呂梁期末考試高二數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.若sinα=1/2，且α是第二象限的角，則cosα的值為？

A.-√3/2

B.√3/2

C.-1/2

D.1/2

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，連續(xù)拋擲3次，恰好出現(xiàn)兩次正面的概率是？

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

4.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=2，d=3，則a?的值為？

A.10

B.13

C.14

D.15

5.函數(shù)f(x)=x2-4x+3的圖像的對稱軸是？

A.x=-2

B.x=2

C.x=-1

D.x=1

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的度數(shù)是？

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

7.已知點P(x,y)在直線y=2x+1上，則點P到原點的距離的最小值是？

A.1/√5

B.√5/5

C.1

D.√2

8.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點在x軸上，則下列說法正確的是？

A.a>0，b=0

B.a>0，c=0

C.a>0，b2-4ac=0

D.a<0，b2-4ac>0

9.已知集合A={x|x2-3x+2>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B等于？

A.(-∞,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(-1,2)

10.在直角坐標系中，點P(x,y)到直線3x+4y-12=0的距離為2，則滿足條件的點的個數(shù)是？

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sinx

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tanx

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的通項公式a?可能為？

A.a?=2×3^(n-1)

B.a?=-2×3^(n-1)

C.a?=2×3^(n+1)

D.a?=-2×3^(n+1)

3.下列命題中，正確的有？

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則√a>√b（a,b均大于0）

C.若a2=b2，則a=b

D.若a>0，b<0，則a>|b|

4.已知函數(shù)f(x)=x2-mx+1在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是？

A.m≤0

B.m≥2

C.m≤-2

D.m≥0

5.在△ABC中，若邊a=3，邊b=4，邊c=5，則下列說法正確的有？

A.△ABC是直角三角形

B.cosA=4/5

C.sinB=3/5

D.tanC=3/4

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=√(x-a)+√(b-x)的定義域為[1,3]，則實數(shù)a和b的值分別為______和______。

2.計算：sin30°cos60°+cos30°sin60°=______。

3.一個袋中有5個紅球和3個白球，從中隨機取出2個球，取出兩個球都是紅球的概率是______。

4.在等差數(shù)列{a?}中，已知a?=10，a??=31，則該數(shù)列的公差d等于______。

5.不等式|x-1|<2的解集是______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=(x+2)(x-3)。求函數(shù)f(x)的圖像與x軸、y軸的交點坐標，并畫出函數(shù)的簡圖。

2.解方程：2cos2θ-3sinθ+1=0（0°≤θ<360°）。

3.一個盒子里有10個零件，其中3個是次品，現(xiàn)從中隨機抽取3個，求至少抽到1個次品的概率。

4.在△ABC中，角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c。已知a=5，b=7，c=8，求角B的正弦值sinB。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?=n2+2n。求這個數(shù)列的通項公式a?。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及詳解

1.B

解：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，需滿足x-1>0，解得x>1。故定義域為(1,+∞)。

2.A

解：由sinα=1/2，且α在第二象限，知α=150°或α=3π/2+2kπ(k∈Z)。cos150°=cos(180°-30°)=-cos30°=-√3/2。

3.B

解：P(恰好出現(xiàn)兩次正面)=C(3,2)×(1/2)2×(1/2)1=3×1/4×1/2=3/8。

4.D

解：由等差數(shù)列通項公式a?=a?+(n-1)d，得a?=2+(5-1)×3=2+12=14。

5.B

解：函數(shù)f(x)=x2-4x+3可化為f(x)=(x-2)2-1。圖像為拋物線，對稱軸為x=2。

6.A

解：由三角形內(nèi)角和定理，角C=180°-60°-45°=75°。

7.B

解：點P(x,2x+1)到原點O(0,0)的距離d=√(x2+(2x+1)2)=√(5x2+4x+1)=√[5(x+4/(10))2+1-42/5]=√[5(x+2/5)2+1/5]。當x=-2/5時，d取最小值√(1/5)=√5/5。

8.C

解：函數(shù)f(x)=ax2+bx+c圖像開口向上，需a>0。頂點在x軸上，需判別式Δ=b2-4ac=0。故正確選項為C。

9.A

解：由x2-3x+2>0，得(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2。即A=(-∞,1)∪(2,+∞)。由x-1<0，得B=(-∞,1)。則A∩B=(-∞,1)∩((-∞,1)∪(2,+∞))=(-∞,1)。

10.B

解：直線3x+4y-12=0上到點(4,0)距離為2的點的軌跡是兩條平行線：3x+4y-12=±2?；喌?x+4y-10=0和3x+4y-14=0。這兩條直線與原直線3x+4y-12=0分別相交于兩點。故滿足條件的點的個數(shù)是2。

二、多項選擇題答案及詳解

1.ABD

解：f(x)=x3是奇函數(shù)，滿足f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)。f(x)=sinx是奇函數(shù)，滿足f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)。f(x)=x2+1是偶函數(shù)，不滿足奇函數(shù)定義。f(x)=tanx是奇函數(shù)，滿足f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)。

2.AB

解：由等比數(shù)列性質(zhì)，a?/a?=a?/a?=q3。q3=54/6=9，得q=2。故a?=a?q??1=a?(2)??1。若a?=6，則a?=6/q=6/2=3。此時a?=3×2??1=2??1×3=2^(n-1)×3。若a?=-6，則a?=-6/q=-6/(-2)=3。此時a?=3×(-2)??1=(-2)??1×3=-2^(n-1)×3。故A、B正確。若a?=6，則a?=6q2=6×4=24≠54。若a?=-6，則a?=-6q2=-6×4=-24≠54。故C、D錯誤。

3.BD

解：對于A，若a=3，b=-2，則a>b但a2=9<4=b2。故A錯誤。對于B，若a>b>0，則√a>√b。故B正確。對于C，若a2=b2，則a=±b。故C錯誤。對于D，若a>0，b<0，則|b|=-b>0。又a>0，故a>|b|。故D正確。

4.AC

解：函數(shù)f(x)=x2-mx+1的對稱軸為x=m/2。函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上是減函數(shù)，需滿足對稱軸x=m/2在區(qū)間(1,+∞)上，即m/2≥1，解得m≥2?；蛘撸琭(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，需其導數(shù)f'(x)=2x-m≤0對所有x∈(-1,1)成立。即m≥2x對所有x∈(-1,1)成立。當x=1時，m≥2。當x=-1時，m≥-2。故需同時滿足m≥2和m≥-2，即m≥2。故A、C正確。B中m≥2包含于m≥-2，但不是必要條件。D中m≥0不滿足m≥2。

5.ABD

解：由勾股定理，52+72=25+49=74≠82=64。故△ABC不是直角三角形，但計算錯誤，應為52+42=25+16=41≠32=9。重新計算：52+42=25+16=41≠32=9。再次檢查：a=3,b=4,c=5。32+42=9+16=25=52。故△ABC是直角三角形，角C為直角。直角三角形中，邊a=3，邊b=4，斜邊c=5。則cosA=鄰邊/斜邊=b/c=4/5。sinB=對邊/斜邊=a/c=3/5。tanC=對邊/鄰邊=a/b=3/4。故A、B、D正確。C計算sinB=3/5正確，但題目條件a=3,b=4,c=5是直角三角形。

三、填空題答案及詳解

1.a=1,b=3

解：函數(shù)f(x)=√(x-a)+√(b-x)有意義，需同時滿足x-a≥0和b-x≥0。即x≥a且x≤b。定義域為[a,b]。題目給出的定義域為[1,3]。故a=1，b=3。

2.1/2

解：sin30°cos60°+cos30°sin60°=(1/2)×(1/2)+(√3/2)×(√3/2)=1/4+3/4=1。

3.5/8

解：總共有C(8,2)=8×7/2=28種取法。取出兩個紅球有C(5,2)=5×4/2=10種取法。故概率為10/28=5/14。(修正：袋中共8個球，5紅3白。取出2個紅球概率為C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14。題目問“都是紅球的概率”，答案應為5/14。如果題目意圖是“至少有一個紅球的概率”，則1-P(全是白球)=1-C(3,2)/C(8,2)=1-3/28=25/28。但題目明確問“都是紅球”，答案應為5/14。這里按“都是紅球”計算。)(再修正：題目問“取出兩個球，都是紅球的概率”。方法一：C(5,2)/C(8,2)=10/28=5/14。方法二：第一次取紅球概率5/8，第二次取紅球概率4/7。P=(5/8)×(4/7)=20/56=5/14。故答案為5/14。)

4.3

解：由等差數(shù)列通項公式a?=a?+(n-1)d。得a?=a?+4d=10①，a??=a?+9d=31②。將①式乘以2減去②式，得(2a?+8d)-(a?+9d)=20-31，即a?-d=-11。將此式代入①式，得-11+5d=10，解得d=21/5。(修正：重新計算a?-d=-11，代入①式-11+5d=10，解得5d=21，d=21/5。此結(jié)果與選項不符，說明題目數(shù)據(jù)或參考答案可能有誤。若按題目數(shù)據(jù)a?=10,a??=31，則d=21/5。若題目要求整數(shù)解，可能題目數(shù)據(jù)有誤。若按整數(shù)解要求，需調(diào)整數(shù)據(jù)使d為整數(shù)。)(再修正：根據(jù)a?=10,a??=31，計算d=(31-10)/(9-4)=21/5。若題目要求整數(shù)，可能題目本身有誤。若必須給出整數(shù)解，可假設題目數(shù)據(jù)有誤差，或題目要求近似值。但按嚴格計算，d=21/5。)

5.(-1,2)

解：由|x-1|<2，得-2<x-1<2。解得-1<x<3。故解集為(-1,3)。

四、計算題答案及詳解

1.解：令f(x)=0，得(x+2)(x-3)=0。解得x?=-2，x?=3。故函數(shù)圖像與x軸交點為(-2,0)和(3,0)。令x=0，得f(0)=(0+2)(0-3)=-6。故函數(shù)圖像與y軸交點為(0,-6)。簡圖如下（坐標軸上未標明單位長度）：

y

|

|*

|/

|/

|/

-6--*----*---x

|/\

|/\

|/\

|/\

+---------+

-23

2.解：原方程為2cos2θ-3sinθ+1=0。由sin2θ+cos2θ=1，得cos2θ=1-sin2θ。代入原方程，得2(1-sin2θ)-3sinθ+1=0，即-2sin2θ-3sinθ+3=0。整理得2sin2θ+3sinθ-3=0。令t=sinθ，得2t2+3t-3=0。解得t=(-3±√(9+24))/4=(-3±√33)/4。

由于0°≤θ<360°，故sinθ∈[-1,1]。計算t?=(-3+√33)/4≈0.288，t?=(-3-√33)/4≈-2.288。t?不在[-1,1]范圍內(nèi)，舍去。故sinθ=(-3+√33)/4。

當sinθ=(-3+√33)/4時，θ=arcsin[(-3+√33)/4]或θ=180°-arcsin[(-3+√33)/4]。計算得θ≈16.7°或θ≈163.3°。

3.解：方法一：P(至少抽到1個次品)=1-P(全是正品)。袋中有10個零件，3個次品，7個正品。從中抽取3個全是正品的概率為C(7,3)/C(10,3)=(7×6×5)/(10×9×8)=7×5/12×8=35/120=7/24。故至少抽到1個次品的概率為1-7/24=17/24。

方法二：P(至少抽到1個次品)=P(抽到1個次品)+P(抽到2個次品)+P(抽到3個次品)。

P(抽到1個次品)=C(3,1)×C(7,2)/C(10,3)=3×(7×6)/(10×9×8)=3×7/12×8=21/80。

P(抽到2個次品)=C(3,2)×C(7,1)/C(10,3)=3×7/(10×9×8/2)=3×7/10×9×4=21/120。

P(抽到3個次品)=C(3,3)×C(7,0)/C(10,3)=1×1/(10×9×8/6)=1/120。

總概率=21/80+21/120+1/120=63/240+21/240+2/240=86/240=43/120。(計算錯誤，方法二重新計算)

P(至少1次品)=1-7/24=17/24。方法二驗證：P(1次品)+P(2次品)+P(3次品)=C(3,1)C(7,2)/C(10,3)+C(3,2)C(7,1)/C(10,3)+C(3,3)C(7,0)/C(10,3)

=[3*(7*6)/(10*9*8/2)]+[3*(7)/(10*9*8/2)]+[1*(1)/(10*9*8/6)]

=[3*21/(10*9*4)]+[3*7/(10*9*4)]+[1/(10*3*4)]

=63/(10*9*4)+21/(10*9*4)+1/(10*9*4)

=(63+21+1)/(10*9*4)=85/(10*9*4)=85/(360)=17/(72)。(再次錯誤，方法二復雜且易錯，方法一更優(yōu)。)

正確方法一：1-7/24=17/24。

4.解：由勾股定理，52+42=25+16=41≠82=64。計算錯誤。應為52+32=25+9=34≠42=16。再次檢查：a=3,b=4,c=5。32+42=9+16=25=52。故△ABC是直角三角形，角C為直角。直角三角形中，邊a=3，邊b=4，斜邊c=5。則cosB=鄰邊/斜邊=a/c=3/5。sinB=對邊/斜邊=b/c=4/5。(修正：題目給定a=3,b=4,c=5，是直角三角形，直角在C。)

正確計算：sinB=對邊/斜邊=b/c=4/5。

5.解：由數(shù)列前n項和公式S?=n2+2n。當n=1時，a?=S?=12+2×1=3。

當n≥2時，a?=S?-S???=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]

=n2+2n-(n2-2n+1)-(2n-2)

=n2+2n-n2+2n-1-2n+2

=2n+1。

驗證n=1時，a?=2×1+1=3，與S?計算結(jié)果一致。

故數(shù)列的通項公式為a?=2n+1。

試卷所涵蓋的理論基礎部分的知識點分類和總結(jié)：

本試卷主要涵蓋了高二數(shù)學上學期的核心內(nèi)容，主要分為以下幾大知識板塊：

1.**函數(shù)與導數(shù)初步（或稱函數(shù)與方程、不等式）：**

*函數(shù)概念與性質(zhì)：定義域、值域的求解（特別是含根號、分母不為0、絕對值、對數(shù)等的），奇偶性判斷與證明，單調(diào)性（利用圖像或?qū)?shù)初步概念判斷），對稱軸（二次函數(shù)），周期性（三角函數(shù)）。

*函數(shù)圖像：與坐標軸交點，變換（平移、伸縮）。

*方程根的分布：利用函數(shù)性質(zhì)判斷根的存在性與個數(shù)，韋達定理。

*不等式求解：含絕對值不等式，分式不等式，一元二次不等式，含參數(shù)不等式解集的討論。

2.**三角函數(shù)：**

*任意角概念與弧度制。

*三角函數(shù)定義：在單位圓上的定義，各象限符號。

*三角函數(shù)基本關系式：同角關系（平方關系、商數(shù)關系），誘導公式。

*三角函數(shù)圖像與性質(zhì)：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像，周期性，單調(diào)性，奇偶性，最值。

*解三角形：正弦定理，余弦定理，面積公式，解三角形的應用。

*三角恒等變換：和差角公式，倍角公式，半角公式，積化和差與和差化積公式（本試卷未涉及）。

3.**數(shù)列：**

*數(shù)列概念：通項公式a?與前n項和S?的關系（a?=S?-S???，n≥2，需驗證n=1），數(shù)列的分類（有窮/無窮，等差/等比）。

*等差數(shù)列：通項公式，前n項和公式，性質(zhì)（項與項關系，對稱性等）。

*等比數(shù)列：通項公式，前n項和公式（首項為0或公比為1需單獨討論），性質(zhì)（項與項關系，對稱性等）。

*數(shù)列求和：公式法，錯位相減法（適用于等差乘以等比），裂項相消法（本試卷未涉及）。

4.**概率統(tǒng)計初步：**

*事件及其關系：必然事件、不可能事件、隨機事件，互斥事件，對立事件。

*概率計算：古典概型（等可能性事件），幾何概型（本試卷未涉及）。

*隨機事件的概率：基本事件空間，事件發(fā)生的頻率與概率的關系，互斥事件的概率加法公式，對立事件的概率計算（P(A)=1-P(?A)）。

各題型所考察學生的知識點詳解及示例：

1.**選擇題：**主要考察學生對基本概念、性質(zhì)、定理的掌握程度和靈活運用能力。題目通常覆蓋面廣，綜合性較強，需要學生具備扎實的基礎知識和一定的計算、推理能力。例如，考察定義域需掌握各部分函數(shù)的定義條件；考察奇偶性需熟練運用奇偶性定義；考察數(shù)列通項需靈活運用通項公式及關系式；考察概率需判斷事件類型并選擇合適公式。

*示例：題目“若sinα=1/2，且α是第二象限的角，則cosα的值為？”考察了三角函數(shù)基本關系式中的同角商數(shù)關系sinα/tanα=cosα以及三角函數(shù)在各個象限的符號。學生需先確定cosα的正負（第二象限cosα<0），再利用sin2α+cos2α=1求出|cosα|=√(1-sin2α)=√(1-(1/2)2)=√3/2，結(jié)合符號得cosα=-√3/2。

2.