第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省婁底三中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知r1表示變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，r2表示變量u與v之間的相關(guān)系數(shù)，且r1=0.836，rA.變量x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性強(qiáng)于u與v之間的相關(guān)性

B.變量x與y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性強(qiáng)于u與v之間的相關(guān)性

C.變量u與v之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性弱于u與v之間的相關(guān)性

D.變量u與v之間呈正相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性弱于u與v之間的相關(guān)性2.已知{an}為公差不為0的等差數(shù)列，若am=A.9 B.8 C.7 D.63.已知向量a，b為單位向量，|a+λb|=|λa?b|(λ≠0)A.π6 B.π3 C.π24.已知函數(shù)f(x)=x2lnx，則f′(e)=A.1 B.2 C.e D.2e5.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項(xiàng)和為Sn，則A.3 B.4 C.72 D.6.學(xué)校舉辦籃球賽，將6支球隊(duì)平均分成甲、乙兩組，則兩支最強(qiáng)的球隊(duì)被分在不同組的概率為(

)A.15 B.25 C.357.已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2，x0是函數(shù)的極值點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是A.x0>1e B.f(x08.紅外體溫計(jì)的工作原理是通過人體發(fā)出的紅外熱輻射來測量體溫的，有一定誤差.用一款紅外體溫計(jì)測量一位體溫為36.9℃的人時(shí)，顯示體溫X服從正態(tài)分布N(36.9,0.05n)，若X的值在(36.6,37.2)內(nèi)的概率約為0.9973，則n的值約為(

)

(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ,A.3 B.4 C.5 D.6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.1，則A.P(X≤2)=0.5 B.P(X≤4)=0.9

C.P(2≤X≤4)=0.3 D.D(2X+2)=410.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別為BC、CC1、A.A1G⊥EF

B.三棱錐P?AEF的體積為定值

C.平面AEF截正方體所得的截面面積為9

D.存在實(shí)數(shù)λ、μ使得A1G=λAF+μAE

A.f(x)的極小值點(diǎn)為?1

B.f(x)在(?∞,?1]上為增函數(shù)

C.直線y=x是曲線y=f(x)的切線

D.方程f(x)=k恰有一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)k=?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=lnan，且b3=1813.已知(2x?1)4=a4x14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與C的右支交于兩點(diǎn)A，B，且|AF2|：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為23且離心率為63．

(1)求橢圓C的方程；

(2)不經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l：16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x2+ax?2ln|x|為偶函數(shù)．

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)求函數(shù)17.(本小題15分)

A、B兩隊(duì)進(jìn)行圍棋比賽，A隊(duì)有甲、乙、丙三位棋手，B隊(duì)只有丁一位棋手.比賽規(guī)則如下：A隊(duì)的三位棋手分別與丁對弈一盤，若一隊(duì)棋手連勝兩盤(負(fù)一盤)或連勝三盤，則該隊(duì)獲勝，若三盤比賽中沒有一隊(duì)獲得連勝，則兩隊(duì)打平.已知甲、乙、丙分別與丁比賽且獲勝的概率為23、12、13，且各盤比賽相互獨(dú)立.丁連勝兩盤、負(fù)一盤的概率為p1，連勝三盤的概率為p2．

(1)若A隊(duì)按甲、乙、丙的出場順序與B隊(duì)進(jìn)行比賽，求p1?p2；

(2)若A隊(duì)按甲、乙、丙的出場順序與B隊(duì)進(jìn)行比賽，求A、18.(本小題17分)

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，四面體P?ABC的體積為216．

(1)證明：BD⊥AP；

(2)求直線PB與平面ABC所成角的正弦值．19.(本小題17分)

“洛必達(dá)法則”是研究微積分時(shí)經(jīng)常用到的一個(gè)重要定理，洛必達(dá)法則之一的內(nèi)容是：若函數(shù)μ(x)，v(x)的導(dǎo)數(shù)μ′(x)，v′(x)都存在，且v′(x)≠0，如果x→a(a是常數(shù))時(shí)，μ(x)→?∞或+∞，v(x)→?∞或+∞，且μ′(x)ν′(x)=l(l是常數(shù))，則x→a時(shí)μ(x)ν(x)→l．

已知函數(shù)f(x)=kex?1?x，g(x)=lnx+kx?1,k∈R．

(1)證明：k=1時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與曲線y=g(x)也相切；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x3，x4(x3<x答案解析1.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橐阎猺1表示變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，r2表示變量u與v之間的相關(guān)系數(shù)，

線性相關(guān)系數(shù)r1=0.836，r2=?0.958，

所以變量x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系，變量u與v之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系．

因?yàn)閨r|越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高，

所以x與y之間的相關(guān)性弱于u與v之間的相關(guān)性．

故選：C．

根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閧an}為公差不為0的等差數(shù)列，am=a10?a5+a3，

設(shè)公差為d，d≠0，

可得am?3.【答案】C

【解析】解：由|a+λb|=|λa?b|(λ≠0)，

得a2+2λa?b+λ2b2=λ2a2?2λa?b+b4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閒(x)=x2lnx，

所以f′(x)=2xlnx?x2?1x(lnx)2=2xlnx?x(lnx5.【答案】C

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，則

S3a2=a1(1?23)1?2a6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，將6支球隊(duì)平均分成甲、乙兩組，有12C63=10種分法，

若兩支最強(qiáng)的球隊(duì)被分在不同組，有C42=6種分組方法，

則兩支最強(qiáng)的球隊(duì)被分在不同組的概率P=610=7.【答案】D

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=xlnx+x2，函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，

所以f′(x)=lnx+1+2x單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)x0是f(x)的極值點(diǎn)，

所以f′(x0)=lnx0+1+2x0=0，

選項(xiàng)A：計(jì)算f′(1e)=ln1e+1+2?1e=?1+1+2e>0，

在x→0+時(shí)，趨向f′(x)→?∞，

故x0∈(0,1e)，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：因?yàn)閘nx0=?1?2x0，

所以f(x0)=x0(?1?2x08.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查正態(tài)分布的概率、均值、方差，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．【解答】

解：∵體溫X服從正態(tài)分布N(36.9,0.05n)，

∴μ=36.9，σ2=0.05n，

∵X的值在(36.6,37.2)內(nèi)的概率約為0.9973，P(|X?μ|<3σ)≈0.9973，

∴P(36.9?3σ<X<36.9+3σ)=P(36.9?0.3<X<36.9+0.3)，

∴3σ=0.3，解得σ=0.1，

∴9.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)閄～N(2,σ2)，所以P(X≤2)=0.5，故A正確；

因?yàn)閄～N(2,σ2)，其P(X≤0)=0.1，所以P(X≥4)=0.1，

所以P(X≤4)=1?P(X≥4)=1?0.1=0.9，故B正確；

因?yàn)閄～N(2,σ2)，所以P(2≤X≤4)=P(X≥2)?P(X≥4)=0.5?0.1=0.4，故C錯(cuò)誤；

由方差性質(zhì)，D(2X+2)=4D(X)=4σ210.【答案】BD

【解析】解：對于A，連接D1F，GF，D1E，

因?yàn)镚，F(xiàn)分別為BB1、CC1的中點(diǎn)，所以GB1//C1F且GB1=C1F，

所以四邊形A1GFD1是平行四邊形，所以A1G//D1F，

又易求得D1F=5,EF=2,D1E=3，

所以D1F2+EF2≠D1E2，所以D1F不垂直于EF，

所以A1G不垂直于EF，故A錯(cuò)誤；

對于B，取B1C1的中點(diǎn)M，連接A1M，GM，

由E、F、G分別為BC、CC1、BB1的中點(diǎn)，所以可得GM//EF，

又GM?平面AEF，EF?平面AEF，所以GM/?/平面AEF，

又易得A1M/?/AE，又A1M?平面AEF，AE?平面AEF，所以A1M/?/平面AEF，

又A1M∩GM=M，A1M，GM?平面A1MG，所以平面A1MG/?/平面AEF，

又A1G?平面A1MG，所以A1G/?/平面AEF，又P∈A1G，

所以P到平面AEF的距離為定值，又S△AEF為定值，所以三棱錐P?AEF的體積為定值，故B正確．

對于C，連接D1A，D1F，因?yàn)镋、F分別為BC、CC1的中點(diǎn)，

所以易得D1A//EF，且A1D=2EF，則A，E，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面，

所以平面AEF截正方體所得的截面為四邊形D1AEF，

由題意可得D1A=22,EF=2,AE=5，

所以四邊形D1AEF為等腰梯形，所以梯形的高為?=(5)2?(11.【答案】AC

【解析】解：由f(x)=xex得，f′(x)=(x+1)ex，

令f′(x)=(x+1)ex=0，解得x=?1，

當(dāng)x<?1時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x>?1時(shí)，f′(x)>0，

故f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，所以B錯(cuò)誤；

在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

因此當(dāng)x=?1時(shí)，f(x)取得極小值，所以A正確；

當(dāng)f′(x)=(x+1)ex=1時(shí)，解得x=0，則f(0)=0，

所以在(0,0)處切線方程為y=x，所以C正確；

已知f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，極小值f(?1)=?e?1=?1e；

當(dāng)x→?∞時(shí)，f(x)→0且f(x)<0，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，

12.【答案】23n?n【解析】解：由已知可得a3=e18，a6=e12，設(shè){an}的公比為q，

則q3=a6a3=e?6，所以q=e?2，

所以a1=a3q2=e22，所以an=a1?qn?1=13.【答案】24

【解析】解：已知(2x?1)4=a4x4+a3x3+14.【答案】4

【解析】解：已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，

過點(diǎn)F2的直線與C的右支交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|：|BF2|：|AF1|=1：2：3，

設(shè)|AF2|=m，則|BF2|=2m，|AF1|=3m，

根據(jù)雙曲線定義，|AF1|?|AF2|=2a，代入得2m=2a，即m=a，

同理，|BF115.【答案】x23+y2=1【解析】(1)根據(jù)已知2a=23，即a=3．

又根據(jù)e=63，可得c=√2，因此b2=a2?c2=1，

那么橢圓C為x23+y2=1．

(2)根據(jù)題直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，設(shè)B(x2,y2)，A(x1,y1)，

聯(lián)立直線l和橢圓方程y=x+mx23+y2=1，得x23+(x+m)2=14，即4x2+6mx+3m2?3=0，

所以根的判別式Δ=(6m)2?16(3m2?3)>0，根據(jù)韋達(dá)定理可得16.【答案】a=0

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，極小值為1；

當(dāng)x<0時(shí)，f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，在(?1,0)上單調(diào)遞增，極小值為1．

【解析】(1)依題意，得f(?x)=f(x)，即(?x)2?ax?2ln|?x|=x2?ax?2ln|x|=x2+ax?2ln|x|，

化簡為2ax=0，由于x≠0，

故a=0；

(2)由(1)知函數(shù)的解析式為f(x)=x2?2ln|x|(x≠0)，

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2?2lnx，f′(x)=2x?2x=2(x+1)(x?1)x，

令f′(x)<0，0<x<1，令f′(x)>0，x>1；

此時(shí)函數(shù)f(x)，在(0,1)上單調(diào)遞減，(1,+∞)上單調(diào)遞增，

令f′(x)=0，因?yàn)閤>0，所以x=1，

根據(jù)單調(diào)性可知函數(shù)在x=1處取極小值f(1)=1；

又f(?x)=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，

所以，f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，在(?1,0)上單調(diào)遞增，17.【答案】16；

29；

A隊(duì)按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出場順序與B【解析】(1)根據(jù)題意，若A隊(duì)按甲、乙、丙的出場順序與B隊(duì)進(jìn)行比賽，

丁連勝兩盤、負(fù)一盤的概率為p1，則p1=(1?23)×(1?12)×13+23×(1?12)×(1?13)=518，

丁連勝三盤的概率為p1，則P2=(1?23)(1?12)(1?13)=19，

故P1?P2=518?19=16；

(2)根據(jù)題意，設(shè)A、B兩隊(duì)打平的概率為p0．

記事件C：第二盤為丁勝，第一、三盤分別為甲、丙勝．

記事件D：第二盤為乙勝，第一、三盤都是丁勝，

易得事件C與D為互斥事件，

則p0=P(C∪D)=P(C)+P(D)=23×(1?12)×13+(1?23)×12×(1?13)=29．

(3)根據(jù)題意，設(shè)丁獲勝的概率為p．

若A隊(duì)按甲、乙、丙的出場順序與B隊(duì)進(jìn)行比賽，則18.【答案】證明見解析；

74【解析】(1)證明：取AP中點(diǎn)K，連接KB，KD，

由PD=DA，PB=BA，

得AP⊥BK，AP⊥DK，

又因?yàn)锽K∩DK=K，且BK，DK?平面BDK，

所以AP⊥平面BDK，

因?yàn)锽D?平面BDK，

所以BD⊥AP．

(2)設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為?，直線PB與平面ABC所成角為θ，

則四面體P?ABC的體積為13S△ABC??=13×12×2×2×32?=33?，

因?yàn)樗拿骟wP?ABC的體積為216，

所以33?=216，

解得?=72，

所以sinθ=?PB=74，

即直線PB與平面ABC所成角的正弦值為19.【答案】證明見解析；

①0<x1<1<x2，0<x3<1<【解析】(1)證明：k=1時(shí)，f(x)=ex?1?x，g(x)=lnx+1x?1(x>0)，

f′(x)=ex?1?1，g′(x)=1x?1x2(x>0)，

又f(1)=0，f′(1)=0，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是y?0=0×(x?1)，即y=0．

因?yàn)間(x)=0，g′(x)=0，

所以曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程是y?0=0×(x?1)，即y=0．

所以k=1時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線y=0與曲線y=g(x)也相切．

(2)①0<x1<1<x2，0<x3<1<x4<e．

由f(x)=0，得exex?k=0；g(x)=0，得x(1?lnx)?k=0，

令F(x)=exex?k,G(x)=x(1?lnx)?k，則f(x)與F(x)的零點(diǎn)相同，g(x)與G(x)的零點(diǎn)相同，

又F′(x)=e(1