老師做九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在數(shù)學(xué)分析中，下列哪個(gè)極限存在且等于2？

A.lim(x→0)(sinx/x)

B.lim(x→∞)(x^2/e^x)

C.lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)

D.lim(x→0)(1-cosx)/x^2

2.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)微積分基本定理，下列哪個(gè)結(jié)論是正確的？

A.f(x)在[a,b]上必有極值點(diǎn)

B.f(x)在[a,b]上的積分值與f(x)的原函數(shù)在端點(diǎn)的差值有關(guān)

C.f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)

D.f(x)在[a,b]上的積分值與f(x)的導(dǎo)數(shù)在端點(diǎn)的值有關(guān)

3.在線性代數(shù)中，矩陣A的秩為3，則下列哪個(gè)說法是正確的？

A.A的行向量組線性無關(guān)

B.A的列向量組線性相關(guān)

C.A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T的秩小于3

D.A存在3個(gè)線性無關(guān)的特征向量

4.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上二階可導(dǎo)，且f''(x)>0，則下列哪個(gè)結(jié)論是正確的？

A.f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增

B.f(x)在[a,b]上的圖形是凸的

C.f(x)在[a,b]上必有駐點(diǎn)

D.f(x)在[a,b]上的積分值大于0

5.在概率論中，隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X服從均勻分布U(0,1)，Y服從指數(shù)分布Exp(1)，則E(XY)等于多少？

A.1/2

B.1

C.1/3

D.2

6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則根據(jù)羅爾定理，下列哪個(gè)結(jié)論是正確的？

A.f(x)在(a,b)上必有駐點(diǎn)

B.f(x)在(a,b)上的積分值等于0

C.f(x)在(a,b)上必單調(diào)遞增

D.f(x)在(a,b)上必單調(diào)遞減

7.在復(fù)變函數(shù)論中，函數(shù)f(z)=1/(z-1)在復(fù)平面上除了z=1處處處解析，則其留數(shù)Res(f,1)等于多少？

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

8.在微分方程中，方程y''-4y'+4y=0的通解形式為？

A.y=C1e^2x+C2xe^2x

B.y=C1e^2x+C2e^-2x

C.y=C1e^x+C2e^3x

D.y=C1e^-x+C2e^-3x

9.在拓?fù)鋵W(xué)中，設(shè)X是度量空間，A是X的子集，則A是X的緊集的充分必要條件是？

A.A是X的有界閉集

B.A是X的連通集

C.A是X的致密集

D.A是X的完備集

10.在數(shù)論中，下列哪個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)？

A.49

B.51

C.53

D.57

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)微積分基本定理，下列哪些結(jié)論是正確的？

A.f(x)在[a,b]上必有極值點(diǎn)

B.f(x)在[a,b]上的積分值與f(x)的原函數(shù)在端點(diǎn)的差值有關(guān)

C.f(x)在[a,b]上必可導(dǎo)

D.f(x)在[a,b]上的積分值與f(x)的導(dǎo)數(shù)在端點(diǎn)的值有關(guān)

2.在線性代數(shù)中，矩陣A的秩為3，則下列哪些說法是正確的？

A.A的行向量組線性無關(guān)

B.A的列向量組線性相關(guān)

C.A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T的秩小于3

D.A存在3個(gè)線性無關(guān)的特征向量

3.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上二階可導(dǎo)，且f''(x)>0，則下列哪些結(jié)論是正確的？

A.f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增

B.f(x)在[a,b]上的圖形是凸的

C.f(x)在[a,b]上必有駐點(diǎn)

D.f(x)在[a,b]上的積分值大于0

4.在概率論中，隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X服從均勻分布U(0,1)，Y服從指數(shù)分布Exp(1)，則下列哪些結(jié)論是正確的？

A.E(XY)=1/2

B.E(XY)=1

C.E(XY)=1/3

D.E(XY)=2

5.在復(fù)變函數(shù)論中，函數(shù)f(z)=1/(z-1)在復(fù)平面上除了z=1處處處解析，則下列哪些說法是正確的？

A.Res(f,1)=1

B.Res(f,1)=-1

C.Res(f,1)=0

D.Res(f,1)不存在

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=__________。

2.在線性代數(shù)中，矩陣A=|12|，B=|34|，則矩陣A與B的乘積AB=__________。

3.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，根據(jù)羅爾定理，f(x)在(a,b)上必有駐點(diǎn)x=__________。

4.在概率論中，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，則E(X)=__________，Var(X)=__________。

5.在復(fù)變函數(shù)論中，函數(shù)f(z)=z^2+1在復(fù)平面上處處解析，則其導(dǎo)數(shù)f'(z)=__________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

3.解線性方程組：

2x+y-z=1

x-y+2z=3

-x+2y+z=2

4.計(jì)算二重積分?_D(x^2+y^2)dA，其中D是由x^2+y^2≤1圍成的區(qū)域。

5.計(jì)算三重積分?_VxyzdV，其中V是由平面x=0，y=0，z=0，x+y+z=1圍成的區(qū)域。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.B

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.C

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.B,D

2.A,D

3.B

4.A

5.B

三、填空題答案

1.3x^2-6x

2.|58|

3.c,a<c<b

4.np,np(1-p)

5.2z

四、計(jì)算題答案及過程

1.解：

lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)[(e^x-1-x)/x^2]/(1/x^2)

=lim(x→0)[(e^x-1-x)'/(x^2)']（使用洛必達(dá)法則）

=lim(x→0)[(e^x-1)/2x]（再次使用洛必達(dá)法則）

=lim(x→0)[e^x/2]

=1/2

2.解：

∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1+2)/(x+1)dx

=∫(1+2/(x+1))dx

=∫dx+2∫dx/(x+1)

=x+2ln|x+1|+C

3.解：

對第一個(gè)方程乘以2，加到第二個(gè)方程：

4x+2y-2z+x-y+2z=2+3

5x+y=5=>y=5-5x

將y的表達(dá)式代入第一個(gè)方程：

2x+(5-5x)-z=1

-3x-z=-4=>z=4-3x

將y和z的表達(dá)式代入第三個(gè)方程：

-x+2(5-5x)+(4-3x)=2

-x+10-10x+4-3x=2

-14x+14=2

-14x=-12=>x=6/7

y=5-5(6/7)=5-30/7=5/7

z=4-3(6/7)=4-18/7=10/7

解為：x=6/7,y=5/7,z=10/7

4.解：

使用極坐標(biāo)變換，x=rcosθ,y=rsinθ,dA=rdrdθ

?_D(x^2+y^2)dA=∫_0^{2π}∫_0^1(r^2)rdrdθ

=∫_0^{2π}∫_0^1r^3drdθ

=∫_0^{2π}[r^4/4]_0^1dθ

=∫_0^{2π}1/4dθ

=[θ/4]_0^{2π}

=2π/4

=π/2

5.解：

使用迭代積分，先對z積分：

?_VxyzdV=∫_0^1∫_0^(1-x)∫_0^(1-x-y)xyzdzdydx

=∫_0^1∫_0^(1-x)xy[z^2/2]_0^(1-x-y)dydx

=∫_0^1∫_0^(1-x)xy(1-x-y)^2/2dydx

=1/2∫_0^1x[∫_0^(1-x)y(1-x-y)^2dy]dx

對內(nèi)層積分令u=1-x-y,du=-dy：

=1/2∫_0^1x[∫_1^0y(-u)^2(-du)]dx

=1/2∫_0^1x[∫_0^1yu^2du]dx

=1/2∫_0^1x[yu^3/3]_0^1dx

=1/2∫_0^1x[(1-x)(1^3/3)-0]dx

=1/6∫_0^1x(1-x)dx

=1/6∫_0^1(x-x^2)dx

=1/6[x^2/2-x^3/3]_0^1

=1/6[1/2-1/3]

=1/6*1/6

=1/36

知識點(diǎn)分類和總結(jié)

1.極限與連續(xù)

-極限的計(jì)算方法：洛必達(dá)法則、泰勒展開等

-函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

2.一元函數(shù)微分學(xué)

-導(dǎo)數(shù)與微分的概念及計(jì)算

-洛必達(dá)法則、泰勒展開等

-函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

-函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)

3.一元函數(shù)積分學(xué)

-不定積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算

-定積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算

-微積分基本定理

-廣義積分

4.線性代數(shù)

-矩陣的運(yùn)算：加法、乘法、轉(zhuǎn)置等

-矩陣的秩與向量組的秩

-線性方程組的解法：高斯消元法等

-特征值與特征向量

5.多元函數(shù)微積分學(xué)

-偏導(dǎo)數(shù)與全微分

-多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

-多元函數(shù)的極值與最值

-重積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算：直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)等

6.常微分方程

-一階常微分方程的解法：可分離變量、齊次、一階線性等

-二階常微分方程的解法：齊次線性、非齊次線性等

7.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

-隨機(jī)變量的概念與分布：離散型、連續(xù)型

-隨機(jī)變量的數(shù)字特征：期望、方差等

-大數(shù)定律與中心極限定理

8.復(fù)變函數(shù)論

-復(fù)數(shù)與復(fù)平面

-解析函數(shù)的概念與柯西-黎曼方程

-留數(shù)定理及其應(yīng)用

9.拓?fù)鋵W(xué)

-度量空間與拓?fù)淇臻g的概念

-緊集、連通集、致密集、完備集等

各題型所考察學(xué)生