第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖北省孝感市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z=?2?i，則z(z?+i)的虛部是A.2 B.?2 C.2i D.?2i2.已知向量a=(?3,1)，b=(2,1)，則a在b方向的投影向量為(

)A.(?2,?1) B.(?2,1) C.(2,?1) D.(1,?2)3.已知α∈(π2,π)且tanα+tan(A.?13 B.?2 C.134.在△ABC中，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，|aA.3 B.?3 C.?92 5.下列命題：

①若a,b都是非零向量，則(a?b)?c=a?(b?c)；

②a=b的充要條件是|a|=|b|且a//b；

③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa=μA.1 B.2 C.3 D.46.在△ABC中，B=π3，BD=2DA，CD=2，則4A.(2,4] B.(4,8] C.(0,4] D.(1,2]7.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，A，B為圖象與x軸的交點(diǎn)，C為圖象上的最高點(diǎn)，且|OB|=3|OA|，則A.f(2)+f(5)=?2

B.f(x)在(3,7)上有3個(gè)零點(diǎn)

C.f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若D是△ABC邊AC上的一點(diǎn)，∠ABC=23π，且BA?BD|BA|A.2 B.12 C.32 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1z2為實(shí)數(shù)

B.對(duì)于復(fù)數(shù)z1，z2，若|z1|=|z2|，則z12=z22

C.10.已知向量a=(2cosθ,sinθ)，b=(1,?2)，則下列命題正確的是(

)A.若a/?/b，則tanθ=?4

B.若|a+b|=|a?b|，則tanθ=1

C.11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是(

)A.若(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，且AB|AB|?AC|AC|=12，則△ABC為直角三角形

B.若△ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知A(2,1)，B(?3,4)，點(diǎn)P在直線AB上，且|AP|=23|13.先將y=tanx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的12，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移π12個(gè)單位長度后得到函數(shù)f(x)的圖象，若α∈(?π3,π3)14.如圖，在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是線段AD、BC的中點(diǎn)，AB=5，DC=2，P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且BP=1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的歐拉公式：eix=cosx+isinx，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中有非常重要的地位，被推舉為“數(shù)學(xué)中的天橋”．

(1)若復(fù)數(shù)z=1eπ2i+(1?i2)2024?1?i3(1+i)2，求|z|；

16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(sinA?sinC)2=sin2B?sinAsinC．

(1)求B；

(2)17.(本小題15分)

在△ABC中，AN=2NC，M為邊BC上一點(diǎn)，AM與BN相交于點(diǎn)P．

(1)若BP=λBC+115CA，求實(shí)數(shù)λ的值；

(2)若BM=18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=sinωxcosωx+3cos(ωx?π4)cos(ωx+π4)(ω>0)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為π2．

(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[?π19.(本小題17分)

著名的費(fèi)馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬(1601?1665)于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”，費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn).已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=23，23sinB=bsinB+C2，點(diǎn)P是△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”．

(1)求角A；

(2)若PA?PB+PB?PC+PC?PA=?4，求答案解析1.【答案】B

【解析】解：由z=?2?i，得z?=?2+i，

∴z(z?+i)=(?2?i)(?2+2i)=4?4i+2i?2i2=6?2i，

則z(z?+i)2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜=(?3,1)，b=(2,1)，所以a?b=?5，|b|=5，

a在b方向的投影向量為a3.【答案】A

【解析】解：因?yàn)棣痢?π2,π)且tanα+tan(π4?α)=53，

所以tanα+1?tanα1+tanα=53，

整理得，3ta4.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，

則a+b+c=0，

則a2+b2+c2+2a?b5.【答案】A

【解析】解：對(duì)于①，向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，|a|=|b|且a//b?a=b或a=?b，

所以，|a|=|b|且a/?/b是a=b的必要不充分條件，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)λ=μ=0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa=μb=0，

但a與b不一定共線，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，

當(dāng)AB=DC時(shí)，則AB/?/CD且|AB|=|DC|，

此時(shí)，四邊形ABCD為平行四邊形；

當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，

由相等向量的定義可知AB=DC，

所以，若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，

則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件，故④對(duì)．

故選：A．

由向量的數(shù)量積的定義可判斷①；由|a|=|b|且a/?/b，可得a6.【答案】B

【解析】解：由BD=2DA，得

43AB+2BC=43?32BD+2BC=2(BD+BC)，

在△BCD，由余弦定理得：

BD2+BC2?2BD?BC?cosπ3=CD2，

即BD2+BC2?BD?BC=4，

則7.【答案】C

【解析】解：由函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的部分圖象，且△ABC是等腰直角三角形，所以|AB|=2，

所以f(x)的最小正周期為T=2×2=4，ω=2πT=π2，

由|OB|=3|OA|，得|OA|=12，|OB|=32，所以A(?12,0)，f(?12)=sin[π2×(?12)+φ]=0，

結(jié)合函數(shù)的圖象知，?π4+φ=2kπ，k∈Z；解得φ=π4+2kπ，k∈Z；

因?yàn)?<φ<π，所以φ=π4，f(x)=sin(π2x+π4)，

所以f(2)+f(5)=sin(π+π4)+sin(5π28.【答案】D

【解析】解：∵BA?BD|BA|=BD?BC|BC|，

∴|BA|?|BD|cos∠ABD|BA|=|BD|?|BC|cos∠CBD|BC|，

∴cos∠ABD=cos∠CBD，

∵∠ABD∈(0,2π3),∠CBD∈(0,2π3)，

∴∠ABD=∠CBD=9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)z1=a+bi(a,b∈R)，則z2=a?bi，

所以z1z2=(a+bi)(a?bi)=a2+b2為實(shí)數(shù)，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，若|z1|=|z2|，例如z1=1+i，z2=1?i，滿足|z1|=|z2|=2，

但z12=(1+i)2=2i，z22=(1?i)2=?2i，即z12≠z22，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，實(shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對(duì)10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)橄蛄縜=(2cosθ,sinθ),b=(1,?2),a//b，

所以sinθ=?4cosθ，即tanθ=?4，故A正確；

對(duì)于B,|a+b|=|a?b|等價(jià)于(a+b)2=(a?b)2，

即a2+b2+2a?b=a2+b2?2a?b，則a?b=0，

所以a?b=2cosθ?2sinθ=0，所以tanθ=1，故B正確；

對(duì)于C，與b共線的單位向量為±11.【答案】BCD

【解析】解：選項(xiàng)A，設(shè)點(diǎn)D是內(nèi)角∠BAC平分線上的一點(diǎn)，

由(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，知AD?BC=0，即AD⊥BC，

所以△ABC為等腰三角形，

由AB|AB|?AC|AC|=12，知1×1×cos∠BAC=12，所以∠BAC=π3，

所以△ABC為等邊三角形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，由OA+OB+OC=0，知點(diǎn)O是△ABC的重心，

由|OA|=|OB|=|OC|，知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，

所以△ABC為等邊三角形，故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C，若sin2A+sin2B+cos2C<1，則sin2A+sin2B<1?cos2C=sin2C，

由正弦定理知，a2+b2<c2，

所以△ABC為鈍角三角形，即選項(xiàng)12.【答案】(0,115)【解析】解：因?yàn)锳(2,1)，B(?3,4)，點(diǎn)P在直線AB上，且|AP|=23|PB|，

設(shè)P(x,y)，則AP=(x?2,y?1)，PB=(?3?x,4?y)，

當(dāng)P在線段AB上時(shí)，AP=23PB，即x?2=23(?3?x)y?1=23(4?y)，解得y=115，x=0，即P(0,115)；

13.【答案】(?π【解析】解：將y=tanx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的12，縱坐標(biāo)不變，得y=tan2x的圖象，

再將所得圖象向左平移π12個(gè)單位長度后．得y=tan2(x+π12)的圖象，

所以函數(shù)f(x)=tan(2x+π6)，若α∈(?π3,π3)，則2α+π6∈(?π2,5π6)，

由f(α)>?3，得tan(2α+π14.【答案】?3【解析】解：因?yàn)锽P=14BM+34BN，所以BP?BN=14BM?14BN，即PN=14MN，

故PM+PN=?34MN15.【答案】22；

【解析】(1)由題意得z=1eπ2i+(1?i2)2024?1?i3(1+i)2

=1cosπ2+isinπ2+[(1?i)22]1012?1?(?i)1+2i+i2=1i+(?i)1012?1+i2i

=?i+16.【答案】B=π3；

c=【解析】(1)因?yàn)?sinA?sinC)2=sin2B?sinAsinC，

化簡得sin2A+sin2C?sin2B=sinAsinC，

由正弦定理得：a2+c2?b2=ac，

由余弦定理可得cosB=a2+c2?b22ac=ac2ac=12，

因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π3；

(2)由tanA=34，A∈(0,π)17.【答案】15；

3【解析】(1)因?yàn)锳N=2NC，故BN=BC+CN=BC+13CA，

又因?yàn)锽P與BN共線，設(shè)BP=μBN，則BP=μ(BC+13CA)=μBC+13μCA，

由題意知BP=λBC+115CA，故λ=μ13μ=115，

所以λ=μ=15，實(shí)數(shù)λ的值為15；18.【答案】[?π2,?5π12]與[π【解析】(1)由題意得f(x)=12sin2ωx+3(22cosωx+22sinωx)(22cosωx?22sinωx)

=12sin2ωx+32(cos2ωx?sin2ωx)=12sin2ωx+32cos2ωx=sin(2ωx+π3)，

由f(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為π2，可得f(x)的周期T=2×π2=π，可得2ω=2πT=2，ω=1．

所以f(x)=sin(2x+π3)，由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，

可得f(x)的減區(qū)間為[π12+kπ,7π12+kπ](k∈Z)，取k=?1、0，與f(x)的減區(qū)間取交集，

可得f(x)在區(qū)間[?π2,π2]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[?π2,?5π12]與[π12,π2]；

(2)當(dāng)x∈[?π619.【答案】π3；

6+23；

【解析】(1)因?yàn)閍=23，所以23sinB=bsinB+C2可化為asinB=bsinB+C2，

由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsinB+C2，因?yàn)锽∈(0,π)，所以sinB≠0，

所以sinA=sinB+C2=sinπ?A2=cosA2，即2sinA2cosA2=cosA2，

因?yàn)锳∈(0,π)，所以A2∈(0,π2)，cosA2>0，

所以sinA2=12,A2=π6，所以A=π3；

(2)因?yàn)椤?/p>