2025年根式奧數(shù)試題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題3分，共30分）1.若\(\sqrt{a}+\sqrt=\sqrt{2}\)，則\(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\)的值為多少？A.2B.3C.4D.52.下列哪個選項中的數(shù)是有理數(shù)？A.\(\sqrt{16}\)B.\(\sqrt{18}\)C.\(\sqrt{25}\)D.\(\sqrt{30}\)3.如果\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)，那么\(x^2-2\sqrt{6}x+2\)的值是多少？A.1B.2C.3D.44.\(\sqrt[3]{-8}\times\sqrt[3]{-27}\)的值是多少？A.-6B.-36C.6D.365.若\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt\)，則\(a\)和\(b\)的關(guān)系是？A.\(a=b\)B.\(a\)和\(b\)為正數(shù)C.\(a\)和\(b\)為非負數(shù)D.\(a\)和\(b\)為任意實數(shù)6.\(\sqrt{50}-\sqrt{18}\)的值是多少？A.\(\sqrt{2}\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(3\sqrt{2}\)D.\(4\sqrt{2}\)7.若\(\sqrt{x}=\sqrt{y}+1\)，則\(\sqrt{x+5}-\sqrt{y+5}\)的值是多少？A.1B.2C.3D.48.\(\sqrt{72}\times\sqrt{50}\div\sqrt{18}\)的值是多少？A.10B.20C.30D.409.若\(\sqrt{a}+\sqrt=\sqrt{10}\)且\(a+b=10\)，則\(a\)和\(b\)的值分別是多少？A.1,9B.2,8C.3,7D.4,610.\(\sqrt[4]{16}\times\sqrt[3]{8}\)的值是多少？A.8B.16C.24D.32二、填空題（每題4分，共40分）1.\(\sqrt{48}\div\sqrt{3}\)的值是______。2.若\(x=\sqrt{5}-\sqrt{3}\)，則\(x^2+2x+1\)的值是______。3.\(\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{1}\)的值是______。4.若\(\sqrt{a}-\sqrt=1\)，則\(\sqrt{a^2-b^2}\)的值是______。5.\(\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}\)的值是______。6.若\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=5\)且\(x+y=13\)，則\(\sqrt{x}\times\sqrt{y}\)的值是______。7.\(\sqrt{200}-\sqrt{50}+\sqrt{25}\)的值是______。8.若\(\sqrt{a}+\sqrt=3\)且\(\sqrt{a}-\sqrt=1\)，則\(a\)和\(b\)的值分別是______。9.\(\sqrt[3]{27}\times\sqrt[3]{64}\)的值是______。10.\(\sqrt{75}\div\sqrt{3}+\sqrt{12}\)的值是______。三、解答題（每題10分，共50分）1.化簡\(\sqrt{45}+\sqrt{80}-\sqrt{125}\)。2.若\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)，求\(x^2-2x+1\)的值。3.計算\(\sqrt[3]{16}\times\sqrt[3]{36}\div\sqrt[3]{4}\)。4.若\(\sqrt{a}+\sqrt=5\)且\(a+b=13\)，求\(a\)和\(b\)的值。5.化簡\(\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{32}\)。---答案及解析選擇題1.C.4解析：由\(\sqrt{a}+\sqrt=\sqrt{2}\)，兩邊平方得\(a+b+2\sqrt{ab}=2\)。因為\(\sqrt{ab}\geq0\)，所以\(a+b=2-2\sqrt{ab}\)，即\(\sqrt{a^2+b^2}=2-2\sqrt{ab}\)。代入得\(a+b+\sqrt{a^2+b^2}=4\)。2.C.\(\sqrt{25}\)解析：\(\sqrt{16}=4\)，是有理數(shù)；\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，是無理數(shù)；\(\sqrt{25}=5\)，是有理數(shù)；\(\sqrt{30}=\sqrt{6\times5}\)，是無理數(shù)。3.A.1解析：\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)，則\(x^2=5+2\sqrt{6}\)。所以\(x^2-2\sqrt{6}x+2=5+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}(\sqrt{3}+\sqrt{2})+2=1\)。4.C.6解析：\(\sqrt[3]{-8}=-2\)，\(\sqrt[3]{-27}=-3\)，所以\(-2\times-3=6\)。5.C.\(a\)和\(b\)為非負數(shù)解析：由\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt\)，兩邊平方得\(a+b=a+b+2\sqrt{ab}\)，所以\(\sqrt{ab}=0\)，即\(a\)和\(b\)為非負數(shù)。6.B.\(2\sqrt{2}\)解析：\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，所以\(5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)。7.A.1解析：由\(\sqrt{x}=\sqrt{y}+1\)，兩邊平方得\(x=y+2\sqrt{y}+1\)。所以\(\sqrt{x+5}-\sqrt{y+5}=\sqrt{y+2\sqrt{y}+6}-\sqrt{y+5}=1\)。8.B.20解析：\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)，\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，所以\(6\sqrt{2}\times5\sqrt{2}\div3\sqrt{2}=20\)。9.D.4,6解析：由\(\sqrt{a}+\sqrt=\sqrt{10}\)和\(a+b=10\)，平方得\(a+b+2\sqrt{ab}=10\)，所以\(2\sqrt{ab}=0\)，即\(a=4\)，\(b=6\)。10.A.8解析：\(\sqrt[4]{16}=2\)，\(\sqrt[3]{8}=2\)，所以\(2\times2=4\)。填空題1.4解析：\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)，\(\sqrt{3}\)，所以\(4\sqrt{3}\div\sqrt{3}=4\)。2.5解析：\(x=\sqrt{5}-\sqrt{3}\)，所以\(x^2+2x+1=(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})+1=5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}+1=9\)。3.0解析：\(\sqrt[3]{-1}=-1\)，\(\sqrt[3]{1}=1\)，所以\(-1+1=0\)。4.2解析：由\(\sqrt{a}-\sqrt=1\)，兩邊平方得\(a+b-2\sqrt{ab}=1\)，所以\(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(a+b)(a-b)}=\sqrt{2\sqrt{ab}}=2\)。5.\(\sqrt{3}\)解析：\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)，\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)，所以\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}\)。6.12解析：由\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=5\)和\(x+y=13\)，平方得\(x+y+2\sqrt{xy}=25\)，所以\(2\sqrt{xy}=12\)，即\(\sqrt{xy}=6\)。7.\(\sqrt{5}\)解析：\(\sqrt{200}=10\sqrt{2}\)，\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)，\(\sqrt{25}=5\)，所以\(10\sqrt{2}-5\sqrt{2}+5=5\sqrt{2}=\sqrt{50}\)。8.a=5,b=4解析：由\(\sqrt{a}+\sqrt=3\)和\(\sqrt{a}-\sqrt=1\)，相加得\(2\sqrt{a}=4\)，即\(\sqrt{a}=2\)，所以\(a=4\)。相減得\(2\sqrt=2\)，即\(\sqrt=1\)，所以\(b=1\)。9.48解析：\(\sqrt[3]{27}=3\)，\(\sqrt[3]{64}=4\)，\(\sqrt[3]{4}=2\)，所以\(3\times4\div2=6\)。10.11解析：\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)，\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，所以\(5\sqrt{3}\div\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5+2\sqrt{3}=11\)。解答題1.化簡\(\sqrt{45}+\sqrt{80}-\sqrt{125}\)解析：\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)，\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)，\(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)，所以\(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)。2.若\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)，求\(x^2-2x+1\)的值解析：\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)，所以\(x^2=5+2\sqrt{6}\)，\(2x=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)，所以\(x^2-2x+1=5+2\sqrt{6}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+1=6+2\sqrt{6}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}\)。3.計算\(\sqrt[3]{16}\times\sqrt[3]{36}\div\sqrt[3]{4}\)解析：\(\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\)，\(\sqrt[3]{36}=3\sqrt[3]{2}\)，\(\sqrt[3]{4}=2\sqrt[3]{2}\)，所以\(2\sqrt[3]{2}\times3\sqrt[3]{2}\div2\sqrt[3]{2}=3\)。4.若\(\sqrt{a}+\sqrt=5\)且\(a+b=13\)，求\(a\)和\(b\)的值解析：由\(\sqrt{a}+\sqrt=5\)和\(a+b=13\)，平