三角形中的射影定理三角形中的射影定理在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.角度1解三角形(1)(2023·全國乙卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若acosB－bcosA=c，且∠C=π5，則∠B=()A．π10 B．πC．3π10 D．(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a=bcosC+csinB，且△ABC的面積為1+2，則b的最小值為()A．2 B．3 C．2 D．3答案：(1)C(2)A解析：(1)由射影定理acosB－bcosA=c=acosB+bcosA，則cosA=0，∠A=π2，則∠B=π－∠A－∠C=π－π2－π5=(2)由射影定理a=bcosC+ccosB和條件a=bcosC+csinB，所以sinB=cosB，又∠B∈(0，π)，所以∠B=π4，又S△ABC=1+2，所以12acsinB=1+2，即ac=4+22.所以b2=a2+c2－2accosB=a2+c2－2ac≥2ac－2ac=4，當且僅當a=c時取等號，所以b的最小值為2.故選角度2判定三角形的形狀(2025·陜西渭南模擬)已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若bcosC+ccosB=b，且a=ccosB，則△ABC是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形答案：D解析：由射影定理bcosC+ccosB=a=b，又a=ccosB=ccosB+bcosC，故cosC=0，因為∠C∈0，π，所以∠C=π2，故△ABC為等腰直角三角形.角度3求三角形的面積(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a=bcosC，且c=6，∠A=π6，則△ABC的面積為()A．23 B．33 C．43 D．63(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c=acosB+2cosA，2b=c，且cosC=－14，則△ABC的面積為.答案：(1)D(2)3解析：(1)由射影定理a=bcosC+ccosB，又a=bcosC，所以ccosB=0，故cosB=0，因為∠B∈0，π，所以∠B=π2，故△ABC為直角三角形.又c=6，∠A=π6，所以a=6tanπ6=23，所以S△ABC=12ac=(2)由三角形中的射影定理c=acosB+bcosA，結(jié)合已知條件c=acosB+2cosA，可得b=2，又因為2b=c，所以c=4，由c2=a2+b2－2abcosC，可得16=a2+4－4a×－14，解得a=3(負值舍去)，所以三角形的面積為12absinC=12×3×2×將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為射影定理的形式，整體代換直接利用公式解決問題；反用公式時注意能否正確應(yīng)用. 對點練1.(2025·河南南陽模擬)在△ABC中，已知a=acosB+bcosA=1，sinC=22，則(A．b=1 B．b=2 C．c=2 D．c=3答案：B解析：由acosB+bcosA=1，得c=1.又sinC=22，∠C∈0，π，故∠C=π4或3π4；又a=c=1，故∠A=∠C，顯然∠A=∠C=π4，則∠B=π－π2=π2，△ABC為等腰直角三角形，故b2=a2+c2=2對點練2.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acosB+bcosA=3，且sin2A+B2=34，b=3，則△ABCA．直角三角形 B．鈍角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形答案：C解析：因為acosB+bcosA=3，所以c=acosB+bcosA=3，又因為sin2A+B2=34，所以1－cosA+B2=1+cosC2=34，所以cosC=12，所以∠C=π3，又因為對點練3.(2025·天津南開區(qū)模擬)△ABC的面積為S.若bcosC+ccosB=asinA，S=14b2+a2－c答案：π解析：根據(jù)題意知bcosC+ccosB=a=asinA，則s