示生活中具有相反意義的量通常表示上升、盈利等用正數(shù)表示；通常表示下降、虧損等用負數(shù)表示；這只是一種規(guī)定，可以根據(jù)實際需要改變數(shù)軸1.數(shù)軸三要素：原點、正方向、單位長度；2.利用數(shù)軸比較兩個有理數(shù)的大小：左<右單位長度可以根據(jù)實際需要選擇絕對值1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值。2.絕對值的表示方法：數(shù)a的絕對值記作|a|.3.絕對值的代數(shù)意義：（1）一個正數(shù)的絕對值是它本身；（2）一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；（3）0的絕對值是0．即對于任何有理數(shù)a都有：4.絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越?。膸缀我饬x：數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離。1.化簡含有字母的絕對值時，要借助分類討論數(shù)學思想，對絕對值內(nèi)的東西分三種情況討論，然后利用2.絕對值的幾何意義非常重要，要靈活使用這一點解決問題。3.絕對值的非負性最常見的應(yīng)用：有理數(shù)的加法1.有理數(shù)加法法則：（分類討論思想）（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．2.加法運算律：(作用：簡化計算)1.有理數(shù)加法法則是最基本的，符號弄錯是最常見的錯誤。法則理解記憶方法：可以把兩個相加的數(shù)想象成打仗時的敵我雙方，數(shù)的符號表示雙方的旗子，數(shù)的絕對值代表雙方的人數(shù)力量。有理數(shù)的減法減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)將減法轉(zhuǎn)化成加法做，做熟練后就可以不轉(zhuǎn)化了有理數(shù)的乘法1.有理數(shù)乘法法則：（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；（2）任何數(shù)同0相乘，都得0．2.有理數(shù)乘法運算律：1.有理數(shù)乘法法則簡單好記，但寫結(jié)果時，不要忘記符號，更不要與加法法則符號混淆！靈活利用有理數(shù)的乘法運算律，可以簡化計算，減少計算錯誤。有理數(shù)的除法法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.乘除互為逆運算，可以相互轉(zhuǎn)化有理數(shù)的乘方1.乘方的定義：求相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．底數(shù)：在中，叫做底數(shù)；指數(shù)：n叫做指數(shù).特別地，當指數(shù)=2時，一般成為平方；當指數(shù)=3時，一般成為立方。2.乘方的符號法則：（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；1.乘方與冪是不同的，乘方是一種運算，冪是乘方運算的結(jié)果．2.當?shù)讛?shù)是以下幾種情況時，要用括號括起來：底數(shù)是負數(shù)、底數(shù)是分數(shù)、底數(shù)不是單獨的一個數(shù)而是含有運算的式子。3.一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方，指數(shù)1通常省略不寫．4.底數(shù)為1的冪規(guī)律要理解記憶，這個最?？?。有理數(shù)的混合運算有理數(shù)的混合運算解題步驟：1.審題：包含哪些運算，能否使用運算律簡化運算；2.計算：按運算律和運算法則進行計算；3.檢查：注意檢查符號。1.有理數(shù)的混合運算主要是運算順序的問題，每一步都要注意查看運算順序該做哪一步；2.另外還要注意使用運算法則時的符號問題。近似數(shù)準確數(shù)：在日常生活或生產(chǎn)實際中，能準確地表示一些數(shù)的量，成為準確數(shù).近似數(shù)：接近準確數(shù)而不等于準確數(shù)的數(shù)，叫做這個數(shù)的近似數(shù).精確度：近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.題型一題型一正數(shù)和負數(shù)的相關(guān)概念A(yù)． B．0 C． D．4【答案】A【詳解】本題考查負數(shù)的概念，負數(shù)是指小于0的數(shù)．根據(jù)負數(shù)的概念判斷即可．故選：A．【變式11】史料證明：追溯到兩千多年前，中國人已經(jīng)開始使用負數(shù)，并應(yīng)用于生產(chǎn)和生活中．我國古代的《九章算術(shù)》，是世界數(shù)學史上首次正式引入負數(shù)的文獻．若收入50元可記作元，則支出30元可記作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】本題考查了相反意義的量．根據(jù)題意，收入與支出為相反意義的量，收入用正數(shù)表示，則支出用負數(shù)表示，據(jù)此作答即可．【詳解】解：∵收入50元可記作元，∴支出30元可記作元，故選：B．【答案】52【分析】本題考查正數(shù)與負數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正數(shù)與負數(shù)的定義，直接作答即可．【詳解】解：正數(shù)有35，，，，，共5個；故答案為：5：2．【變式13】找出下列各組相反意義的量：①向南走20米；②進球8個；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤運出糧食330噸；⑥失球3個；⑦虧損286元；⑧運進糧食520噸；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米．【答案】具有相反意義的量分別為：①與⑨；②與⑥；③與⑩；④與⑦；⑤與⑧【分析】具有相反意義的量必須是同類量，且只具有相反意義，量不一定相同，所以要先看它們是否是同一類量，再看它們是否意義相反，據(jù)此進行逐個分析即可作答．本題考查了正負數(shù)的意義．【詳解】解：依題意，具有相反意義的量分別為：①與⑨；②與⑥；③與⑩；④與⑦；⑤與⑧．題型二題型二有理數(shù)的概念與分類A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)的定義（整數(shù)和分數(shù)，即有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)），逐一判斷各數(shù)是否屬于有理數(shù)．：分數(shù)形式，屬于有理數(shù)．1.：有限小數(shù)，屬于有理數(shù)．：分數(shù)形式，化為小數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)．0：整數(shù)，屬于有理數(shù)．：整數(shù)，屬于有理數(shù)．綜上，前6個數(shù)均為有理數(shù)，共，故選：D．【變式21】下列說法正確的是（

）A．一定是負數(shù) B．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)C．有理數(shù)分為正數(shù)，負數(shù)和零 D．正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的基本概念．根據(jù)有理數(shù)的基本概念逐一分析即可．【詳解】解：A：當為負數(shù)時，為正數(shù)，故原說法錯誤；B：根據(jù)有理數(shù)的定義，整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故原說法正確；C：有理數(shù)分為正有理數(shù)、負有理數(shù)和零，而非籠統(tǒng)的“正數(shù)、負數(shù)和零”，故原說法錯誤；D：整數(shù)包括正整數(shù)、負整數(shù)和零，選項中遺漏了零，故原說法錯誤；故選：B．【答案】6【分析】本題考查了有理數(shù)，自然數(shù)，分數(shù)，負數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)，自然數(shù)，分數(shù)，負數(shù)的定義判斷解答即可．有理數(shù)有個，自然數(shù)有2個，分數(shù)有2個，負數(shù)有3個，故答案為：6．【變式23】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號內(nèi)：正有理數(shù)集合{

．．．}；負有理數(shù)集合{

．．．}；整數(shù)集合{

．．．}；正分數(shù)集合{

．．．}．【答案】見詳解【分析】此題考查了有理數(shù)的分類．根據(jù)有理數(shù)的分類方法進行解答即可．題型三題型三數(shù)軸【例3】下列所畫數(shù)軸正確的是（

）【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸，規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．根據(jù)數(shù)軸的三要素進行判定即可．【詳解】解：A、缺少單位長度，本選項不符合題意；B、缺少正方向，本選項不符合題意；C、三要素具備，本選項符合題意；D、不符合數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點，本選項不符合題意．故選：C．【變式31】已知數(shù)軸上A點為，點B由點A向右移動6個單位長度，點C距離點B兩個單位，則點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為．【答案】5或1【分析】本題考查了數(shù)軸，掌握平移的關(guān)鍵在于點對應(yīng)的數(shù)的大小變化和平移的規(guī)律．數(shù)軸上的點平移時和數(shù)的大小變化規(guī)律：左減右加．【詳解】解：∵A點為，點B由點A向右移動6個單位長度，∵點C距離點B兩個單位，∴點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為5或1，故答案為：5或1.【答案】【分析】本題主要查了數(shù)軸上兩點間的距離．根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離解答即可．故答案為：【變式33】給出下列9個有理數(shù)，按下列要求解答：(1)把上面的9個數(shù)用“”排列起來；(2)見詳解；【分析】本題考查了數(shù)軸、有理數(shù)的大小比較．熟知相關(guān)定義是正確解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)”的法則即可結(jié)果；（2）根據(jù)數(shù)軸是用直線上的點表示數(shù)的一條直線，可把數(shù)在數(shù)軸上表示出來；題型題型四數(shù)軸上點的運動【例4】將1在數(shù)軸上對應(yīng)的點向右平移2024個單位，則此時該點對應(yīng)的數(shù)是（

）【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，正確理解有理數(shù)所表示的點左右移動后得到的點所表示的數(shù)是解題的關(guān)鍵．將在數(shù)軸上對應(yīng)的點向右平移2024個單位，在數(shù)軸上找到這個點，即得這個點所表示的數(shù)．故選：B．【變式41】數(shù)軸上一點A沿數(shù)軸向左移動8個單位后到達點B，若點B到原點的距離為6，點C到點A和點B距離相等，則點C表示的數(shù)是（

）A．或 B．或10 C．2或10 D．2或【答案】B【分析】本題考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，先得出點B表示的數(shù)，再得出點A表示的數(shù)，結(jié)合點C到點A和點B距離相等，列式計算，即可作答．即可．【詳解】解：∵點B到原點的距離為6，∴點B表示的數(shù)是：和6，∵數(shù)軸上一點A沿數(shù)軸向左移動8個單位后到達點B，∴點A表示的數(shù)是2或，∵點C到點A和點B距離相等，∴點C表示的數(shù)是或10故選：B．【變式42】點在數(shù)軸上距原點2個單位長度，一個點從點出發(fā)，先向右移動3個單位長度，再向左移動1個單位長度到達點，點表示的數(shù)為．【答案】0或4【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，利用數(shù)軸上的點左移減，右移加是解題關(guān)鍵．先確定點A表示的數(shù)，再分別求出兩次移動后表示的有理數(shù)即可得出答案．【詳解】解：點在數(shù)軸上距原點2個單位長度，點表示的數(shù)為2或，綜上，點表示的數(shù)為0或4．(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是___________；當點P運動到的中點時，它所表示的數(shù)是__________．(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)．求：①當點P追上點Q時，點P所表示的數(shù)是多少？②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？【答案】(1)；1(2)①；②1或9秒此題考查的知識點是兩點間的距離及數(shù)軸，根據(jù)已知得出各線段之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，∵點B在原點左邊，∴數(shù)軸上點B所表示的數(shù)為；故答案為：，1；∴當點P運動5秒時，點P追上點Q；∵此時P點在負半軸，∴當點P追上點Q時，點P所表示的數(shù)是；②設(shè)當點P運動a秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度答：當點1秒或9秒點P與點Q間的距離為8個單位長度．題型題型五相反數(shù)【例5】下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）【答案】D【分析】本題考查了化簡多重符號，相反數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，據(jù)此進行逐項分析，即可作答．C、與不滿足相反數(shù)的定義，不是相反數(shù)；故選：DA．0個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查化簡多重符號，解題關(guān)鍵是熟練掌握符號的運算法則．結(jié)合“負負得正”，將各數(shù)逐一化簡后，根據(jù)負數(shù)（小于0的數(shù)）的個數(shù)進行判斷．【詳解】解：化簡各數(shù)：則化簡后的數(shù)中，負數(shù)有、、，共3個．故選：C．【答案】①②⑤⑥【分析】本題主要考查了相反數(shù)和多重符號化簡，根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“”號，化簡各項數(shù)字后再判斷求解即可．正確使用相反數(shù)的意義對每個數(shù)字進行化簡是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①和互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的是①②⑤⑥．故答案為：①②⑤⑥．【變式53】（1）如圖，在數(shù)軸上點表示的數(shù)是_____，點表示的數(shù)是_____；（2）請在數(shù)軸上用點表示數(shù)的相反數(shù)；（3）如果該數(shù)軸上點與點之間的距離是，那么點表示的數(shù)是______．【分析】本題主要考查了數(shù)軸，相反數(shù)，兩點間的距離，熟知數(shù)軸上的點所表示數(shù)的特征及相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給數(shù)軸即可得到答案；（2）根據(jù)題意將點擊在數(shù)軸上表示出來即可和；（3）根據(jù)數(shù)軸上點所表示數(shù)的特征即可解決問題．【詳解】解：（1）由數(shù)軸可知，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是；故答案為：，；如圖，點即為所求；（3）點與點之間的距離是，題型題型六絕對值及其性質(zhì)A．3 B． C．3或6 D．3或【答案】D【分析】本題考查了化簡絕對值，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，由絕對值的意義確定m的值，再根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離相等的條件建立方程進行求解，即可作答．根據(jù)題意，這個點表示的數(shù)為x，x到m的距離等于x到的距離，故選：DC．相等且都不小于0 D．m是n的絕對值【答案】B故選：B．【答案】【分析】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值和平方數(shù)的非負性，即絕對值一定大于等于0，一個數(shù)的平方也一定大于等于0．因為兩個非負數(shù)的和為0，則這兩個非負數(shù)分別為0，據(jù)此列出方程求解的值．故答案為：．【變式63】已知數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別是，，．(1)求線段的中點D所表示的數(shù)．(2)求線段（O為原點）的長．【答案】(1)(2)(3)或11【分析】此題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，絕對值的意義，（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點中點公式求解即可；（2）根據(jù)絕對值的意義求解即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離分點C在點A左邊和點C在點A右邊兩種情況討論，然后分別列式求解即可．【詳解】（1）∵數(shù)軸上點A，B，所表示的數(shù)分別是，，（2）∵點D所表示的數(shù)為綜上所述，x的值為或11．題型題型七絕對值的化簡問題A．0 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了由數(shù)軸判斷式子的大?。蔬x：A．本題考查了數(shù)軸上字母表示數(shù)，絕對值的化簡，熟練掌握實數(shù)的大小比較，絕對值的化簡是解題的關(guān)鍵．【變式73】在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答問題．【解決問題】解：由題意，得，，三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：【答案】或【分析】本題考查帶有字母的絕對值化簡，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．，，都是負數(shù)或其中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)，題型題型八有理數(shù)的運算【例8】計算：【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了有理數(shù)的運算，解題關(guān)鍵在于熟練掌握各個運算的分式方法.（1）根據(jù)有理數(shù)加減法原則，去括號，再運算；（2）根據(jù)有理數(shù)乘除法原則，除以一個等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，再確定符合，然后再運算；（3）根據(jù)乘法分配律運算，再用加減運算即可；（4）先乘法，先算括號內(nèi)的，然后再去運算即可.；；【變式81】計算：【答案】(1)4(2)(3)【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）原式根據(jù)有理數(shù)的加減法則進行計算即可得出答案；（2）原式用乘法分配律計算即可求出值；（3）原式先計算乘除，再計算加減，即可求出值；（4）原式先算括號中的減法運算，再算除法運算，最后算加減運算即可求出值；（5）原式先算括號中的乘方，乘法，以及加減運算，再算除法運算即可求出值；；；【變式82】計算：【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運算；（1）先把減法化為加法，再計算即可；（2）先把除法化為乘法，再計算即可；（3）把分母相同的兩數(shù)先加，再進一步的計算即可；（4）先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減即可．；【變式83】計算：【答案】(1)0(2)(3)23(5)7(6)【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，熟知有理數(shù)混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．（1）先去括號，再利用有理數(shù)的加減法則進行計算即可；（2）先去括號，再利用有理數(shù)的加減法則進行計算即可；（3）先把除法化為乘法，再利用乘法分配律進行計算即可；（4）先算乘方，括號里面的，再算乘除，最后算加減即可；（5）先算乘方，去絕對值符號，再算乘除，最后算加減即可；（6）先算括號里面的乘方，乘法，再算減法，最后算括號外面的即可．；．題型題型九有理數(shù)的簡便計算【例9】用簡便方法計算：【答案】(1)；【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算及乘法分配律，正確掌握有理數(shù)乘法運算法則是關(guān)鍵．（1）先將化為，再利用乘法分配律計算即可；（2）利用乘法分配律進行計算即可；（3）利用乘法分配律進行計算即可．【變式91】怎樣算簡便就怎樣算．【答案】(1)(2)(3)63【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算及簡便計算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（2）先計算小括號內(nèi)加法，再計算中括號內(nèi)減法，最后計算除法；（3）逆用乘法分配律，即可求解．【變式92】用簡便方法計算【答案】(1)(2)17【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，乘法運算律，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．（1）先將除法化為乘法，再利用乘法分配律簡便計算即可；（2）先利用乘法分配律展開，再計算乘法，最后計算加減法即可．．【變式93】計算下面各題，能簡便的用簡便方法計算．【答案】(1)9(2)6(3)(4)【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算，熟練掌握運算法則，是解題的關(guān)鍵．（3）先算小括號里的減法，再算中括號里的除法，最后算中括號外的乘法；；；題型題型十有理數(shù)的規(guī)律計算【例10】閱讀材料，回答下列問題．【分析】本題考查了裂項法在有理數(shù)的混合運算中的應(yīng)用，明確裂項法的形式是解題的關(guān)鍵．（1）觀察①②③三個算式，可知分母中兩個乘數(shù)的差為1，分子的差也為1，直接寫出一個類似的算式即可；（3）所給算式分母中兩個乘數(shù)的差為2，但分子的差為1，故前面乘以，則可以用裂項法進行計算．【變式101】閱讀下面的文字，完成后面的問題．(2)用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律_____________________________；【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，找到式子的規(guī)律，裂項相減是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)規(guī)律拆為兩個分數(shù)的差即可求解．（2）根據(jù)（1）的運算，總結(jié)規(guī)律即可求解．（3）根據(jù)規(guī)律化簡式子，然后根據(jù)有理數(shù)的加減進行計算即可求解．（2）解：由（1）歸納可得：【變式102】觀察下列各式：…(2)根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問題：【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則即可求解；（2）①根據(jù)材料提示，以及有理數(shù)的乘法運算法則即可求解；②有理數(shù)的乘法運算法則，材料提示信息進行計算即可．…．【變式103】數(shù)學活動課上，李老師列舉了以下等式：…．根據(jù)等式規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式為______，第n個等式為______（用含n的式子表示）；【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算中規(guī)律問題：（1）觀察等式，得出規(guī)律，即可求解；理解題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型題型十一有理數(shù)的實際應(yīng)用【例11】某種型號汽車油箱容量為56升，每行駛100千米耗油8升，油箱內(nèi)剩油量隨著行駛路程的變化而變化．(1)用表格表示汽車從出發(fā)地行駛100千米、200千米、300千米、400千米時的剩油量．請將表格補充完整：行駛路程(千米)100200300400油箱內(nèi)剩油量(升)4024(2)這輛汽車行駛360千米時剩油多少升？(3)為了有效延長汽車使用壽命，廠家建議汽車油箱內(nèi)剩余油量為油箱容量的時必須加油，按此建議，問該輛汽車最多行駛多少千米必須加油？【答案】(1)48，32(3)600千米【分析】本題考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用．（1）先求出每千米耗油量，然后用56升減去消耗的油量即可；（2）用56升減去消耗的油量即可；（3）用消耗的油量除以每千米耗油量即可求解．故答案為：48，32；(1)金屬絲的長度經(jīng)歷了怎樣的變化？(2)最后的長度比原長度約伸長多少毫米？【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合計算的實際應(yīng)用，（1）根據(jù)題意分別計算出溫度上升伸長的長度和溫度下降縮短的長度，（2）將（1）的結(jié)果再相減即可得到答案．【變式112】某工廠要加工一批相同型號的零件，計劃每天加工件，但由于各種原因，實際每天的加工量與計劃量相比會有所差異．下表是工廠在某周的加工情況（超過件記為正，不足件記為負）：星期一二三四五六日增減（件）(1)求工廠當周一共加工的零件總數(shù)；(2)若每件零件的加工成本為元，求該工廠當周的加工總成本；(3)為鼓勵生產(chǎn)，工廠所在城市出臺了如下獎懲制度：工廠每加工一件零件獎勵元，若某天超過了計劃加工量，則當天再給予元獎金，若某天沒有達到計劃加工量，則當天需繳納元罰金，求該工廠當周的獎勵總額．【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算、正數(shù)和負數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的算式．（2）用（1）中求得的工廠當周一共加工的零件總數(shù)乘以每件零件的加工成本求解即可；（3）用工人該周一共加工的總數(shù)乘以10，再加上獎金，減去繳納的罰金，即可求出該周的工資總額．答：工廠當周一共加工件零件；答：該工廠當周的加工總成本為元；【變式113】南部縣是一座歷史文化悠久、人口眾多的大縣，出租車是重要的交通工具，出租車的計價標準為：行程不超過2千米收費5元，超過2千米的部分按每千米1.5元收費（不足1千米的按1千米計算)一出租車公司坐落于南北方向的南鐵大道邊，駕駛員張師傅從公司出發(fā)，在此大道上連續(xù)接送5批客人，行駛記錄如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，規(guī)定向北為正，向南為負，單位：千米）第一批第二批第三批第四批第五批(1)送完第五批客人后，張師傅在公司的邊（填南或北）距離公司千米的位置．(2)張師傅的車平均每千米消耗壓縮天然氣0.09升，則送完第五批客人后，張師傅用了多少升壓縮天然氣？(3)在整個過程中，張師傅共收到車費多少元？【答案】(1)南，0.4(3)在整個過程中，張師傅共收到車費34元【分析】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握正負數(shù)的作用，絕對值的意義，分段計費，是解答本題的關(guān)鍵．（1）將表格中的數(shù)據(jù)相加，再根據(jù)正負數(shù)的意義即可解答；（2）先計算出在整個過程的總路程，然后乘以每千米消耗壓縮天然氣0.09升，即可解答；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)是超過2千米的分段計費，取總和，可以計算出送完第五批客人后，張師傅共收到的車費．即送完第五批客人后，張師傅在公司的南邊，距離公司0.4千米的位置；故答案為：南，0.4；在整個過程中，張師傅共收到車費34元．題型題型十二含乘方的有理數(shù)混合運算【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算．先算乘方，再算乘法，最后算加減，如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．．【答案】4【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則，“先算乘方，再算乘除，最后算加減，有小括號的先算小括號里面的”．根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合運算法則進行計算即可．．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，先計算括號內(nèi)的以及乘方，然后計算乘除，最后計算加減，即可求解．．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，包括乘方、乘除、加減的運算順序，以及符號的處理．先計算乘方然后進行有理數(shù)的加減運算即可．題型題型十三程序流程圖【例13】如圖所示的運算程序中，如果開始輸入x的值為2，可以發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結(jié)果為，第二次輸出的結(jié)果為，…，則第2025次輸出的結(jié)果是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．計算出第次，第次的輸出結(jié)果，發(fā)現(xiàn)輸出結(jié)果以、、為一個循環(huán)組依次循環(huán)，然后計算即可．【詳解】解：∵第次輸出的結(jié)果為，第次輸出的結(jié)果為，∴輸出結(jié)果以、、為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∴第2025次輸出的結(jié)果為1，故選：A．【變式131】按如圖的程序計算，若開始輸入的值為2，最后輸出的結(jié)果為．【答案】11【分析】本題考查了程序框圖與有理數(shù)的混合運算；按照題意依次計算乘方與減法，計算結(jié)果與10比較，若小于繼續(xù)計算，否則輸出結(jié)果即可．第一次計算的結(jié)果為，以作為輸入值，計算后結(jié)果為，以作為輸入值，計算后結(jié)果為，則可得輸出結(jié)果．則輸出結(jié)果為11；故答案為：11．【變式132】如圖所示的是一個簡單的數(shù)值運算程序．當輸入的值為4時，輸出的值為．【答案】，故答案為：．【變式133】數(shù)學活動小組設(shè)計出如下的運算程序：任給一個正整數(shù)n，若n是偶數(shù)，則將n除以2；若n是奇數(shù)，則將n乘以3再加1．重復這樣的運算，經(jīng)過有限次后，得到結(jié)果為1并輸出．根據(jù)運算程序，解答下列問題：(1)小組同學輸入7，求運算一次后的結(jié)果；(2)小組同學輸入一個數(shù)，在沒有輸出前，每次運算的結(jié)果都是偶數(shù)，經(jīng)過4次運算輸出1，請直接寫出同學們輸入的數(shù)．【答案】(1)22(2)16【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意列出算式．（1）根據(jù)題干提供的信息列式計算即可；（2）根據(jù)每次運算的結(jié)果都是偶數(shù)，經(jīng)過4次運算輸出1，列出算式，得出運算結(jié)果即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，輸入7，運算一次后的結(jié)果為：（2）解：∵每次運算的結(jié)果都是偶數(shù)，經(jīng)過4次運算輸出1，題型題型十四算24點【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計算，根據(jù)有理數(shù)的四則混合計算法則計算24點即可．【變式141】中考新趨勢·一題多問

在學習了《有理數(shù)及其運算》以后，小明和小亮一起玩“24點”游戲，規(guī)則如下：從一副撲克牌（去掉大、小王）中任意抽取4張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算（每張牌只能用一次），使得運算結(jié)果為24或，其中紅色撲克牌代表負數(shù)，黑色撲克牌代表正數(shù)，J，Q，K分別代表11，12，13．現(xiàn)在小亮抽到的撲克牌代表的數(shù)分別是：3，，，10，請你幫助他寫出兩個算式，使其運算結(jié)果分別等于24、：、．【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握計算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則進行計算即可解答．【變式142】有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各題：(1)從中選擇兩張卡片①使這兩張卡片上數(shù)字之和最大，請列出算式并計算結(jié)果_____；②使這兩張卡片上數(shù)字之差最小，請列出算式并計算結(jié)果_____；③使這兩張卡片上數(shù)字之積最大，請列出算式并計算結(jié)果_____；④使這兩張卡片上數(shù)字之商最小，請列出算式并計算結(jié)果_____；(2)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結(jié)果為24，寫出算式及運算過程．（寫出兩種即可）【答案】(1)見解析(2)見詳解【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)兩個最大的數(shù)相加，得出；②運用最小的數(shù)減去最大數(shù)，所得的差最??；③根據(jù)同號得正，且結(jié)合正數(shù)最大，進行作答；④根據(jù)異號得負，且結(jié)合負數(shù)最小，進行作答；（2）結(jié)合從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當運算（可加括號），使其運算結(jié)果為24，進行列式計算，即可作答．故答案為：9；故答案為：；故答案為：；故答案為：；【變式143】“24點”游戲是同學們熟知的數(shù)學游戲，游戲規(guī)則是利用加、減、乘、除（可加括號），將這四個數(shù)列式進行運算（四個數(shù)都要用到且都只能使用1次），使其結(jié)果為24．(1)請用一個算式完成下列兩組數(shù)據(jù)的“24點”運算．①1、2、3、6；②、、4、4．【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算法則．（1）根據(jù)有理數(shù)四則混合運算法則，寫出結(jié)果即可；（2）根據(jù)題干要求，利用有理數(shù)四則混合運算法則和含乘方的有理數(shù)混合運算法則，進行解答即可．題型題型十五科學記數(shù)法【答案】C故選：C．【變式151】無錫博物院位于太湖廣場中央，博物院內(nèi)擁有文物近40000件，以古代書畫、歷代紫砂、惠山泥人和無錫近現(xiàn)代革命文物和民族工商業(yè)文物為主要收藏文物．數(shù)據(jù)40000用科學記數(shù)法可表示為（

）．【答案】C故選：C．【變式152】自新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎疫情出現(xiàn)以來，截止2月13日下午6點，我省向武漢等疫情嚴重地區(qū)及我省定點防治新冠肺炎的醫(yī)院、政府部門、執(zhí)勤卡點等捐贈物款約億元．億用科學記數(shù)法表示應(yīng)為．【變式153】2025年2月26日清晨，潘建偉團隊宣布“九章四號”量子計算機已完成數(shù)據(jù)采集，這臺光子數(shù)突破3000的量子裝置，將計算優(yōu)勢差距拉升到倍，這意味著全球最快的超算對其1分鐘完成的任務(wù)需運行五萬億年．數(shù)據(jù)“五萬億”用科學記數(shù)法表示為．題型題型十六近似數(shù)A．2.15 B．2.14 C．2.144 D．2.145【答案】B故選：B．【變式161】下列說法錯誤的是（

）【答案】B【分析】本題考查了近似數(shù)和科學記數(shù)法，熟練掌握近似數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵；根據(jù)近似數(shù)和科學記數(shù)法的相關(guān)知識逐項判斷即得答案.D、近似數(shù)0.6精確到十分位，0.60精確到百分位，故近似數(shù)0.6和0.60表示的意義不同，故選項說法正確；故選：B.【變式162】根據(jù)2023年人口調(diào)查結(jié)果顯示，我國總?cè)丝诩s為十四億零九百六十七萬人，橫線上的數(shù)寫作；用“四舍五入法”省略億位后面的尾數(shù)約是．【分析】根據(jù)數(shù)位和數(shù)字的關(guān)系，從高位向低位寫起，數(shù)位上無數(shù)字時用0補齊，書寫即可，根據(jù)四舍五入原則，把千萬位的數(shù)字實施四舍五入，解答即可．本題考查了大數(shù)的書寫，近似數(shù)的計算，熟練掌握近似數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．【變式163】按括號內(nèi)的要求，用四舍五入法對下列各數(shù)取近似數(shù)：(1)2.715（精確到百分位）；(2)0.1395（精確到0.001）．【答案】(1)2.72(2)0.140【分析】本題考查了近似數(shù)與精確度，熟練掌握精確度的定義是解答本題的關(guān)鍵．近似數(shù)的最后一個數(shù)字實際在什么位上，即精確到了什么位，要求精確到某一位，應(yīng)當對下一位的數(shù)字進行四舍五入．（1）（2）根據(jù)精確度的定義解答即可．基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測1．下列各化簡變形中，去括號正確的是（）【答案】C【分析】本題主要考查了去括號法則，正確掌握去括號法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)去括號法則，括號前是正數(shù)時，括號內(nèi)各項符號不變；括號前是負數(shù)時，括號內(nèi)各項符號改變，同時需用分配律將系數(shù)乘以括號內(nèi)的每一項．故選：C．【答案】B故選：B．3．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負，絕對值的意義，利用數(shù)軸表示有理數(shù)的大小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．故A，B，C均錯誤，不符合題意，D正確，符合題意，故選：D．4．以下的運算的結(jié)果中，最大的一個數(shù)是（）【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的運算，有理數(shù)的大小比較．比較四個選項的運算結(jié)果即可，需注意負數(shù)參與不同運算后的符號和大小變化．故選C．5．2025年5月，基于“三進制”邏輯的芯片研制成功．與傳統(tǒng)的“二進制”芯片相比，三進制邏輯芯片在特定的運算中具有更高的效率．二進制數(shù)的組成數(shù)字為0，1．十進制數(shù)22化為二進制數(shù)：傳統(tǒng)三進制數(shù)的組成數(shù)字為0，1，2．十進制數(shù)22化為三進制數(shù)：A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，理解例題的計算方法，按照例題代入計算即可．將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為三進制數(shù)，需先將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，再將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為三進制數(shù)．將十進制數(shù)11轉(zhuǎn)換為三進制數(shù)，采用“除3取余法”：將余數(shù)倒序排列，得到三進制數(shù)為．故選：A．【答案】/【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，絕對值的化簡，根據(jù)多重符號的化簡方法及絕對值的定義化簡即可．故答案為：，，，．【答案】【分析】此題考查了近似數(shù)，掌握近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)當看末尾數(shù)字實際在哪一位是解題的關(guān)鍵．根據(jù)近似數(shù)的精確度把千分位上的數(shù)字4進行四舍五入即可．故答案為：．【答案】14【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意將二進制化為十進制即可求解．故答案為：14．【答案】73【分析】先明確圖2中每一位對應(yīng)的七進制數(shù)位，再根據(jù)滿七進一的規(guī)則，用各位數(shù)字乘以對應(yīng)的冪次，最后求和得到十進制表示的天數(shù)．本題主要考查了七進制與十進制的轉(zhuǎn)換，熟練掌握滿七進一規(guī)則及不同數(shù)位對應(yīng)的冪次運算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖2可知，七進制數(shù)從右到左各位數(shù)字對應(yīng)的的冪次依次為、、．各位數(shù)字分別為（對應(yīng)位）、（對應(yīng)位）、（對應(yīng)位）．故答案為：73.10．某校九年級有370名師生要去參加社會實踐活動，學校計劃租用甲、乙、丙三種型號的客車前往．每種型號客車的載客量及租金如下表所示：客車型號甲乙丙每輛客車載客量/人每輛客車的租金/元如果甲、乙、丙三種型號的客車分別租用7輛，3輛，2輛，那么租車的總費用為元；如果使租車的總費用最低，那么總費用最低為元．設(shè)甲，乙，丙三種型號客車的租用數(shù)量分別是a，b，c，∴車人均價格最低，當取得最大整數(shù)解時，租車費用最低，∵a，b，c都是正整數(shù)，11．計算：【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的混合運算的順序和法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)乘除混合運算法則計算即可；（2）利用乘法分配律進行計算即可．12．計算：【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）運用分配律計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運算順序：先算乘方，絕對值，再算乘除，最后算加減．進行計算即可．13．計算題：【答案】(1)1(3)(4)33(5)0(6)【分析】本題考查了含乘方的有理數(shù)混合運算，乘法運算律，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運算法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)乘除混合運算法則計算即可；（3）先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再結(jié)合加法運算律計算即可；（4）根據(jù)乘法分配律簡便計算即可；（5）根據(jù)乘法分配律簡便計算即可；（6）先計算乘方和括號內(nèi)運算，再計算乘法最后計算加法即可．；；；；．14．如圖為北京市地鐵1號線地圖一部分，某天，小王參加志愿者服務(wù)活動，從西單站出發(fā)，到從A站出站時，本次志愿者服務(wù)活動結(jié)束，如果規(guī)定向東為正，向西為負，當天的乘車站數(shù)按先后順序依次記錄如下（單位：站）：，，，，，，，．(1)請通過計算說明A站是哪一站？(2)若相鄰兩站之間的平均距離為千米，求這次小王志愿服務(wù)期間乘坐地鐵行進的總路程約是多少千米？【答案】(1)A站是西單站(2)小王志愿服務(wù)期間乘坐地鐵行進的總路程是48千米【分析】本題考查了正負數(shù)的應(yīng)用，絕對值的意義，有理數(shù)的乘法運用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正負數(shù)的意義，進行列式計算，即可作答．（2）先算出這次小王志愿服務(wù)期間乘坐地鐵的行進的站數(shù)，再與相乘，即可作答．∴A站是西單站；∴小王志愿服務(wù)期間乘坐地鐵行進的總路程是48千米．15．小山同學通過閱讀課本92頁探究學習資料，自主學習解含有絕對值的方程的方法，并提出了以下問題，請你結(jié)合課本中所給資料（如下所示），幫助小山解決問題．含有絕對值的方程怎樣才能求出含有絕對值的方程的解？探究思路：根據(jù)絕對值的意義，把絕對值的符號去掉，這樣就可以將含有絕對值的方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程進行求解．探究結(jié)論：分別解這兩個方程，得【分析】本題考查了絕對值的意義、解一元一次方程，正確理解絕對值的意義是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的意義，得分別解這兩個方程，得根據(jù)絕對值的意義，得分別解這兩個方程，得能力提升進階練能力提升進階練16．（2425七年級上·湖北武漢·期末）有理數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，那么下列結(jié)論正確的是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，絕對值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上點的位置確定，的正負；根據(jù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置，逐項進行判斷即可．故選：CA． B．2 C．2或 D．或2【答案】C故選C．A． B． C． D．【答案】D∴的值為．故選：D．A．7 B．9 C．12 D．14【答案】D故選：D．A． B．4 C．0或4 D．0或【答案】D故選：D．21．寫出一個比大的負有理數(shù)，這個數(shù)可以是．【答案】（不唯一）【分析】本題主要考查有理數(shù)的比較大小，熟練掌握有理數(shù)的大小比較是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的大小比較以及負有理數(shù)的定義即可得到答案．【詳解】解：比大的負有理數(shù)，這個數(shù)可以是，故答案為：（不唯一）．22．（2425七年級上·北京·期末）新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個門，但不知道每把鑰匙是開哪一個門的鑰匙，現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉著的20個房間，他最多要試開次．【答案】210【分析】本題考查有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于推出每把鑰匙最多試開的次數(shù)．要用一把鑰匙打開對應(yīng)的門，第一把鑰匙最多開20次，剩下19把鑰匙和19個房間，然后第二把鑰匙則最多是開19次，依此類推，每打開一扇門，則會給下一把鑰匙減少一次試開的次數(shù)，所以，每把鑰匙試開的次數(shù)為20，19，18，17，16……3，2，1，即可推出結(jié)果．【詳解】解：∵打開所有關(guān)閉著的20個房間，∴每把鑰匙試開的次數(shù)為20，19，18，17，16……3，2，1，故答案為：210．23．（2425七年級上·北京·期末）隨著科技的發(fā)展，智能機器人逐漸走進了我們的生活．某科技公司研發(fā)了一種新型智能機器人（充電款），用于協(xié)助完成家務(wù)工作．該機器人在工作過程中，會根據(jù)不同的任務(wù)模式調(diào)整其工作效率．已知該機器人在“快速模式”下，每小時可以完成個單位的家務(wù)工作；在“節(jié)能模式”下，每小時可以完成個單位的家務(wù)工作．該機器人充一次電需要小時（每次必須充滿才可斷電），在滿電狀態(tài)下“快速模式”可連續(xù)工作小時，“節(jié)能模式”可連續(xù)工作小時，且選定模式后無法切換模式直至電量用完．現(xiàn)給你一臺滿電狀態(tài)下的機器人，請完成下列任務(wù)：（1）該機器人在“節(jié)能模式”下完成個單位的家務(wù)工作至少需要小時（含中途充電時間）．（2）小時內(nèi)，該機器人最多可以完成個單位的家務(wù)工作．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，（1）根據(jù)題意知：在“節(jié)能模式”下，機器人每小時完成個單位的工作，滿電狀態(tài)下可連續(xù)工作小時，可完成個單位的家務(wù)工作，則要完成個單位需要兩次滿電工作，可得答案；（2）要在小時內(nèi)最大化工作量，需結(jié)合“快速模式”和“節(jié)能模式”的效率與耗時：可得出“快速模式”每小時完成個單位的家務(wù)工作，每周期耗時小時；“節(jié)能模式”每小時完成個單位的家務(wù)工作，每周期耗時小時，然后分兩種情況：通過混合策略：1．前兩次“快速模式”；2．再兩次“節(jié)能模式”；調(diào)整后：“快速模式”次(小時，單位)，剩余小時；“節(jié)能模式”次：首次小時(單位)至第小時，充電小時至第小時，最后小時(至小時)節(jié)能模式，再完成單位，可得答案．【詳解】解：（1）在“節(jié)能模式”下，機器人每小時完成個單位的工作，滿電狀態(tài)下可連續(xù)工作小時，要完成個單位需要兩次滿電工作：第一次工作小時，完成單位；然后充電小時；第二次工作小時，完成剩余單位，故答案為：；(2)要在小時內(nèi)最大化工作量，需結(jié)合“快速模式”和“節(jié)能模式”的效率與耗時∶通過混合策略∶超出限制，不符合題意，調(diào)整如下：“快速模式”次(小時，單位)，剩余小時；“節(jié)能模式”次：首次小時(單位)至第小時，充電小時至第小時，最后小時(至小時)節(jié)能模式，再完成單位，故答案為：．24．（2425七年級上·北京海淀·期末）“北京八中好聲音”彰顯了八中學子的音樂素養(yǎng)，是八中素質(zhì)教育的一種體現(xiàn)、為了更好的準備節(jié)目，學校提供場地供學生進行彩排．現(xiàn)有A，B，C，D，E五個節(jié)目需要彩排．所有演員到場后節(jié)目彩排開始．每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：）如下：節(jié)目演員人數(shù)彩排時長已知每位演員只參加一個節(jié)目．一位演員的候場時間是指第一個彩排節(jié)目開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其它因素）．（1）若兩個節(jié)目不能同時彩排，本著節(jié)目人數(shù)多先彩排的原則，應(yīng)按順序彩排才能使這名演員等待總時間最短；（2）為節(jié)約學生的時間，將場地分成兩部分可供學生同時彩排兩個節(jié)目，則這名演員等待總時長最少為．【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，正確理解題意，熟練計算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意本著節(jié)目人數(shù)多先彩排的原則，按照人數(shù)排列和彩排時間排列，即可求解；（2）將場地分成兩部分可供學生同時彩排兩個節(jié)目，故答案為：．25．（2425七年級上·江蘇常州·期末）將1，2，3，4，5，…，61這61個連續(xù)整數(shù)不重不漏地填入61個空格中．要求：從左至右，第1個數(shù)是第2個數(shù)的倍數(shù)，第1個數(shù)與第2個數(shù)之和是第3個數(shù)的倍數(shù)，第1，2，3個數(shù)之和是第4個數(shù)的倍數(shù)，…，前60個數(shù)的和是第61個數(shù)的倍數(shù)．若第1個空格填入61，則第2個空格所填入的數(shù)為，第61個空格所填入的數(shù)為．61【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運算的應(yīng)用，熟練掌握四則運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)第1個數(shù)是第2個數(shù)的倍數(shù)可得第2個空格所填入的數(shù)；先得出這61個數(shù)的和也是第61個數(shù)的倍數(shù)，再求出這61個數(shù)的和，由此即可得．【詳解】解：∵第1個空格填入61，第1個數(shù)是第2個數(shù)的倍數(shù)，∴第2個空格所填入的數(shù)為1，∵前60個數(shù)的和是第61個數(shù)的倍數(shù)，∴這61個數(shù)的和也是第61個數(shù)的倍數(shù)，∴第61個