第3課時點(diǎn)面距與線面距及直線與平面所成的角(教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評式教學(xué))[課時目標(biāo)]1.了解點(diǎn)到平面的距離,直線和平面的距離的概念.2.了解直線和平面所成角的概念,能利用線面關(guān)系尋找直線與平面所成的角,會求直線與平面所成的角.1.兩種距離(1)點(diǎn)到平面的距離:從平面外一點(diǎn)引平面的垂線,這個的距離,叫作這個點(diǎn)到這個平面的距離.

(2)直線和平面的距離:一條直線和一個平面平行,這條直線上,叫作這條直線和這個平面的距離.

2.直線與平面所成的角(1)相關(guān)概念:①斜線:一條直線與一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫作這個平面的.②斜足:斜線與平面的叫作斜足.

③斜線段:斜線上一點(diǎn)與斜足間的叫作這個點(diǎn)到平面的斜線段.

(2)定義:平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的,叫作這條直線與這個平面所成的角.

(3)規(guī)定:如果一條直線垂直于平面,那么稱它們所成的角是;如果一條直線與平面平行,或在平面內(nèi),那么稱它們所成的角是.

(4)取值范圍:設(shè)直線與平面所成的角為θ,則.

題型(一)距離問題[例1]如圖,在三棱錐P?ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.聽課記錄:|思|維|建|模|(1)從平面外一點(diǎn)作一個平面的垂線,這個點(diǎn)與垂足間的距離就是這個點(diǎn)到這個平面的距離.當(dāng)該點(diǎn)到已知平面的垂線不易作出時,可利用線面平行、面面平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與已知平面等距離的點(diǎn)作垂線,然后計算.(2)利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化:如果條件中具有中點(diǎn)條件,將一個點(diǎn)到平面的距離,借助中點(diǎn)(等分點(diǎn)),轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離.(3)通過換底轉(zhuǎn)化:一是直接換底,以方便求空間圖形的高;二是將底面擴(kuò)展(分割),以方便求底面積和高.[針對訓(xùn)練]1.已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中,棱AA1=12,AB=5.(1)求點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離;(2)求B1C1到平面A1BCD1的距離.題型(二)直線與平面所成的角[例2]如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中.(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角;(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角.聽課記錄:|思|維|建|模|求解直線和平面所成角的一般步驟求直線和平面所成角的關(guān)鍵在于找出直線在平面內(nèi)的射影,基本步驟為(1)作:即在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線,準(zhǔn)確確定垂足的位置是關(guān)鍵;幾何圖形的特征是確定垂足的依據(jù),垂足一般都是一些特殊的點(diǎn),比如線段的中點(diǎn)、平面圖形的中心、重心、垂心等.(2)證:即證明所找到的角為直線和平面所成的角,也就是證明選取的點(diǎn)與垂足的連線和平面垂直,依據(jù)就是直線和平面所成角的定義.(3)求:將所求角轉(zhuǎn)化為垂線段、斜線段與射影所構(gòu)成的直角三角形中進(jìn)行計算.[針對訓(xùn)練]2.三棱錐S?ABC的所有棱長都相等且為a,求SA與底面ABC所成角的余弦值.題型(三)直線與平面位置關(guān)系的綜合問題[例3]如圖,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面PAD;(2)若PD與平面ABCD所成的角為45°,求證:MN⊥平面PCD.聽課記錄:|思|維|建|模|解決線面位置關(guān)系的綜合問題一定要掌握線線平行與垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系.(1)直線與平面平行問題,常常轉(zhuǎn)化為直線與直線平行問題,而直線與直線平行問題也可以轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題,要做出正確的命題轉(zhuǎn)化,就必須熟記線面平行的定義、判定定理和性質(zhì)定理.(2)線線垂直常常轉(zhuǎn)化為線面垂直,即證明其中一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可.證明轉(zhuǎn)化途徑是線線垂直→線面垂直→線線垂直.[針對訓(xùn)練]3.如圖,在三棱柱A1B1C1?ABC中,側(cè)棱與底面垂直,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D是A1B1的中點(diǎn).(1)求證:C1D⊥平面AA1B1B;(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上的什么位置時,會使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.第3課時點(diǎn)面距與線面距及直線與平面所成的角1.(1)點(diǎn)和垂足間(2)任意一點(diǎn)到這個平面的距離2.(1)斜線交點(diǎn)線段(2)銳角(3)直角0°角(4)0°≤θ≤90°[例1]解:(1)證明:∵PA=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn),∴OP⊥AC,且OP=23.連接OB,如圖,∵AB=BC=22AC∴△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,∴OB=12AC=2∵OP2+OB2=PB2,∴OP⊥OB.又∵OP⊥AC,OB∩AC=O,OB?平面ABC,AC?平面ABC,∴PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足為H,由(1)可得OP⊥CH,又OM∩OP=O,OM?平面POM,OP?平面POM,∴CH⊥平面POM,∴CH的長即為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題設(shè)可知,OC=12AC=2,CM=23BC=423,由余弦定理得OM2=OC2+CM2-2OC·CM·cos45°=4+329-2×2×423×2即OM=25∴CH=OC·MC·sin∠ACBOM∴點(diǎn)C到平面POM的距離為45[針對訓(xùn)練]1.解:(1)如圖,過點(diǎn)B1作B1E⊥A1B于點(diǎn)E.由題意知BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B=B,BC?平面A1BCD1,A1B?平面A1BCD1,∴B1E⊥平面A1BCD1,∴線段B1E的長即為所求.在Rt△A1B1B中,B1E=A1B1·BB∴點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離為6013(2)∵B1C1∥BC,且B1C1?平面A1BCD1,BC?平面A1BCD1,∴B1C1∥平面A1BCD1.∴點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離即為所求,∴直線B1C1到平面A1BCD1的距離為6013[例2]解:(1)∵AB⊥平面AA1D1D,∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角,在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,∴∠AA1B=45°,∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.(2)如圖,連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O,連接BO.∵A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,BB1∩B1D1=B1,BB1?平面BB1D1D,B1D1?平面BB1D1D,∴A1O⊥平面BB1D1D,∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角.設(shè)正方體的棱長為1,則A1B=2,A1O=22又∵∠A1OB=90°,∴sin∠A1BO=A1OA又0°≤∠A1BO≤90°,∴∠A1BO=30°,∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.[針對訓(xùn)練]2.解:如圖,過S作SO⊥平面ABC于點(diǎn)O,連接AO,BO,CO.則SO⊥AO,SO⊥BO,SO⊥CO.∵SA=SB=SC=a,∴△SOA≌△SOB≌△SOC,∴AO=BO=CO,∴O為△ABC的外心.∵△ABC為正三角形,∴O為△ABC的中心.∵SO⊥平面ABC,∴∠SAO即為SA與平面ABC所成的角.在Rt△SAO中,SA=a,AO=23×32a=33a,∴cos∠SAO=AO∴SA與底面ABC所成角的余弦值為33[例3]證明:(1)取PD的中點(diǎn)E,連接NE,AE,又∵N是PC的中點(diǎn),∴NE∥DC且NE=12DC又∵DC∥AB且DC=AB,AM=12AB∴AM∥CD且AM=12CD∴NE∥AM,且NE=AM,∴四邊形AMNE是平行四邊形,∴MN∥AE.∵AE?平面PAD,MN?平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角,∴∠PDA=45°,∴AP=AD,∴AE⊥PD.又∵M(jìn)N∥AE,∴MN⊥PD.∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,PA?平面PAD,AD?平面PAD,∴CD⊥平面PAD.∵AE?平面PAD,∴CD⊥AE,∴CD⊥MN.又CD∩PD=D,CD?平面PCD,PD?平面PCD,∴MN⊥平面PCD.[針對訓(xùn)練]3.解:(1)證明:∵三棱柱A1B1C1?ABC的側(cè)棱與底面垂直,AC=BC=1,∠ACB=90°,∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,AA1⊥平面A1B1C1.∵C1D?平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.∵D是A1B1的中點(diǎn),∴C1D⊥A1B1.又A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1?平面AA1B1B,∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)當(dāng)F為BB1的中點(diǎn)時,AB1⊥平面C1DF.證明:如圖,作DE⊥