線代題目及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則（）A.其中至少有一個(gè)零向量B.存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)C.向量組中任意兩個(gè)向量線性相關(guān)D.該向量組的秩為33.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)的列向量組線性無(wú)關(guān)B.\(A\)的行向量組線性無(wú)關(guān)C.\(A\)必有一個(gè)行向量是其余行向量的線性組合D.\(A\)的秩為\(n\)4.已知矩陣\(A\)滿足\(A^2-A-2E=0\)，則\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)為（）A.\(A-E\)B.\(\frac{1}{2}(A-E)\)C.\(A+E\)D.\(\frac{1}{2}(A+E)\)5.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timesp\)矩陣，則\(r(AB)\)（）A.\(\geqr(A)\)B.\(\leqr(A)\)C.\(=r(A)\)D.與\(r(A)\)無(wú)關(guān)6.向量組\(\alpha=(1,2,3),\beta=(2,4,6)\)的秩為（）A.0B.1C.2D.37.設(shè)\(A\)是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.\(\vertA\vert=1\)B.\(A^TA=E\)C.\(A^{-1}=A^T\)D.\(A\)的列向量組是單位正交向量組8.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&4\\4&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\4&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&2\\2&1\end{pmatrix}\)9.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A=B\)D.\(r(A)\neqr(B)\)10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)稱為\(A\)的（）A.特征方程B.齊次線性方程組C.非齊次線性方程組D.行列式方程多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（當(dāng)\(AB=BA\)時(shí)）C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A^mA^n=A^{m+n}\)（\(m,n\)為正整數(shù)）2.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）A.向量組中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示B.向量組的秩等于\(s\)C.向量組的極大線性無(wú)關(guān)組就是它本身D.對(duì)任意不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，都有\(zhòng)(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\neq0\)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列說法正確的有（）A.若\(A\)可逆，則\(\vertA\vert\neq0\)B.若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可通過初等行變換化為單位矩陣\(E\)C.若\(A\)可逆，則\(A\)的秩為\(n\)D.若\(A\)的秩為\(n\)，則\(A\)的列向量組線性無(wú)關(guān)4.下列關(guān)于特征值與特征向量的說法正確的有（）A.若\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，則\(\lambda\)滿足特征方程\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)B.若\(\xi\)是\(A\)對(duì)應(yīng)特征值\(\lambda\)的特征向量，則\(k\xi\)（\(k\neq0\)）也是\(A\)對(duì)應(yīng)特征值\(\lambda\)的特征向量C.方陣\(A\)的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)D.若\(A\)是實(shí)對(duì)稱矩陣，則\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)合同，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的秩B.\(A\)與\(B\)有相同的正負(fù)慣性指數(shù)C.存在可逆矩陣\(C\)，使得\(B=C^TAC\)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值6.以下哪些是正交矩陣的性質(zhì)（）A.正交矩陣的行列式為\(\pm1\)B.正交矩陣的逆矩陣是其轉(zhuǎn)置矩陣C.正交矩陣的列向量組是單位正交向量組D.兩個(gè)正交矩陣的乘積還是正交矩陣7.對(duì)于線性方程組\(Ax=b\)，以下說法正確的有（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)），則方程組有唯一解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無(wú)解D.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則方程組有無(wú)窮多解8.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對(duì)稱矩陣）正定的充分必要條件有（）A.\(A\)的特征值全大于0B.\(A\)的順序主子式全大于0C.對(duì)任意非零向量\(X\)，都有\(zhòng)(f(X)\gt0\)D.\(A\)合同于單位矩陣\(E\)9.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，下列哪些操作不改變\(A\)的秩（）A.交換\(A\)的兩行B.用非零常數(shù)\(k\)乘以\(A\)的某一行C.將\(A\)的某一行的\(k\)倍加到另一行D.左乘一個(gè)可逆矩陣\(P\)于\(A\)10.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)能由向量組\(\beta_1,\beta_2\)線性表示，則（）A.\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\leqr(\beta_1,\beta_2)\)B.\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\geqr(\beta_1,\beta_2)\)C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)D.向量組\(\beta_1,\beta_2\)線性無(wú)關(guān)判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)與\(B\)滿足\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）2.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。（）3.若方陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)的行向量組和列向量組都線性無(wú)關(guān)。（）4.相似矩陣一定有相同的秩。（）5.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\)是正定二次型。（）6.正交矩陣的行向量組是單位正交向量組。（）7.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則\(A\xi=\lambda\xi\)。（）8.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）9.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2\)線性相關(guān)，向量組\(\beta_1,\beta_2\)線性相關(guān)，則向量組\(\alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2\)也線性相關(guān)。（）10.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，若\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是0或1。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)；或\(A\)滿秩，即\(r(A)=n\)；或\(A\)可表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義。答案：對(duì)于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組線性相關(guān)；否則，只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時(shí)上式才成立，稱向量組線性無(wú)關(guān)。3.什么是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形？答案：二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（\(A\)為實(shí)對(duì)稱矩陣）經(jīng)過可逆線性變換\(X=CY\)化為只含平方項(xiàng)的形式\(f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2\)，該形式稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。4.簡(jiǎn)述求矩陣\(A\)的特征值和特征向量的步驟。答案：先求特征多項(xiàng)式\(\vert\lambdaE-A\vert\)，令\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)，解出特征值\(\lambda\)。對(duì)于每個(gè)特征值\(\lambda_i\)，解齊次線性方程組\((\lambda_iE-A)X=0\)，其非零解就是對(duì)應(yīng)\(\lambda_i\)的特征向量。討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的秩在解線性方程組中的應(yīng)用。答案：對(duì)于線性方程組\(Ax=b\)，通過比較系數(shù)矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)與增廣矩陣\((A|b)\)的秩\(r(A|b)\)來判斷解的情況。\(r(A)\ltr(A|b)\)時(shí)無(wú)解；\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)）有唯一解；\(r(A)=r(A|b)\ltn\)有無(wú)窮多解。秩還能確定基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等。2.探討正交矩陣在幾何中的意義。答案：正交矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換保持向量的長(zhǎng)度和夾角不變，在幾何中相當(dāng)于剛體運(yùn)動(dòng)，如旋轉(zhuǎn)、反射等。它能保證圖形在變換前后形狀和大小不變，其列向量組構(gòu)成空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，方便進(jìn)行坐標(biāo)變換與幾何量的計(jì)算。3.論述相似矩陣在實(shí)際問題中的應(yīng)