第二節(jié)兩條直線的位置關系【課程標準】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，則①l1∥l2?方向向量平行?k1=k2且b1≠b2.②l1⊥l2?方向向量垂直?(1，k1)·(1，k2)=1+k1k2=0?k1k2=-1.③兩條直線重合?k1=k2并且b1=b2.④兩條直線相交?k1≠k2.(2)兩條直線的一般式方程為l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，則①l1∥l2?法向量平行?A1B2-A2B1=0，A1C2≠A2C1?A2=λA1，B2=λB1，C2≠λC1，λ為非零實數(shù).②l1⊥l2?法向量垂直?(A1，B1)·(A2，B2)=A1A2+B1B2=0.2.兩條直線的交點坐標(1)兩條直線的交點設兩條直線的方程分別為l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.如果這兩條直線相交，由于交點同時在這兩條直線上，交點的坐標一定是這兩個方程的公共解；反之，如果將這兩條直線的方程聯(lián)立，若方程組有唯一解，那么以這個解為坐標的點必是直線l1和直線l2的交點.(2)兩直線的位置關系和方程組解的個數(shù)的關系直線l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同時為0)；l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同時為0)的位置關系如表所示.方程組A1一組解無解無數(shù)組解直線l1，l2公共點的個數(shù)一個零個無數(shù)個直線l1，l2的位置關系相交平行重合3.三種距離公式兩點間的距離平面內(nèi)任意兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離為|AB|=(點到直線的距離點P(x0，y0)到直線Ax+By+C=0的距離d=|兩條平行線間的距離兩條平行直線l1：Ax+By+C1=0與l2：Ax+By+C2=0之間的距離d=|[微提醒]利用兩平行直線間的距離公式時，需要先將兩條平行線方程化為x，y的系數(shù)對應相等的一般式.【常用結(jié)論】(1)直線系方程①與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).②與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).③過直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2.(2)與對稱問題有關的四個結(jié)論①點(x，y)關于點(a，b)的對稱點為(2a-x，2b-y).②點(x，y)關于直線x=a的對稱點為(2a-x，y)，關于直線y=b的對稱點為(x，2b-y).③點(x，y)關于直線y=x的對稱點為(y，x)，關于直線y=-x的對稱點為(-y，-x).④點(x，y)關于直線x+y=k的對稱點為(k-y，k-x)，關于直線x-y=k的對稱點為(k+y，x-k).學生用書?第214頁【自主檢測】1.(多選)下列說法正確的是()A．當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1=k2?l1∥l2B．若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于-1C．直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離D．若點A，B關于直線l：y=kx+b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于-1k，且線段AB的中點在直線l答案：CD2.(用結(jié)論)過點(1，0)且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是()A．x-2y-1=0 B．x-2y+1=0C．2x+y-2=0 D．x+2y-1=0答案：A解析：因為所求直線與x-2y-2=0平行，故可設直線方程為x-2y+m=0，又因為直線過點(1，0)，所以1+m=0，即m=-1.故所求直線方程為x-2y-1=0.故選A．3.若直線l1：ax-(a+1)y+1=0與直線l2：2x-ay-1=0垂直，則實數(shù)a=()A．3 B．0C．-3 D．0或-3答案：D解析：因為直線l1與直線l2垂直，所以2a+a(a+1)=0，整理得a2+3a=0，解得a=0或a=-3.故選D．4.(1)已知點(a，2)(a>0)到直線l：x-y+3=0的距離為1，則a的值為.

(2)若直線2x-y-3=0與4x-2y+a=0之間的距離為5，則實數(shù)a=.

答案：(1)2-1(2)4或-16解析：(1)由題意得|a-2+3|2=1，即|a+1|=2，又a>0，(2)將直線2x-y-3=0化為4x-2y-6=0，則直線2x-y-3=0與直線4x-2y+a=0之間的距離d=|a-(-6)|16+4=|a+6|25，根據(jù)題意可得：|a+6|25.(用結(jié)論)點P(2，5)關于直線x+y=1的對稱點的坐標為.

答案：(-4，-1)解析：點P(2，5)關于x+y=1的對稱點的坐標為(1-5，1-2)，即(-4，-1).考點一兩條直線的平行與垂直自主練透1.已知直線l1：ax+(a-1)y+3=0，l2：2x+ay-1=0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值是()A．0或-1 B．-1或1C．-1 D．1答案：A解析：由題意可知l1⊥l2，故2a+a(a-1)=0，解得a=0或a=-1，經(jīng)驗證，符合題意.故選A．2.(多選)已知直線l1：x+my-1=0，l2：(m-2)x+3y+3=0，則下列說法正確的是()A．若l1∥l2，則m=-1或m=3B．若l1∥l2，則m=3C．若l1⊥l2，則m=-1D．若l1⊥l2，則m=1答案：BD解析：若直線l1∥l2，則3-m(m-2)=0，解得m=3或m=-1，但當m=-1時，兩直線方程分別為x-y-1=0，-3x+3y+3=0即x-y-1=0，兩直線重合，故只有當m=3時兩直線平行，故A錯誤，B正確；若l1⊥l2，則m-2+3m=0，解得m=12，故C錯誤，D正確.故選BD3.已知三條直線2x-3y+1=0，4x+3y+5=0，mx-y-1=0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為.

答案：-解析：由題意得直線mx-y-1=0與2x-3y+1=0或4x+3y+5=0平行，或者直線mx-y-1=0過2x-3y+1=0與4x+3y+5=0的交點.當直線mx-y-1=0與2x-3y+1=0或4x+3y+5=0平行時，m=23或m=-43；當直線mx-y-1=0過2x-3y+1=0與4x+3y+5=0的交點時，m=-23.所以實數(shù)m判斷兩直線位置關系的注意點1.當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結(jié)論.考點二兩直線的交點與距離問題師生共研(1)已知直線l1：2x-y-4=0，l2：x+y-5=0相交于點P，則P到直線l：x+2y+3=0的距離為()A．25 B．35C．5 D．3(2)兩條平行直線3x+4y-12=0與ax+8y+11=0之間的距離為.

答案：(1)A(2)7解析：(1)由題意，聯(lián)立2x-y-4=0，x+y-5=0，可得x=3，y=2，故P(3，2).則(2)由兩條直線平行，得3a=48，所以a=6，所以直線3x+4y-12=0可化為6x+8y-24=0，則兩平行線間的距離為d=|-兩種距離的求解思路1.點到直線的距離：可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式.2.兩平行直線間的距離：(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；(2)利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式).注意：點P(x0，y0)到直線x=a的距離d=|x0-a|，到直線y=b的距離d=|y0-b|.學生用書?第215頁對點練1.(1)已知點A(-3，-4)，B(6，3)到直線l：ax+y+1=0的距離相等，則a=()A．-13或-97 B．C．-13 D．-13或(2)已知直線l1：2x+3y-1=0和l2：4x+6y-9=0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為.

答案：(1)D(2)4x+6y+5=0或12x+18y-13=0解析：(1)由題意得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，化簡得|3a+3(2)由題意得l1∥l2.設直線l：4x+6y+m=0，m≠-2且m≠-9.直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題意知d1=|m+2|16+36，d2=|m+9|16+36，因為d1d2=12，所以2|m+2|16+36=|m+9|16+36，即2|m+2|=|m+9|，考點三對稱問題多維探究角度1中心對稱(1)直線x-2y-3=0關于定點M(-2，1)對稱的直線方程是.

(2)過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為.

答案：(1)x-2y+11=0(2)x+4y-4=0解析：(1)設所求直線上任意一點的坐標為(x，y)，則其關于點M(-2，1)的對稱點(-4-x，2-y)在已知直線上，所以所求直線方程為(-4-x)-2(2-y)-3=0，即x-2y+11=0.(2)設l1與l的交點為A(a，8-2a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0，解得a=4，即點A(4，0)在直線l上，因為點P(0，1)也在直線l上，所以利用兩點式可得直線l的方程為y1=x-4-4，即x+4y角度2軸對稱(1)一束光線沿著直線y=-3x+b射到直線x+y=0上，經(jīng)反射后沿著直線y=ax+2射出，則有()A．a(chǎn)=13，b=6 B．a(chǎn)=-3，b=C．a(chǎn)=3，b=-16 D．a(chǎn)=-13，b=(2)已知點A(4，-1)，B(8，2)和直線l：x-y-1=0，動點P(x，y)在直線l上，則|PA|+|PB|的最小值為.

答案：(1)D(2)65解析：(1)由題意，知直線y=-3x+b與直線y=ax+2關于直線y=-x對稱，所以直線y=ax+2上的點(0，2)關于直線y=-x的對稱點(-2，0)在直線y=-3x+b上，所以-3×(-2)+b=0，所以b=-6.直線y=-3x-6上的點(0，-6)關于直線y=-x的對稱點(6，0)在直線y=ax+2上，所以6a+2=0，所以a=-13.故選D(2)設點A關于直線l的對稱點為A1，P0為A1B與直線l的交點，如圖，所以|P0A1|=|P0A|，|PA1|=|PA|.所以|PA|+|PB|=|PA1|+|PB|≥|A1B|.即當P點運動到P0時，|PA|+|PB|取得最小值|A1B|.設A1(x1，y1)，則y1+1x1-4·1=-1，x1+42-y1-121.中心對稱問題的處理方法(1)點關于點的對稱：利用中點坐標公式找關系求解.(2)直線關于點的對稱：法一：在已知直線上取兩點，利用點關于點對稱，求出對稱點坐標，然后利用兩點式求直線方程.法二：在已知直線上取一點求對稱點，利用關于一點對稱的兩條直線平行，求直線方程.2.軸對稱問題的處理方法(1)點關于直線對稱若P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax+By+C=0對稱，則有A·x1+x22+B·y(2)直線關于直線的對稱①若直線與對稱軸平行，則可在直線上取一點，求出該點關于對稱軸的對稱點，然后用直線的點斜式方程求解.②若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后取直線上一點，求該點關于對稱軸的對稱點，最后由直線的兩點式方程求解. 對點練2.已知直線l：3x-y+3=0，求：(1)點P(4，5)關于直線l對稱的點的坐標；(2)直線x-y-2=0關于直線l對稱的直線方程；(3)直線l關于點(1，2)對稱的直線方程.解：(1)設點P關于直線l的對稱點為P'(x'，y')，則kPP'·kl=-1，所以y'-5x'-4×又PP'的中點在直線l上，所以3×x'+42-y'+5聯(lián)立①②，解得x所以點P(4，5)關于直線l對稱的點的坐標為(-2，7).(2)聯(lián)立3x-y+3=0，x-y-2=0，解得x=-52，y=-92，即兩直線的交點坐標為-52，-9則3×2即所求直線過點-17利用兩點式得y+92整理得7x+y+22=0，即所求直線的方程為7x+y+22=0.(3)在直線l：3x-y+3=0上取點M(0，3)，設其關于點(1，2)對稱的點為M'(xM'，yM')，則xM'即M'(2，1).因為直線l關于點(1，2)對稱的直線平行于l，所以所求直線的斜率為3，所以所求直線的方程為y-1=3(x-2)，即3x-y-5=0.學生用書?第216頁[真題再現(xiàn)](1)(2024·北京卷)圓x2+y2-2x+6y=0的圓心到x-y+2=0的距離為()A．2 B．2 C．3 D．32(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知橢圓C：x23+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m=(A．23 B．2C．-23 D．-答案：(1)D(2)C解析：(1)由題意得x2+y2-2x+6y=0，即x-12+y+32=10，則其圓心坐標為1，-3，則圓心到直線x-y+2=0(2)由題意，F(xiàn)1(-2，0)，F(xiàn)2(2，0)，△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點F1到直線AB的距離是點F2到直線AB的距離的2倍，即|-2+m|2=2×|2+m|2，解得m=-23或m=-3[教材呈現(xiàn)](湘教版選擇性必修一P87T3)求點A(-3，4)到直線3x-2y+6=0的距離.點評：這兩道高考題與教材練習題非常類似，都是求點到直線的距離，2024年北京卷涉及求圓心，2023年新高考Ⅱ卷涉及直線與橢圓的位置關系，都是教材練習題的變式和引申，試題源于教材高于教材.課時測評63兩條直線的位置關系對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)(每小題5分，共50分)1.(2024·江西南昌三模)若a為實數(shù)，則“a=1”是“直線l1：ax+y+2=0與l2：x+ay-3-a=0平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：若直線l1：ax+y+2=0與l2：x+ay-3-a=0平行，則a2-1=0，解得a=1或a=-1，當a=1時，直線l1：x+y+2=0，l2：x+y-4=0，此時l1∥l2，符合題意；當a=-1時，直線l1：-x+y+2=0，即l1：x-y-2=0，l2：x-y-2=0，此時l1，l2重合，不符合題意，所以“a=1”是“直線l1：ax+y+2=0與l2：x+ay-3-a=0平行”的充要條件.故選C．2.若直線ax-4y+2=0與直線2x+5y+c=0垂直，垂足為(1，b)，則a+b+c等于()A．-6 B．4 C．-10 D．-4答案：D解析：因為ax-4y+2=0與直線2x+5y+c=0垂直，故2a-20=0，即a=10，因為垂足為(1，b)，故10×1-4×b+2=0，2×1+3.已知直線l經(jīng)過直線l1：x+y=2與l2：2x-y=1的交點，且直線l的斜率為-23，則直線l的方程是(A．3x-2y-1=0 B．3x-2y+1=0C．2x+3y-5=0 D．2x-3y+1=0答案：C解析：解方程組x+y=2，2x-y=1，得x=1，y=1，所以兩直線的交點坐標為(1，1).因為直線l的斜率為-23，所以直線l的方程為y-1=-24.(2024·山西太原模擬)已知直線l與直線3x-2y=6平行，且直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，則直線l的方程為()A．15x-10y-6=0 B．15x-10y+6=0C．6x-4y-3=0 D．6x-4y+3=0答案：A解析：若直線l過原點，則直線l在兩坐標軸上的截距相等，不符合題意.設直線l的方程為xa+1+ya=1，其中a≠0且a≠-1，則直線l的斜率為k=-aa+1=32，解得a=-35，所以直線l的方程為x25-y35=1，即5.當點P(3，2)到直線mx-y+1-2m=0的距離最大時，m的值為()A．3 B．0 C．-1 D．1答案：C解析：直線mx-y+1-2m=0可化為y=m(x-2)+1，故直線過定點Q(2，1)，當PQ和直線垂直時，距離取得最大值，故m·kPQ=m·2-13-2=-1，解得m=-6.(多選)已知直線l過點P(1，2)，且點A(2，3)，B(4，-5)到直線l的距離相等，則l的方程可能是()A．4x+y-6=0 B．x+4y-6=0C．3x+2y-7=0 D．2x+3y-7=0答案：AC解析：由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點，當直線l∥AB時，因為直線AB的斜率為3--52-4=-4，所以直線l的方程是y-2=-4(x-1)，即4x+y-6=0；當直線l經(jīng)過線段AB的中點(3，-1)時，l的斜率為2--11-3=-32，此時l的方程是y-2=-32(x-1)，即7.(多選)若三條直線x+3y+7=0，x-y-1=0，x+2ny+n=0能圍成一個三角形，則n的值不可能是()A．32 B．1C．-13 D．-答案：ACD解析：由x+3y+7=0，x-y-1=0，得x=-1，y=-2，所以兩條直線交于點(-1，-2).當x+2ny+n=0也過(-1，-2)時，-1+2n×(-2)+n=0，解得n=-13，此時三條直線交于同一點，不能構(gòu)成三角形；當x+3y+7=0與x+2ny+n=0平行時，有2n=3，則n=32，不能構(gòu)成三角形；當x-y-1=0與x+2ny+n=0平行時，有2n=-1，8.已知直線l1：2x+y+1=0和直線l2：x+ay+3=0，若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為；若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為.

答案：-25解析：已知直線l1：2x+y+1=0和l2：x+ay+3=0，若l1⊥l2，則2+a=0，解得a=-2；若l1∥l2，則2a=1，解得a=12，此時直線l2：2x+y+6=0，顯然兩直線不重合，故此時l1與l2間的距離d=|5|9.直線2x+4y-5=0關于直線x=2對稱的直線的方程為.

答案：2x-4y-3=0解析：設直線2x+4y-5=0上任意一點P(x0，y0)關于直線x=2對稱的點為Q(x，y)，則x0+x2=2，y0=y，所以x0=4-x，y0=y，代入2x0+4y0-5=0，得2(10.已知直線l過直線l1：x-3y+1=0和l2：3x+y-3=0的交點A，且原點到直線l的距離為12，則直線l的方程為答案：x=12或x-3y+1=解析：由x-3y+1=①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=12，原點(0，0)到直線x=12的距離為12②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-32=kx-12，即kx-y-12k+32=0.由原點(0，0)到直線l的距離d=-12k+321+k2=12，解得k=33，故直線l的方程為x-3y+1=0.(每小題8分，共32分)11.(多選)已知兩條直線l1，l2的方程分別為3x+4y+12=0與ax+8y-11=0，下列結(jié)論正確的是()A．若l1∥l2，則a=6B．若l1∥l2，則兩條平行直線之間的距離為7C．若l1⊥l2，則a=32D．若a≠6，則直線l1，l2一定相交答案：AD解析：若l1∥l2，則4a=3×8，所以a=6，故A正確；由A知，l2：6x+8y-11=0，直線l1的方程可化為6x+8y+24=0，故兩條平行直線之間的距離為|24+11|36+64=72，故B不正確；若l1⊥l2，則3a+4×8=0，所以a=-323，故C不正確；由A知，當a=6時，l1∥l2，所以若a≠6，則直線l1，l2一定相交12.設△ABC的一個頂點是A(3，-1)，內(nèi)角B，C的平分線的方程分別是x=0，y=x，則直線BC的方程是()A．y=3x+5 B．y=2x+3C．y=2x+5 D．y=-x2+答案：C解析：A關于直線x=0的對稱點是A'(-3，-1)，關于直線y=x的對稱點是A″(-1，3)，由角平分線的性質(zhì)可知，點A'，A″均在直線BC上，所以直線BC的方程為y=2x+5.故選C．13.已知直線l1：x-my+1=0過定點A，直線l2：mx+y-m+3=0過定點B，l1與l2相交于點P，則|PA|2+|PB|2=()A．10 B．13 C．16 D．20答案：B解析：直線l1：x-my+1=0過定點A，令y=0，得x=-1，所以A(-1，0)；直線l2：mx+y-m+3=0過定點B，直線l2的方程可化為m(x-1)+y+3=0，令x=1，得y=-3，所以B(1，-3).因為1·m-m·1=0，所以l1⊥l2.因為l1與l2相交于點P，所以△PAB是以AB為斜邊的直角三角形，由勾股定理可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=(-1-1)2+(0+3)2=13.故選B．14.(新情境)瑞士數(shù)學家歐拉(Euler)1765年在所著的《三角形的幾何學》一書中