2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講》含答案59.空間垂直的證明的常見(jiàn)模型59.空間垂直證明中的一些重要構(gòu)型一般的空間垂直（線面垂直或者面面垂直）基本都是一個(gè)平面垂直加一個(gè)線面或者面面垂直得到，關(guān)于平面垂直，注意到通常以四棱錐，三棱柱，四棱柱為主，前者底面為四邊形，后者的側(cè)面為平行四邊形，如此的話，我們需要關(guān)注一些特殊四邊形中的垂直，這些垂直都是常出現(xiàn)在空間垂直的證明過(guò)程中的.平面四邊形中的一些重要垂直關(guān)系1.等腰梯形：如圖1，我們可以證得，這是底邊為等腰梯形的四棱錐中常出現(xiàn)的垂直情形.圖1圖22.內(nèi)角為的菱形，如圖2，，為中點(diǎn)，則.3.內(nèi)角為的平行四邊形，如圖3，，，則.圖3圖44.如圖4，正方形中（邊長(zhǎng)為1:1的矩形），為中點(diǎn)，則.5.如圖5，邊長(zhǎng)為2:3的矩形，可以看做是4的推廣，有.圖5例1.(2022年全國(guó)甲卷)·第18題)在四棱錐中，底面．（1）證明：；（2）求PD與平面所成的角的正弦值．解析：考察圖1（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所?例2．(2021年高考浙江卷）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解析：考察圖3解析:（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．例3．(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第19題)已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?解析：考察圖4.因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)椋瑯?gòu)造正方體，如圖所示，過(guò)E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以平面．又因?yàn)槠矫妫裕?．如圖，在三棱柱中，已知底面，，，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，E為線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：；（2）若直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.解析：考察圖5解析：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，D為的中點(diǎn)，所以,又，所以平面，則，易知，則，因?yàn)椋龡l，則，即，又，所以平面，所以；二．一些常見(jiàn)的空間垂直模型模型1.“箏形翻折模型”結(jié)論：如圖，，設(shè)為中點(diǎn)，則，故面，則.模型2.面面垂直找交線，找到交線引垂線.下面的例6-例8均考察上述模型1：“箏形翻折模型”例6.(2022年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué))如圖，四面體中，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點(diǎn)在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．解析：（1）因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?．(2021年新高考Ⅰ卷)如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．解析：（1）因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AO⊥BD，因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因?yàn)槠矫鍮CD，所以AO⊥CD（2）作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,連FM，因?yàn)锳O⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD，所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因?yàn)镕M⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF則為二面角E-BC-D的平面角,，因?yàn)?為正三角形,所以為直角三角形，因?yàn)?，從而EF=FM=，平面BCD,所以例8．（2017新課標(biāo)3卷）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．（1）證明：平面⊥平面；（2）過(guò)的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值．解析：（1）由題設(shè)可得，，從而.又是直角三角形，所以.取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以為二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.下面的例9考察了面面垂直模型：面面垂直找交線，找到交線引垂線例9.如圖，邊長(zhǎng)為的正方形所在平面與半圓弧所在的平面垂直，是弧上異于的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．證明：由題設(shè)知，平面平面，交線為因?yàn)?，平面，所以平面，故因?yàn)闉樯袭愑诘狞c(diǎn)，且為直徑，所以又，所以平面而平面，故平面平面60.異面直線所成角的計(jì)算與應(yīng)用一．基本原理1.異面直線所成角與基本做法①定義：設(shè)是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)，作直線，把直線所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角)，其范圍為.特別地，如果兩條異面直線所成的角是直角，那么兩條異面直線互相垂直，記作．該定義就是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題.具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的（凌晨講數(shù)學(xué)）取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．2.空間余弦定理：如圖，在空間四邊形中，連接，設(shè)異面直線與的所成角為，那么同理，異面直線與的所成角的余弦值為：；異面直線與的所成角的余弦值為3.向量法計(jì)算公式：異面直線所成角設(shè)異面直線和所成角為，其方向向量分別為，；則異面直線所成角向量求法：①②例1．如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．解析：連接，取的中點(diǎn)，連接,，由題意知，，則異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），在中，，則,則異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.例2．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，正八面體就是其中之一．正八面體由八個(gè)等邊三角形構(gòu)成，也可以看做由上、下兩個(gè)正方椎體黏合而成，每個(gè)正方椎體由四個(gè)三角形與一個(gè)正方形組成．如圖，在正八面體ABCDEF中，是棱BC的中點(diǎn)，則異面直線HF與AC所成角的余弦值是___________解析：取棱AB的中點(diǎn)，連接HG，F(xiàn)G，因?yàn)镠，G分別是棱BC，AB的中點(diǎn)，所以，則是異面直線HF與AC所成的角或補(bǔ)角，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，（凌晨講數(shù)學(xué)）則異面直線HF與AC所成角的余弦值是.例3．如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點(diǎn).則異面直線，所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．解析：連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，如圖所示，

則，可知即為異面直線，所成角（或其補(bǔ)角），，，，，所以，即異面直線，所成角的余弦值為.故選：D例4.（2022屆武漢九月調(diào)考）空間四面體中，，，直線與所成角為，則該四面體的體積為_(kāi)________.解析：（方法1）∵

AB=2，BC=，AC=4，∴為直角三角形，同理可得為直角三角形，如圖，作直角三角形和斜邊上的高BE，DF，則AE=CF=1∴

E，F(xiàn)是線段AC的兩個(gè)四等分點(diǎn)，作平行四邊形BEFG，則BE⊥AC，DF⊥AC，由線面垂直判定定理可得AC⊥平面DFG，又AC平面ABGC,∴

平面ABGC⊥平面DFG，在平面DFG內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FG,垂足為H,由面面垂直的性質(zhì)定理可得DH⊥平面ABGC，∴

DH為四面體ABCD的底面ABC上的高，由三角函數(shù)定義可得又因?yàn)锽G∥AC，所以BG⊥DG,又因?yàn)橹本€BD與AC所成的角為45°，所以∠DBG=45°，∴

為等腰直角三角形，∴

GD=GB=EF=2，在中GD=2，BE=DF=由余弦定理可求得，（凌晨講數(shù)學(xué)）∴

，所以四面體的體積.故答案為：.（方法2）依題，由空間余弦定理：得：，于是，.這樣的話，體積.下面看一下補(bǔ)形法的應(yīng)用，這也是計(jì)算異面直線所成角的一個(gè)好方法.例5．在梯形中,，且，沿對(duì)角線將三角形折起，所得四面體外接球的表面積為，則異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．解析：如下圖，將梯形補(bǔ)成長(zhǎng)方形，折后得到直三棱柱，因?yàn)?，所以，異面直線與所成角即為與所成角，即或其補(bǔ)角，又該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，則，所以，設(shè)外接圓半徑為r，圓心為，外接圓圓心為，則三棱柱的外接球的球心為的中點(diǎn)O，連接，則，所以，又，即，又中，，即，（凌晨講數(shù)學(xué)）化簡(jiǎn)得，即，