1/32025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（北京專用）數(shù)學(xué)?全解全析第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）。A． B． C． D．【答案】A【分析】利用交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確.故選：A2．復(fù)數(shù)的虛部為（）。A． B．1 C． D．i【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，再由復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為，故選：A.3．根據(jù)圖中的函數(shù)圖象，下列數(shù)值最小的是（）。

A．曲線在點(diǎn)處切線的斜率 B．曲線在點(diǎn)處切線的斜率C．曲線在點(diǎn)處切線的斜率 D．割線的斜率【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及割線的定義結(jié)合函數(shù)的圖象判斷即可．【詳解】通過圖象可知，曲線在點(diǎn)處、點(diǎn)處切線的斜率為正，在點(diǎn)處切線的斜率為負(fù)，割線的斜率為正，所以最小值為曲線在點(diǎn)處切線的斜率.故選：C4．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（）。A． B． C．16 D．18【答案】C【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：C.5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）。A． B． C． D．4【答案】D【分析】利用的奇偶性得到，再對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】為奇函數(shù)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得，，令，得，?dāng)時(shí)，，，即，.故選：D.6．已知，則（）。A． B．C． D．【答案】C【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于BD，取，此時(shí)，，故BD錯(cuò)誤；對(duì)于C，由基本不等式可得，故C正確.故選：C.7．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的（）。A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，但此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，必要性不成立；所以“的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.8．函數(shù)在處有極小值5，則（）。A． B． C．或 D．或3【答案】A【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值點(diǎn)處的函數(shù)值條件求出的值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可求解.【詳解】，由題意得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得極小值，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，所以時(shí)，取得極大值，不符合題意；所以，.故選：.9．生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（）。A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得，消去即可求解.【詳解】由題意得，則，即，所以.故選：D.10．從點(diǎn)可向曲線引三條不同切線，則a的取值范圍為（）。A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的斜率再根據(jù)切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率列方程，因?yàn)橛腥龡l不同切線所以對(duì)應(yīng)方程有三個(gè)不同的解，即對(duì)應(yīng)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值并確定極值的取值范圍從而求出的取值范圍.【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的線線過點(diǎn)，由，求導(dǎo)得，所以，所以曲線在處的切線方程為，因?yàn)閺狞c(diǎn)可向曲線引三條不同切線，所以有三個(gè)不同的解，即有三個(gè)不同的解，設(shè)，該函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求導(dǎo)得，令，則或，當(dāng)或，，當(dāng)，，所以：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在和區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在和處分別取得極大值和極小值，要想函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則，即，解得.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為． 【答案】【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算直接得出結(jié)果.【詳解】．故答案為：12．已知，則；．【答案】【分析】利用賦值法可求，利用換元法結(jié)合賦值法可求的值.【詳解】令，則，又，故，令，則，令，則，故故答案為：.13．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】0【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式可直接計(jì)算得到空①答案；利用分段函數(shù)單調(diào)性的條件可以得到不等式求解，得到②的答案.【詳解】時(shí),;由于當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以為了使得在上單調(diào)遞增，必須且只需,即,故答案為：；.14．我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項(xiàng)的和為．【答案】48384【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，且，所以；又因?yàn)?，則；空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，可得，所以.故答案為：48；384.15．設(shè)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，則（）。①．②．函數(shù)的對(duì)稱中心為③．過引曲線的切線，有且僅有1條④．若成等差數(shù)列，則【答案】①②④【分析】對(duì)①，求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，求出極值，由得解；對(duì)②，求出的二階導(dǎo)數(shù)，令的二階導(dǎo)數(shù)等于0，求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)進(jìn)而得解；對(duì)③，作出的圖象，利用圖象分析判斷；對(duì)④，由題可得，展開得，結(jié)合成等差數(shù)列，運(yùn)算得解.【詳解】由，令，解得：或，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.對(duì)于A，若有3個(gè)零點(diǎn)，則，解得：，故①正確；對(duì)于B，令，則，令，令，得，又所以對(duì)稱中心為，故②正確；對(duì)于C，結(jié)合圖象，過引曲線的切線有2條，故③錯(cuò)誤；對(duì)于D，，（*）若成等差數(shù)列，則，則，代入（*）得：，故④正確.故選：①②④.三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（滿分13分）4名男生和3名女生站成一排，分別有多少種不同的站法？(1)3名女生不相鄰．(2)男生甲不在排頭，女生乙不在排尾．(3)甲、乙、丙三人從左到右的順序不變．【答案】(1)1440種(2)3720種(3)840種【分析】（1）先安排男生，再插空法求解，得到答案；（2）正難則反的方法，先全排列，再求出男生甲在排頭，女生乙在排尾及兩者同時(shí)發(fā)生的情況數(shù)，列式計(jì)算；（3）用定序倍縮法進(jìn)行求解.【詳解】（1）先安排男生，有種可能，再將3名女生插空，有種可能，故3名女生不相鄰的站法有種；4分（2）4名男生和3名女生站成一排，共有種情況，其中男生甲在排頭的情況有種情況，女生乙在排尾的情況有種情況，男生甲在排頭的同時(shí)，女生乙在排尾的情況有種情況，所以男生甲不在排頭，女生乙不在排尾的情況有種；9分（3）甲、乙、丙三人從左到右的順序不變，可以用定序倍縮法進(jìn)行求解，即站法有種．13分17．（滿分13分）已知函數(shù)在及處取得極值．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)在處的切線方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極值點(diǎn)以及根與系數(shù)求得.（2）利用切點(diǎn)和斜率即可求得切線方程.【詳解】（1）依題意，在及處取得極值，而的兩根為，，所以，，，，此時(shí)，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，所以及是極值點(diǎn)，符合題意.所以8分（2）由（1）得，，，，則切線方程為，化簡(jiǎn)得，函數(shù)在處的切線方程為13分18．（滿分14分）已知等差數(shù)列的公差是-2，等比數(shù)列的公比是2，若.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的首面，再利用等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得答案.（2）利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解.【詳解】（1）等比數(shù)列的公比是2，，則，，由，得，又等差數(shù)列的公差是-2，則，所以和的通項(xiàng)公式分別為，8分（2）記和的前項(xiàng)和分別為，，則．而，，所以14分19．（滿分15分）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)的概率及X的數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)：如果沒有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為，，判斷與的大小（結(jié)論不要求證明）.【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）用頻率估計(jì)概率即可求解；（2）利用獨(dú)立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做對(duì)的概率及的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系.【詳解】（1）估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率5分（2）設(shè)為“從甲校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“從乙校抽取1人做對(duì)”，則，，設(shè)為“恰有1人做對(duì)”，故依題可知，可取，，，，故的分布列如下表：故11分（3）設(shè)為“甲校掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生做該題”，因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，故，即，故，同理有，，故，故15分20．（滿分15分）當(dāng)前，以深度求索（DeepSeek）等為代表的人工智能技術(shù)創(chuàng)新不斷取得突破性的進(jìn)展．已知語料庫實(shí)時(shí)處理數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)據(jù)量（萬條）與系統(tǒng)延遲（秒）的關(guān)系為．(1)討論系統(tǒng)延遲最小的臨界數(shù)據(jù)量；(2)當(dāng)時(shí)，若要求延遲不超過20秒，求數(shù)據(jù)量的最大值（取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：3.0910．【答案】(1)答案見解析(2)21萬條【分析】（1）求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，求出其最值即可；（2）根據(jù)單調(diào)性求出的整數(shù)解.【詳解】（1）由題意得，，令，解得，①若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值；②若，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，沒有最小值.綜上，若，則系統(tǒng)延遲最小的臨界數(shù)據(jù)量為；若，則不存在系統(tǒng)延遲最小的臨界數(shù)據(jù)量9分（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又19.，20.，故延遲不超過20秒時(shí)，數(shù)據(jù)量的最大值為21萬條15分21．（滿分15分）已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，證明：除切點(diǎn)A外，曲線在直線的上方；(3)設(shè)過點(diǎn)A的直線與直線垂直，，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而