經典奧數專題：數與形-數學六年級上冊人教版1．用繩子測量一口井的深度，把繩子三折來量，井外每折余16米，把繩子四折來量，井外每折余4米，井深和繩長各是多少？2．同學們，“觀察—猜想—驗證—應用”是我們常用的數學探究方法。在邊長為5厘米的正方形紙片上剪去一個邊長為3厘米的小正方形，怎樣求剩余部分的面積呢？妙妙想出了兩種不同的方法（如圖）。這兩種方法都是求的陰影部分的面積，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。仔細觀察這個等式，想一想：是不是任意兩個數都具有這樣的特征呢？（1）請舉2個例子驗證：①102－62＝（

）×（

）

②

（2）如果用a和b表示兩個數（且a＞b），這樣的規(guī)律可以表示為：a2－b2＝（

）×（

）（3）根據以上結論計算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（

）3．下面每個圖中各有多少個綠色小正方形和多少個藍色小正方形？照這樣接著畫下去，第6個圖形有多少個綠色小正方形和多少個藍色小正方形？第10個圖形呢？你能解釋這其中的道理嗎？4．在數學學習中，我們常常用“數形結合”的方法將復雜的問題簡單化，抽象問題具體化。（1）我們在探究分數乘法的算理和算法時就運用了這一思想方法，請畫圖解釋的算理。（2）玲玲在解決“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”這個問題時，想到了用數形結合的辦法來探索，于是她以這組數中各個數作為正方形的邊長構造正方形，再拼成如下面所示的長方形來研究。序號1234……圖形……算式12＋1212＋12＋2212＋12＋22＋32……①你根據前面的規(guī)律，把序號4的圖形與算式補充完整。②觀察上面的圖形和算式，你能把下面的算式補充完整嗎？12＋12＝1×212＋12＋22＝2×312＋12＋22＋32＝3×512＋12＋22＋32＋52＝（

）×（

）12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（

）×（

）③若按此規(guī)律繼續(xù)拼長方形，有一個長方形的面積是1870，它表示的算式是（

）。5．規(guī)定：如圖1中，方格里的數表示在其周圍8個方格中共有多少個△。即以“1”為中心，在它的四周8個方格中只能有1個△；以“2”為中心，在它的四周8個方格中只能有2個△；以“3”為中心，在它的四周8個方格中只能有3個△；依此類推。按上述規(guī)定，在如圖2中一共可以畫12個△。現在已經畫好了其中的2個，請你在合適的空格中補上其余的10個。6．有一座四層樓房，每個窗戶的4塊玻璃分別涂上紅色和白色，每個窗戶代表一個數字，每層樓有三個窗戶，由左向右表示一個三位數，四個樓層表示的三位數有：791、275、362、612。問：第二層樓表示哪個三位數？7．觀察下面點圖與算式的關系，找到規(guī)律后解答問題。（1）按點子增加的規(guī)律給第⑤個點圖補畫上9個點，并在（

）里寫出點的總數。（2）根據上面圖中點的總數的變化規(guī)律，第n個點圖里一共有（

）個點（用含有n的式子表示）。8．古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…這樣的數稱為“正方形數”，從圖中可以發(fā)現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．請寫出第5個圖形的算式．4=1+3

9=3+6

16=6+109．將自然數1、2、3、…按下圖排列，照樣子用一個方框框出九個數，這九個數的和能否等于2015？1998？如果能，請寫出框中的最大數與最小數。10．如圖擺放餐桌和椅子．(1)1張餐桌可以坐6人，2張餐桌可以坐10，5張餐桌可以坐多少人？(2)照此擺下去，x張桌子可以坐多少人？當x＝20時，可以坐多少人？11．張林帶著他心愛的小狗去外婆家．他步行的速度是每分鐘80米，小狗以每分鐘200米的速度奔向了外婆家．小狗過了8分鐘到達外婆家后又立刻返回，路上遇見張林后它又返回奔向外婆家……就這樣它不停來回跑．當張林到達外婆家時，小狗總共跑了多少米？12．下面是由長為2cm、寬為lcm的長方形組成的圖形．（1）根據上圖與數的規(guī)律想一想，第8個圖形所對應的數是多少？（2）第3個圖形的周長是多少？第n個圖形呢？13．云星藝術團為聯絡方便，設計了一種聯絡方式．一旦有事，先由教練同時通知兩位同學，這兩位同學再分別同時通知另兩名同學，依此類推，每人再同時通知兩個人．每同時通知兩人共需1分．（如下表）①把左邊的表格填完整．②用7分能把所有人都通知完，通知到的人數有幾人？只列式，不計算：時間/分示意圖通知到的同學數1222+432+4+84略2+4+8+5略14．小明用面積為1cm2的正方形卡紙拼擺圖形．（1）像這樣拼下去，第（5）個圖形要用多少張小正方形卡紙？（2）如果要在第n個圖形的外圍用鐵絲鑲上一圈邊框，至少需要多少厘米鐵絲？15．下圖依次排列著5盞燈，用不同位置上亮燈和滅燈表示一個具體的數（亮燈用表示，滅燈用表示）。請根據下面前四種狀況所表示的數，完成下列問題。（1）寫出圖⑤表示的數。（2）在圖⑥中畫出亮燈和滅燈的狀況。①1

②3③④1+9+81=91⑤（

）⑥9316．下圖是由三角形構成的．

(1)填寫下表．

圖號①②③④白色三角形個數黑色三角形個數(2)照這樣的規(guī)律畫下去，第10個圖形中有多少個白色三角形、多少個黑色三角形？17．如圖兩條直線相交只有1個交點，3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，……那么，11條直線相交最多有多少個交點？18．我們把分子為1的分數叫做單位分數。如，，…，任何一個單位分數都可以拆分成兩個不同的單位分數的和，如＝，＝，＝，…（1）根據對上述式子的觀察，你會發(fā)現＝＋，請寫出□，○所表示的數。（2）進一步思考，單位分數（n是不小于2的正整數）＝＋，請寫出△，☆所表示的式。19．觀察如圖，要想得到200個直角三角形，應畫多少個正方形？……20．社區(qū)公園要鋪設一條人行走道，走道長80米，寬1.6米。現在用邊長都是0.4米的紅、黃兩種正方形地磚鋪設（下圖是鋪設的局部圖示）。（1）鋪設這條人行走道一共需要多少塊地磚？（不計損耗）（2）鋪設這條人行走道一共需要多少塊紅色地磚？（不計損耗）21．在數學學習中，我們常常這樣去探究：“觀察——猜測——論證——應用?！睂W習加法結合律、三角形的內角和等知識時就是按這樣的過程去探究的。三角形的內角畫幾個不同類型的三角形，量一量，算一算。三角形的3個內角的和各是多少度。先把一個三角形的三個角剪下來，再拼一拼，看一看，拼成一個什么角。比較下面的兩組算式，你發(fā)現了什么？（69＋176）＋28○69＋（176＋28）155＋（145＋207）○（155＋145）＋207你能用符號表示加法結合律嗎？（△＋☆）＋○＝____＋（____＋____）（a＋b）＋c＝____＋（____＋____）請你利用這種數學方法，來找找兩個數的平方差中所蘊含的規(guī)律吧！我有發(fā)現：觀察下面的算式，找到規(guī)律后在括號里填上合適的數。72－32＝（7＋3）×（7－3）＝10×4＝40102－62＝（10＋6）×（10－6）＝16×4＝64752－252＝（

）×（

）我來猜測：兩個數a和b的平方差有下面這樣的規(guī)律。a2－b2＝（

）×（

）我來驗證：如下圖，兩個正方形的邊長分別是a和b。請你用下面的圖來證明上面的規(guī)律是正確的。（1）選一選：a2表示（

），b2表示（

）。A．大正方形的面積

B．小正方形的面積

C．大正方形的周長

D．小正方形的周長（2）請你用斜線涂出a2－b2所表示的部分。（3）請你用所學面積計算的知識來證明上面規(guī)律是正確的。

參考答案：1．144米；32米【分析】把繩子三折來量，井外余16米，也就是繩長比井深的3倍還多16×3＝48米；把繩子四折來量，井外余4米，也就是繩長比井深的4倍還多4×4＝16米。根據盈虧問題公式可知，井深為（48－16）÷（4－3）＝32米，則繩長為（32＋16）×3＝144米。【詳解】井深為：（48－16）÷（4－3）＝32÷1＝32（米）繩長為：（32＋16）×3＝48×3＝144（米）答：繩長為144米，井深為32米?！军c睛】本題為兩次都有余的盈虧問題，公式為：（大盈－小盈）÷（兩次分配的差）＝分配數量。2．（1）①（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（2）（a－b）×（a＋b）（3）【分析】已知在邊長為5厘米的正方形紙片上剪去一個邊長為3厘米的小正方形，求剩余部分的面積（陰影部分的面積）；方法1：陰影部分的面積＝大正方形的面積－小正方形的面積，根據正方形的面積＝邊長×邊長，則陰影部分的面積列式為52－32；方法2：把陰影部分轉化成一個長（5＋3）厘米，寬（5－3）厘米的長方形，根據長方形的面積＝長×寬，則陰影部分的面積列式為（5－3）×（5＋3）；由此得出52－32＝（5－3）×（5＋3）；發(fā)現規(guī)律：兩個數的平方差等于這兩個數的差與這兩個數的和的乘積，據此規(guī)律解答?！驹斀狻浚?）①102－62＝100－36＝64（10－6）×（10＋6）＝4×16＝64所以，102－62＝（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（答案不唯一）（2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b）（3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）＝×××××＝【點睛】通過數與形的結合，從已知的圖形或數據中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。3．綠色6個；藍色18個；綠色10個；藍色26個；見詳解【分析】第1個圖形，有1個綠色小正方形，8個藍色小正方形，8＝2×1＋6；第2個圖形，有2個綠色小正方形，10個藍色小正方形，10＝2×2＋6；第3個圖形，有3個綠色小正方形，12個藍色小正方形，12＝2×3＋6；第4個圖形，有4個綠色小正方形，14個藍色小正方形，14＝2×4＋6；……規(guī)律：第n個圖形，有n個綠色小正方形，（2n＋6）個藍色小正方形；據此解答?！驹斀狻恳?guī)律：第n個圖形，有n個綠色小正方形，（2n＋6）個藍色小正方形。當n＝6時，有6個綠色小正方形；藍色小正方形有：2n＋6＝2×6＋6＝12＋6＝18（個）當n＝10時，有10個綠色小正方形；藍色小正方形有：2n＋6＝2×10＋6＝20＋6＝26（個）答：照這樣接著畫下去，第6個圖形有6個綠色小正方形和18個藍色小正方形。第10個圖形有10個綠色小正方形和26個藍色小正方形。道理：從圖中發(fā)現規(guī)律：第n個圖形有n個綠色小正方形，（2n＋6）個藍色小正方形。【點睛】通過數與形的結合，從已知的圖形或數據中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。4．見詳解【分析】（1）先將長方形一分為二，取其中的一份，再將其一分為四，取其中的3份，據此表示的積；（2）①看圖，每次多加的正方形的邊長是上兩個多加正方形的邊長的和，2＋3＝5，所以應多加一個邊長為5的正方形，算式上多加一個52；②每個算式等于這個圖形的最大邊長乘下個圖形的最大邊長，據此填空；③根據①和②的規(guī)律，下個算式為：21×34，再下個算式是34×55，檢驗發(fā)現，34×55＝1870，據此填空?！驹斀狻浚?）可表示為：；（2）①序號1234……圖形……算式12＋1212＋12＋2212＋12＋22＋3212＋12＋22＋32＋52……②將算式補充完整：12＋12＝1×212＋12＋22＝2×312＋12＋22＋32＝3×512＋12＋22＋32＋52＝5×812＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21③有一個長方形的面積是1870，它表示的算式是34×55?！军c睛】本題考查了數與形，有一定觀察和歸納總結能力是解題的關鍵。5．見詳解【分析】根據題意，“1”的四周8個方格中只能有1個△；“2”的四周8個方格中只能有2個△；“3”的四周8個方格中只能有3個△，由此根據圖中的兩個三角形，進而畫出其它的三角形?！驹斀狻咳鐖D：【點睛】關鍵是根據題意得出規(guī)律，再由規(guī)律解決問題。6．612【分析】給出的四個數中362和612的個位數字相同，第二和第四層右邊窗戶符號也相同，可以肯定這兩層分別代表362和612。這兩個數中又有數字6是一樣的，對照第二層和第四層的窗戶，可以確定第二層代表612。【詳解】第二層代表612，因為362和612的個位數字相同，又有數字6是一樣的，對照第二層和第四層的窗戶，所以第二層代表612?！军c睛】本題考查數與形，解答本題的關鍵是根據數字的特征找到圖形規(guī)律。7．（1）25；（2）n2【分析】觀察發(fā)現，每一層的點的個數依次為1、3、5、7、9、11……，第5層點的數量是9個；觀察每幅圖點的數量的總和，第一幅圖1個，可以表示為12，第二幅圖4個，可以表示為22，第三幅圖9個，可以表示為32，第四幅圖16個，可以表示為42，依此類推?！驹斀狻浚?）如圖所示：（個）第⑤個點圖總共有25個點。（2）第n個點圖里一共有n2個點。【點睛】從1開始的連續(xù)的n個奇數相乘，結果可以表示為n2，概括為“天下無雙，個數平方”。8．36=15+21【詳解】題目中“三角形數”的規(guī)律為1、3、6、10、15、21…“正方形數”的規(guī)律為1、4、9、16、25…，根據題目已知條件：從圖中可以發(fā)現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．可得出最后結果.9．因為圖中框出的九個數的和是中間數18的9倍，所以這樣框出的數都是9的倍數．而2015不是9的倍數，所以框不出和等于2015的。1998是9的222倍，所以可以框出且中間一個就是222，最大的是230最小的是214。【詳解】略10．(1)22人(2)（4x＋2）人

82人【詳解】(1)5×4+2=22（人）答：5張餐桌可以坐22人．(2)當x＝20時，4x＋2＝4×20+2=82（人）答：可以坐82人．11．200×8÷80×200＝4000（米）【解析】略12．（1）36（2）18cm,6ncm【解析】略13．16；2+4+8+16+32；2+4+8+16+32+64+128【詳解】本題考查的是規(guī)律的探索與應用，從題目中的信息，可以看出，每過一分鐘，通知到的同學都是前一分鐘的2倍，由此可列出算式．14．（1）16張；（2）(10+2n)厘米．【詳解】（1）由圖可知：第（1）個圖形的小正方形卡紙個數為3×3-1，第（2）個圖形的個數為3×4-2，第（3）個圖形的個數為3×5-3，像這樣拼下去，第（5）個圖形用3×7-5=16張小正方形卡紙．（2）第n個圖形周長=（3+2+n）×2=10+2n（厘米）15．117；【詳解】略16．(1)圖號①②③④白色三角形個數0136黑色三角形個數13610(2)45個

55個【詳解】(2)白色三角形：0＋1＋2＋…＋9＝45(個)黑色三角形：1＋2＋3＋…＋10＝55(個)17．55個【分析】三條直線交點最多為1＋2＝3個；四條直線交點最多為1＋2＋3＝6個；五條直線交點最多為1＋2＋3＋4＝10個；則11條直線交點最多為10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（個）。【詳解】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（個）【點睛】先從相交直線條數較少的開始分析，發(fā)現其一般規(guī)律，并應用到11條直線相交的情況中。18．（1）□表示6；○表示30；（2）△表示n＋1；☆表示n（n＋1）【分析】（1）通過觀察發(fā)現：＝中2＋1＝3，2×3＝6；＝中3＋1＝4，3×4＝12；＝中4＋1＝5，4×5＝20，依次類推得出＝＋；（2）根據（1）的分析可知單位分數等于單位分數的分母加1分之一加單位分數的分母乘（單位分數的分母加1）分之一，據此解答。【詳解】（1）因為5＋1＝6，5×6＝30，所以＝，所以□表示6，○表示30；（2）根據分析：單位分數（n是不小于2的正整數）＝＋，所以△表示n＋1，☆表示n（n＋1）。【點睛】此題考查的是分數的變形，考查學生的觀察力與思考能力。19．51個【分析】第1個正方體中有0個直角三角形；第2個正方體中有4個直角三角形；第3個正方體中有8個直角三角形；第4個正方體中有12個直角三角形。由此得出規(guī)律，三角形的個數都是4的倍數，然后得出假設第n個正方體，就有（n－1）×4個直角三角形?！驹斀狻扛鶕D中的數據可得：1個正方形有0個三角形，可以寫成（1－1）×4個；2個正方形有4個三角形，可以寫成（2－1）×4個；3個正方形有8個三角形，可以寫成（3－1）×4個；4個正方形有12個三角形，可以寫成（4－1）×4個；所以當正方形的個數為a時，三角形的個數可以寫成：（a－1）×4個；設需要畫a個正方形才得到200個直角三角形，則根據上面的結論可得：（a－1）×4＝200a