第三節(jié)隨機事件與概率【課程標準】1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率計算公式.4.會計算一些隨機事件所包含的樣本點個數(shù)及事件發(fā)生的概率.1.隨機事件與樣本空間(1)樣本點和樣本空間定義字母表示樣本點我們把隨機試驗的每個可能結果稱為樣本點用ω(或帶下標)表示樣本點樣本空間所有樣本點構成的集合稱為試驗E的樣本空間用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果樣本空間中樣本點的個數(shù)是有限的，則稱該樣本空間為有限樣本空間Ω={ω1，ω2，…，ωn}(2)隨機事件隨機事件一般地，當Ω是試驗的樣本空間時，我們稱Ω的子集A是Ω的隨機事件，簡稱為事件，一般用大寫字母A，B，C，…來表示.對于樣本空間Ω，A是事件和A?Ω等價.由一個樣本點組成的集合，稱為基本事件.必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，所以必然發(fā)生.我們稱樣本空間Ω是必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件(3)事件的關系和運算含義符號表示包含關系事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生A?B相等關系如果A?B，且B?AA=B交事件(積事件)事件A與事件B同時發(fā)生A∩B(或AB)并事件(和事件)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生A∪B(或A+B)互斥(互不相容)事件A∩B為不可能事件A∩B=?差事件事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生A\B對立事件事件發(fā)生當且僅當事件A不發(fā)生Ω\A或A2.概率及運算(1)概率隨機事件A發(fā)生的可能性的大小叫作隨機事件A的概率，記作P(A).它是事件本身固有的屬性.(2)古典概型①共同特征：(Ⅰ)有限性：樣本空間中只有有限個樣本點；(Ⅱ)等可能性：每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等.②古典概型的概率計算公式：一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中m個樣本點，則定義事件A的概率P(A)=mn=n(A)n(Ω).其中，n(A)和n((3)概率的基本性質①0≤P(A)≤1；②P(Ω)=1；③P(?)=0.(4)概率的運算①互斥事件的概率加法公式：(Ⅰ)如果Ω中的事件A，B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B).(Ⅱ)一般地，如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).學生用書?第284頁②對立事件的概率公式：如果A是樣本空間Ω的事件，則P(A)=1-P(A).③一般概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).【常用結論】當隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當隨機事件A，B對立時，一定互斥，即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.【自主檢測】1.(多選)下列說法正確的是()A．事件發(fā)生的頻率與概率是相同的B．兩個事件的和事件發(fā)生是指這兩個事件至少有一個發(fā)生C．從-3，-2，-1，0，1，2中任取一個數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同D．若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件答案：BC2.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的對立事件是()A．至少有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶答案：B解析：“至多有一次中靶”的對立事件是“兩次都中靶”.故選B．3.下列說法正確的是()A．甲、乙兩人做游戲：甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，則甲勝，否則乙勝，這個游戲公平B．做n次隨機試驗，事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率C．某地發(fā)行福利彩票，回報率為47%，某人花了100元買該福利彩票，一定會有47元的回報D．有甲、乙兩種報紙可供某人訂閱，事件B“某人訂閱甲報紙”是必然事件答案：A解析：對于A，甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，所有可能的結果為(奇，偶)，(奇，奇)，(偶，奇)，(偶，偶)，則都是奇數(shù)或都是偶數(shù)的概率為12，故游戲是公平的；對于B，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率，故事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率是不正確的；對于C，某人花100元買福利彩票，中獎或者不中獎都有可能，但事先無法預料，故C不正確；對于D，事件B可能發(fā)生也可能不發(fā)生，故事件B是隨機事件，故D不正確.故選A4.(多選)將一枚骰子向上拋擲一次，設事件A=“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過2”，事件C=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4”，則下列說法中正確的有()A．AB=?B．BC=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)大于3”C．AB+BC=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于3”D．ABC=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為2”答案：BC解析：由題意知事件A包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為1，3，5；事件B包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為1，2；事件C包含的樣本點：向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為4，5，6，所以AB=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為2”，故A錯誤；BC=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為4或5或6”，故B正確；AB+BC=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為3或4或5或6”，故C正確；ABC=“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為5”，故D錯誤.故選BC．5.若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為()A．23 B．2C．35 D．答案：D解析：五人錄用三人共有10種不同方式，分別為：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}.其中甲或乙被錄用共9種，故甲或乙被錄用的概率為910.故選D考點一隨機事件與樣本空間自主練透1.同時投擲兩枚完全相同的骰子，用(x，y)表示結果，記事件A為“所得點數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點的個數(shù)是()A．3 B．4 C．5 D．6答案：D解析：事件A包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6個樣本點.故選D．2.從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，下列兩個事件為對立事件的是()A．“至多有一個是偶數(shù)”和“至多有兩個是偶數(shù)”B．“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”C．“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”D．“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”答案：C解析：從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取三個數(shù)，可能有0個奇數(shù)和3個偶數(shù)，1個奇數(shù)和2個偶數(shù)，2個奇數(shù)和1個偶數(shù)，3個奇數(shù)和0個偶數(shù)，“至多有一個是偶數(shù)”包括2個奇數(shù)和1個偶數(shù)，3個奇數(shù)和0個偶數(shù)，“至多有兩個是偶數(shù)”包括1個奇數(shù)和2個偶數(shù)，2個奇數(shù)和1個偶數(shù)，3個奇數(shù)和0個偶數(shù)，即“至多有一個是偶數(shù)”包含于“至多有兩個是偶數(shù)”，故A錯誤；“恰有一個是奇數(shù)”即1個奇數(shù)和2個偶數(shù)，“恰有一個是偶數(shù)”即2個奇數(shù)和1個偶數(shù)，所以“恰有一個是奇數(shù)”和“恰有一個是偶數(shù)”是互斥但不對立事件，故B錯誤；同理可得“恰有一個是奇數(shù)”和“至多有一個是偶數(shù)”是互斥但不對立事件，故D錯誤；“至少有一個是奇數(shù)”包括1個奇數(shù)和2個偶數(shù)，2個奇數(shù)和1個偶數(shù)，3個奇數(shù)和0個偶數(shù)，“全都是偶數(shù)”即0個奇數(shù)和3個偶數(shù)，所以“至少有一個是奇數(shù)”和“全都是偶數(shù)”為對立事件，故C正確.故選C．3.(多選)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設事件A={兩彈都擊中飛機}，事件B={兩彈都沒擊中飛機}，事件C={恰有一彈擊中飛機}，事件D={至少有一彈擊中飛機}，則下列關系正確的是()A．A∩D=? B．B∩D=?C．A∪C=D D．A∪B=B∪D答案：BC解析：“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中、第二枚沒中或第一枚沒中、第二枚擊中，“至少有一彈擊中飛機”包含兩種情況，一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，故A∩D≠?，B∩D=?，A∪C=D，A∪B≠B∪D．故選BC．4.(多選)下列結論正確的有()A．若A，B互為對立事件，P(A)=1，則P(B)=0B．若事件A，B，C兩兩互斥，則事件A與B∪C互斥C．若事件A與B對立，則P(A∪B)=1D．若事件A與B互斥，則它們的對立事件也互斥答案：ABC解析：由題意得，P(B)=1-P(A)=0，故A正確；若事件A，B，C兩兩互斥，則事件A，B，C不可能同時發(fā)生，則事件A與B∪C也不可能同時發(fā)生，則事件A與B∪C互斥，故B正確；若事件A與B對立，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，故C正確；若事件A，B互斥但不對立，則它們的對立事件不互斥，故D錯誤.故選ABC．1.確定樣本空間的方法(1)必須明確事件發(fā)生的條件.(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案.特別要注意結果出現(xiàn)的機會是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復也不遺漏.學生用書?第285頁2.判斷互斥事件、對立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.(2)集合法：①由各個事件所含的結果組成的集合，彼此的交集為空集，則事件互斥；②事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集.考點二隨機事件的頻率與概率師生共研某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率.解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為2+16+3690所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫低于20，則Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300；若最高氣溫不低于25，則Y=450×(6-4)=900，所以利潤Y的所有可能值為-100，300，900.Y大于零，當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為36+25+7+因此Y大于零的概率的估計值為0.8.計算簡單隨機事件的頻率或概率的步驟

對點練1.某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關系如表所示，X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率.解：(1)由圖知，三角形中共有15個格點，與周圍格點的距離不超過1米的格點數(shù)是1的格點有2個，坐標分別為(4，0)，(0，4).與周圍格點的距離不超過1米的格點數(shù)是2的格點有4個，坐標分別為(0，0)，(1，3)，(2，2)，(3，1).與周圍格點的距離不超過1米的格點數(shù)是3的格點有6個，坐標分別為(1，0)，(2，0)，(3，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3).與周圍格點的距離不超過1米的格點數(shù)是4的格點有3個，坐標分別為(1，1)，(1，2)，(2，1).如下表所示：Y51484542頻數(shù)2463平均年收獲量u=51×2+(2)在15株中，年收獲量至少為48kg的作物共有2+4=6個，所以15株中任選一個，它的年收獲量至少為48kg的概率P=615=0.4學生用書?第286頁考點三互斥事件與對立事件的概率師生共研某商場進行有獎銷售，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.解：(1)P(A)=11000，P(B)=101000=1100，P((2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M=A∪B∪C．因為事件A，B，C兩兩互斥，所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=1+10+故1張獎券的中獎概率為611(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，所以PN=1-PA?B=1-11故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為9891求復雜互斥事件的概率的兩種方法1.直接法2.間接法：正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，一般用間接法求解更簡單.對點練2.某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；(2)估計一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率.解：(1)由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20.則顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為1×15+1.5×30(2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”，則可估計概率約為PA1=15100=320，PA2=30100=310，P因為A=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+PA3=320+310+1故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率約為710考點四古典概型多維探究角度1簡單的古典概型的概率(1)(2023·全國乙卷)某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為 ()A．56 B．2C．12 D．(2)(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質的概率為()A．16 B．1C．12 D．(3)(2024·山東臨沂模擬)阿基米德多面體是由兩種或三種正多邊形面組成的半正多面體.它共有13種，其特點是棱長相等.如圖①所示，順次連接棱長為2的正方體各棱的中點，得到一個阿基米德多面體，如圖②所示，在此阿基米德多面體的所有棱中任取兩條，則兩條棱垂直的概率為.

學生用書?第287頁答案：(1)A(2)D(3)4解析：(1)甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有6×6=36種，若甲、乙抽到的主題不同，則共有A62=30種，則其概率為3036=56(2)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C72=21(種)不同的取法，若兩數(shù)不互質，不同的取法有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)共7種，故所求概率P=21-721=(3)此阿基米德多面體共有24條棱，任取2條，共有C242=12×23=276(種)取法.兩條棱垂直有兩類情況：①都來自同一個正方形：6×4=24(種)；②來自對面的兩個正方形：3×8=24(種).故所求概率為P=48276對點練3.(1)已知a，b∈{-2，-1，1，2}，若向量m=(a，b)，n=(1，1)，則向量m與n所成的角為銳角的概率是()A．316 B．1C．38 D．(2)在一次比賽中某隊共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場順序，則乙、丙都不與甲相鄰出場的概率是()A．110 B．1C．25 D．答案：(1)B(2)D解析：(1)向量m與n所成的角為銳角等價于m·n>0，且m與n的方向不同，即m·n=a+b>0，則滿足條件的向量m有(-1，2)，(1，1)，(1，2)，(2，-1)，(2，1)，(2，2)，其中m=(1，1)或m=(2，2)時，與n同向，故舍去，故共有4種情況滿足條件，又m的取法共有4×4=16(種)，則向量m與n所成的角為銳角的概率是416=14.故選(2)在一次比賽中某隊共有甲、乙、丙等5位選手參加，賽前用抽簽的方法決定出場順序，樣本點總數(shù)n=A55=120，“乙、丙都不與甲相鄰出場”包含的樣本點個數(shù)m=A22A33+2×C21A33=36，所以“乙、丙都不與甲相鄰出場”角度2古典概型與統(tǒng)計的綜合應用某學校學生參加全國數(shù)學競賽初賽(滿分100分).該學校從全體參賽學生中隨機抽取了200名學生的初賽成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示：(1)根據(jù)頻率分布直方圖給出的數(shù)據(jù)估計此次初賽成績的中位數(shù)和平均數(shù)；(2)從抽取的成績在90~100的學生中抽取3人組成特訓組，用頻率估計概率，求學生A被選中的概率.解：(1)因為10×(0.0075+0.02)=0.275，0.275+10×0.03=0.575，所以中位數(shù)位于區(qū)間[60，70)，設中位數(shù)為x，則10×(0.0075+0.02)+10×0.03×x-6010=0.5，解得x=67即中位數(shù)為67.5.平均數(shù)為10×(0.0075×45+0.02×55+0.03×65+0.025×75+0.015×85+0.0025×95)=67.75.(2)成績在90~100的學生有200×10×0.0025=5(人)，設為A，b，c，d，e，從這5人中抽取3人，有(A，b，c)，(A，b，d)，(A，b，e)，(A，c，d)，(A，c，e)，(A，d，e)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，d，e)，(c，d，e)，共10種情況，其中學生A被選中有(A，b，c)，(A，b，d)，(A，b，e)，(A，c，d)，(A，c，e)，(A，d，e)，共6種情況，所以學生A被選中的概率為610=0.6對點練4.(2024·新課標Ⅰ卷)甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.

答案：1解析：因為甲出卡片1一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為3.若甲的總得分為3，則甲出卡片3，5，7時都贏，所以只有1種組合：3-2，5-4，7-6，1-8.若甲的總得分為2，有以下三類情況：第一類，當甲出卡片3和5時贏，只有1種組合，為3-2，5-4，1-6，7-8；第二類，當甲出卡片3和7時贏，有3-2，7-4，1-6，5-8或3-2，7-4，1-8，5-6或3-2，7-6，1-4，5-8，共3種組合；第三類，當甲出卡片5和7時贏，有5-2，7-4，1-6，3-8或5-2，7-4，1-8，3-6或5-4，7-2，1-6，3-8或5-4，7-2，1-8，3-6或5-2，7-6，1-4，3-8或5-2，7-6，1-8，3-4或5-4，7-6，1-2，3-8，共7種組合.綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有4×3×2×1=24(種)，所以甲的總得分不小于2的概率P=1224=11.利用公式法求解古典概型問題的步驟2.古典概型與統(tǒng)計綜合問題的解題策略(1)將題目條件中的相關信息轉化為事件.(2)判斷事件是否為古典概型.(3)選用合適的方法確定樣本點個數(shù).(4)代入古典概型的概率公式求解.[真題再現(xiàn)](2024·全國甲卷理)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球，設m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則m與n之差的絕對值不大于12的概率為答案：7解析：設3次取出的球上的數(shù)字依次為a，b，c，則無放回地隨機取3次球的取法有A63=120(種)，則|m-n|=a+b2-a+b+c3=a+b-2c6≤12，可得|a+b-2c|≤3.當c=1時，a，b需要滿足“3≤a+b≤5”，所有可能情況為(2，3)，(3，2)，共2種.當c=2時，a，b需要滿足“3≤a+b≤7”，所有可能情況為(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，(5，1)，(6，1)，共10種.當c=3時，a，b需要滿足“3≤a+b≤9”，所有可能情況為(1，2)，(2，1)，(1，4)，(4，1)，(1，5)，(5，1)，(1，6)，(6，1)，(2，4)，(4，2)，(2，5)，(5，2)，(2，6)，(6，2)，(4，5)，(5，4)，共16種.當c=4時，a，b需要滿足“5≤a+b≤11”，所有可能情況為(1，5)，(5，1)，(1，6)，(6，1)，(2，3)，(3，2)，(2，5)，(5，2)，(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(3，6)，(6，3)，(5，6)，(6，5)，共16種.當c=5時，a，b需要滿足“7≤a+b≤13”，所有可能情況為(1，6)，(6，1)，(2，6)，(6，2)，(3，4)，(4，3)，(3，6)，(6，3)，(4，6)，(6，4)，共10種.當c=6時，a，b需要滿足“9≤a+b≤15”，所有可能情況為(4，5)，(5，4)，共2種.故共有2+10+16[教材呈現(xiàn)](湘教版必修二P226T4)拋擲兩枚質地均勻的骰子，試計算下列事件的概率：(1)兩枚骰子的點數(shù)相同；(2)兩枚骰子的點數(shù)之和是6；(3)兩枚骰子的點數(shù)之和不是6；(4)至少一枚骰子的點數(shù)是3.點評：這兩題考查相同的知識點，設問的本質也是一樣的，都是考查古典概型，兩題的相似度較高.課時測評81隨機事件與概率對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(1-8，每小題5分，共40分)1.已知A與B是互斥事件，且PA=0.4，P(B)=0.2，則P(A∪B)=()A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9答案：C解析：由題意知A，B是互斥事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)，且P(A)=1-PA=1-0.4=0.6，則P(A∪B)=0.6+0.2=0.8.故選C．2.“黑匣子”是飛機常用的電子記錄設備之一，黑匣子有兩個，為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對黑匣子內(nèi)部構造進行相關課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個黑匣子”，事件C為“至多研究一個黑匣子”，事件D為“兩個黑匣子都研究”，則()A．A與C是互斥事件 B．B與D是對立事件C．B與C是對立事件 D．C與D是互斥事件答案：D解析：事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”；事件B為“至少研究一個黑匣子”，包含“只研究駕駛艙語音記錄器”“只研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；事件C為“至多研究一個黑匣子”，包含“只研究駕駛艙語音記錄器”“只研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”“兩個黑匣子都不研究”；事件D為“兩個黑匣子都研究”，即“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”.所以對于A，事件A與事件C不是互斥事件，故A不正確；對于B，事件B與事件D不是對立事件，故B不正確；對于C，事件B與事件C不是對立事件，故C不正確；對于D，事件C和事件D不能同時發(fā)生，故C與D是互斥事件，故D正確.故選D．3.(2023·全國甲卷)某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為 ()A．16 B．1C．12 D．答案：D解析：記高一年級2名學生分別為a1，a2，高二年級2名學生分別為b1，b2，則從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6個，其中這2名學生來自不同年級的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4個，所以這2名學生來自不同年級的概率P=46=23.故選4.(2025·湘豫名校聯(lián)考)黨的二十大報告提出：“深化全民閱讀活動”.今天，我們思索讀書的意義、發(fā)掘知識的價值、強調閱讀的作用，正是為了更好地滿足人民群眾精神文化生活新期待.某市把圖書館、博物館、美術館、文化館四個公共文化場館面向社會免費開放，開放期間需要志愿者參與協(xié)助管理.現(xiàn)有A，B，C，D，E共5名志愿者，每名志愿者均參與本次志愿者服務工作，每個場館至少需要一名志愿者，每名志愿者到各個場館的可能性相同，則A，B兩名志愿者不在同一個場館的概率為()A．12 B．2C．56 D．答案：D解析：將5名志愿者分配到4個場館，共有C52A44種不同的方法，其中A，B兩名志愿者在同一個場館共有A44種不同的方法，所以A，B兩名志愿者不在同一個場館的概率為P=1-5.(多選)下列說法中正確的有()A．若事件A與事件B是互斥事件，則P(AB)=0B．若事件A與事件B是對立事件，則P(A+B)=1C．某人打靶時連續(xù)射擊三次，則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D．把紅、橙、黃3張紙牌隨機分給甲、乙、丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件答案：ABC解析：事件A與事件B互斥，則A，B不可能同時發(fā)生，所以P(AB)=0，故A正確；事件A與事件B是對立事件，則事件B即為事件A，所以P(A+B)=1，故B正確；事件“至少有兩次中靶”與“至多有一次中靶”不可能同時發(fā)生，且二者必有一個發(fā)生，所以為對立事件，故C正確；事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時發(fā)生，即“丙分得的是紅牌”，所以不是互斥事件，故D錯誤.故選ABC．6.(多選)(2025·廣西梧州模擬)某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩人同時在地鐵第1號車站(首發(fā)站)乘車，假設每人自第2號車站開始，在每個車站下車是等可能的，則()A．甲、乙兩人下車的所有可能的結果有9種B．甲、乙兩人同時在第2號車站下車的概率為1C．甲、乙兩人同時在第4號車站下車的概率為1D．甲、乙兩人在不同的車站下車的概率為2答案：ABD解析：對于A，甲下車的情況有第2號車站，第3號車站，第4號車站，共3種，同理可得，乙下車的情況數(shù)也是3，則總情況數(shù)為3×3=9，故A正確；對于B，甲、乙兩人同時在第2號車站下車的情況數(shù)為1，則概率為19，故B正確；對于C，甲、乙兩人同時在第4號車站下車的情況數(shù)為1，則概率為19，故C錯誤；對于D，甲、乙兩人在相同車站下車的情況數(shù)為3，則在不同車站下車的情況數(shù)為9-3=6，即概率為69=23，故D正確.7.(2024·山東棗莊二模)盒子內(nèi)裝有編號為1，2，3，…，10的10個除編號外完全相同的玻璃球.從中任取三球，則其編號之和能被3整除的概率為.

答案：7解析：依題意，問題相當于從1，2，3，…，10的10個數(shù)中任取3個，這3個數(shù)的和能被3整除的概率，顯然試驗含有的基本事件總數(shù)為C103=120，它們等可能，10個數(shù)中能整除3的有3，6，9；除以3余數(shù)是1的有1，4，7，10；除以3余數(shù)是2的有2，5，8，取出的3個數(shù)的和能被3整除的事件A含有的基本事件數(shù)有2C33+C43+C31C31C48.(2023·天津卷)甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%.現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子中的球混合后任取一個球，是白球的概率為.

答案：0.053解析：設甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為5n，4n，6n，所以總數(shù)為15n，所以甲盒中黑球個數(shù)為40%×5n=2n，白球個數(shù)為3n；乙盒中黑球個數(shù)為25%×4n=n，白球個數(shù)為3n；丙盒中黑球個數(shù)為50%×6n=3n，白球個數(shù)為3n；記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A，所以P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05；記“將三個盒子中的球混合后取出一個球，是白球”為事件B，黑球共有2n+n+3n=6n個，白球共有9n個，所以P(B)=9n15n9.(10分)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口排隊的人數(shù)及相應的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率；(4分)(2)至少3人排隊等候的概率.(6分)解：記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G=A+B+C，所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則H=D+E+F，所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)=1-P(G)=0.44.10.(12分)某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率；(5分)(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.(7分)解：(1)由題意，參加集訓的男、女生各有6名，入選代表隊學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為C33C因此，A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為1-1100=99(2)設“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A，記“參賽女生有2人”為事件B，“參賽女生有3人”為事件C，則P(B)=C32C32C64=35，P(C)=C33C31C64=15.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P((每小題6分，共24分)11.(知識融合)在二項式x+124xn的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，A．16 B．1C．13 D．答案：D解析：展開式的通項為Tr+1=Cnr·xn-r124xr=Cnr·2-r·x2n-3r4(0≤r≤n)，由題意n≥2，2Cn1·2-1=Cn0·20+Cn2·2-2，解得n=8，所以當r=0，4，8時，16-12.(多選)(2025·海南?？谀M)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.記第一次取出的球的數(shù)字為X1，第二次取出的球的數(shù)字為X2.設X=X1X2，其中[x]表示不超過x