【課標(biāo)解讀】 三角形綜合問題是指針對(duì)三角形的知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性的考查，特別是等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形的性質(zhì)應(yīng)用，及其與三角形相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)之間的綜合考查。【解題策略】從具體問題入手→探索三角形知識(shí)點(diǎn)→綜合各點(diǎn)聯(lián)系→綜合把握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系→綜合應(yīng)用并解決問題【考點(diǎn)深剖】★考點(diǎn)一關(guān)于圖形全等的綜合問題本類題大都含有基本圖形“燕子圖”，在條件給足的背景下，兩個(gè)三角形是全等的，從圖形變換條件，兩個(gè)三角形關(guān)于過公共頂點(diǎn)的一條豎直直線對(duì)稱．歸納幾何基本圖形，然后對(duì)基本圖形進(jìn)行變式與拓展，是學(xué)習(xí)幾何圖形相關(guān)知識(shí)的重要手段．如：①旋轉(zhuǎn)模型②三垂直模型,,③一線三等角模型,,易錯(cuò)提示)已知兩邊及一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形，不全等，即“SSA”得不到兩個(gè)三角形全等．【典例1】如圖1所示，A、E、F、C在同一直線上，AF=CE，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．（1）試說(shuō)明ME=MF；（2）若將E、F兩點(diǎn)移至如圖2中的位置，其余條件不變，上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由DE⊥AC，BF⊥AC得到∠AFB=90°，∠DEC=90°，可根據(jù)“HL”證明Rt△ABF≌Rt△CDE，則BF=DE，然后根據(jù)“ASA”可證明△BFM≌△DEM，根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到ME=MF；（2）上述結(jié)論仍然成立．證明的方法與（1）一樣．∵在△BFM和△DEM中，，∴△BFM≌△DEM（AAS），∴ME=MF；（2）解：上述結(jié)論仍然成立．理由如下：與（1）一樣可證得Rt△ABF≌Rt△CDE得到BF=DE，與（2）一樣可證得△BFM≌△DEM，所以ME=MF．★考點(diǎn)二關(guān)于圖形變換的綜合問題【典例2】（2018·湖北江漢·10分）問題：如圖①，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為BC=DC+EC；探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，證明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．（2）BD2+CD2=2AD2，理由如下：連接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B，∴∠DCE=90°，∴CE2+CD2=ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，∴BD2+CD2=2AD2；（3）作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE=9，∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，∴∠EDC=90°，∴DE==6，∵∠DAE=90°，∴AD=AE=DE=6．★考點(diǎn)三關(guān)于條件探究的綜合問題【典例3】如圖22－2，下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是()A．BD＝DC，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CDC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝DC★考點(diǎn)四關(guān)于結(jié)論探究的綜合條件思維定式是條件改變，結(jié)論必須改變，但有些條件改變了，但全等的關(guān)系仍然存在，導(dǎo)致結(jié)論不變.1．全等三角形是證明兩條線段相等或垂直常用的方法．2．變化題目中某些條件，結(jié)論是否成立，關(guān)鍵是得到結(jié)論的核心是否仍然存在，比如：兩個(gè)三角形是否仍然全等或相似．【典例4】(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試探究AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，證明你的結(jié)論；(2)如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，證明你的結(jié)論．(2)AB＝AC＋CF.證明：延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC.∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠FAG.∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G.∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.∴AB＝CG＝AF＋CF.★考點(diǎn)五關(guān)于圖形相似的綜合問題【典例5】（2018?岳陽(yáng)）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD為∠ACB的平分線，將∠ACB沿CD所在的直線對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，連結(jié)AB'，BB'，延長(zhǎng)CD交BB'于點(diǎn)E，設(shè)∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如圖1，若AB=AC，求證：CD=2BE；（2）如圖2，若AB≠AC，試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）；（3）如圖3，將（2）中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（α+45°），得到線段FC，連結(jié)EF交BC于點(diǎn)O，設(shè)△COE的面積為S1，△COF的面積為S2，求（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）如圖1中，∵B、B′關(guān)于EC對(duì)稱，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如圖2中，結(jié)論：CD=2?BE?tan2α．（3）如圖3中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC平分∠ACB，∴∠ECB=（90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴===sin（45°﹣α），∵=，∴=sin（45°﹣α）．【講透練活】變式1：(2018·河北T23·9分)如圖，∠A＝∠B＝50°，P為AB中點(diǎn)，點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn)，連接AP，并使MP的延長(zhǎng)線交射線BD于點(diǎn)N，設(shè)∠BPN＝α.(1)求證：△APM≌△BPN；(2)當(dāng)MN＝2BN時(shí)，求α的度數(shù)；(3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出α的取值范圍．變式2：已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分別為D，E.(1)如圖1，①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是CD＝BE；②請(qǐng)寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(2)如圖2，上述結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請(qǐng)直接寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．(2)②中的結(jié)論不成立．結(jié)論：DE＝AD＋BE.理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠B＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBE(AAS)．∴AD＝CE，CD＝BE.∵DE＝CD＋CE＝BE＋AD，∴DE＝AD＋BE.變式3：（2018?萊蕪?9分）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D.E分別是AB.AC的中點(diǎn)，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，連接BD′、CE′，如圖1．（1）求證：BD′=CE'；（2）如圖2，當(dāng)α=60°時(shí)，設(shè)AB與D′E′交于點(diǎn)F，求的值．【解答】解：（1）證明：∵AB=AC，D.E分別是AB.AC的中點(diǎn)，∴AD=BD=AE=EC．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠DAD′=∠EAE′=α，AD′=AD，AE′=AE．∴AD′=AE′，∴△BD′A≌△CE′A，∴BD′=CE′．（2）連接DD′．∵∠DAD′=60°，AD=AD′，∴△ADD′是等邊三角形．∴∠ADD′=∠AD′D=60°，DD′=DA=DB．∴∠DBD′=∠DD′B=30°，∴∠BD′A=90°．∵∠D′AE′=90°，∴∠BAE′=30°，∴∠BAE′=∠ABD′，又∵∠BFD′=∠AFE′，∴△BFD′∽△AFE′，∴．∵在Rt△ABD′中，tan∠BAD′==，∴=．變式4：（2017?樂山）在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對(duì)角線AC平分∠BAD．（1）如圖1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，試探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B=90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，若∠DAB=90°，探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）AC=AD+AB．理由如下：如圖1中，在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴，同理．∴AC=AD+AB．（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，（3）結(jié)論：．理由如下：過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，變式5：（2018?廣東）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如題圖1，連接BC．（1）填空：∠OBC=°；（2）如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長(zhǎng)度；（3）如圖2，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=60°．故答案為60．（2）如圖1中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=OB=2，AB=OA=2，∴S△AOC=?OA?AB=×2×2=2，∵△BOC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，∴AC==2，∴OP===．（3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E．則NE=ON?sin60°=x，②當(dāng)＜x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)．作MH⊥OB于H．則BM=8﹣1.5x，MH=BM?sin60°=（8﹣1.5x），∴y=×ON×MH=﹣x2+2x．當(dāng)x=時(shí)，y取最大值，y＜，③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y=?MN?OG=12﹣x，當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值=2，綜上所述，y有最大值，最大值為．變式6：（2017浙江義烏）已知△ABC，AB=AC，D為直線BC上一點(diǎn)，E為直線AC上一點(diǎn)，AD=AE，設(shè)∠BAD=α，∠CDE=β．（1）如圖，若點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在線段AC上．①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=°，β=°，②求α，β之間的關(guān)系式．（2）是否存在不同于以上②中的α，β之間的關(guān)系式？若存在，求出這個(gè)關(guān)系式（求出一個(gè)即可）；若不存在，說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】KY：三角形綜合題．【解答】解：（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°，∴∠BAC=60°，∵AD=AE，∠ADE=70°，∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，故答案為：20，10；②設(shè)∠ABC=x，∠AED=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β；

一、選擇題（10×3=30分）1.如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有 (C)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【解析】要使△ABP與△ABC全等，點(diǎn)P到AB的距離應(yīng)該等于點(diǎn)C到AB的距離，即3個(gè)單位長(zhǎng)度，故點(diǎn)P的位置可以是P1，P3，P4三個(gè)．2.如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件，使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能為()A．BE＝DFB．BF＝DEC．AE＝CFD．∠1＝∠23.（2018·廣西梧州·3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′與△ABC關(guān)于直線EF對(duì)稱，∠CAF=10°，連接BB′，則∠ABB′的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出△BAC≌△B′AC′，進(jìn)而結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出答案．4.（2018·遼寧大連·3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到△EBD，若點(diǎn)A恰好在ED的延長(zhǎng)線上，則∠CAD的度數(shù)為（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α解：由題意可得：∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α．故選C．5.（2018?聊城）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．6.（2017?營(yíng)口）如圖，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，則下列結(jié)論不正確的是（）A．∠ECD=112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30° D．AB=QUOTECD【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理；KH：等腰三角形的性質(zhì)．.【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD=45°，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，從而判斷A正確；根據(jù)三角形的中位線定理得到FE=QUOTEAB，F(xiàn)E∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到FD=QUOTEAC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代換得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，進(jìn)而判斷B正確；由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，從而判斷C錯(cuò)誤；在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=QUOTECD，又AB=AC，等量代換得到AB=QUOTECD，從而判斷D正確．∵F是AC的中點(diǎn)，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=QUOTEAC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，∴∠FDE=∠FED=QUOTE（180°﹣∠EFD）=QUOTE（180°﹣135°）=22.5°，∴∠FDE=QUOTE∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正確，不符合題意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C錯(cuò)誤，符合題意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=QUOTECD，∵AB=AC，∴AB=QUOTECD，故D正確，不符合題意．故選C．7.（2017山東濱州）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；KF：角平分線的性質(zhì)．【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．[來(lái)&源:%中國(guó)@教*育#出版網(wǎng)]在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，8.（2018?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E，連結(jié)BE．記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2（）A．若2AD＞AB，則3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，則3S1＜2S2C．若2AD＜AB，則3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，則3S1＜2S2【分析】根據(jù)題意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如圖，在△ABC中，DE∥BC，9.（2018?孝感）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點(diǎn)E，連CD分別交AE，AB于點(diǎn)F，G，過點(diǎn)A作AH⊥CD交BD于點(diǎn)H．則下列結(jié)論：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD=150°，據(jù)此可判斷；②求出∠AFP和∠FAG度數(shù)，從而得出∠AGF度數(shù)，據(jù)此可判斷；③證△ADF≌△BAH即可判斷；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得證；⑤設(shè)PF=x，則AF=2x、AP==x，設(shè)EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根據(jù)△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，據(jù)此得出EH=a，證△PAF∽△EAH得=，從而得出a與x的關(guān)系即可判斷．由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，則∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正確；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正確；在Rt△APF中，設(shè)PF=x，則AF=2x、AP==x，10.（2018?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P，M．對(duì)于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正確的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證；（2）通過等積式倒推可知，證明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正確∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP?MD=MA?ME所以②正確二、填空題（6×4=24分）.11.如圖22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是___(只需寫一個(gè)，不添加輔助線)．【解析】由已知AB＝BC，及公共邊BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已經(jīng)具備了兩個(gè)邊了，然后根據(jù)全等三角形的判定定理，應(yīng)該有兩種判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD.12.（2018·廣西賀州·3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接BB'，若∠A′B′B=20°，則∠A的度數(shù)是．13.（2018·重慶市B卷）（4.00分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜邊AB上的中線，將△BCD沿直線CD翻折至△ECD的位置，連接AE．若DE∥AC，計(jì)算AE的長(zhǎng)度等于．【分析】根據(jù)題意、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、翻折變化可以求得AE的長(zhǎng)．【解答】解：由題意可得，DE=DB=CD=AB，∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠DEC=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四邊形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=，∴AE=．14.（2018?綿陽(yáng)）如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點(diǎn)，則AB=．【分析】利用三角形中線定義得到BD=2，AE=，且可判定點(diǎn)O為△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代換得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把兩式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可計(jì)算出AB的長(zhǎng)．15.（2017廣西）如圖，點(diǎn)P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC=6，PA=8，PB=10，將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，連接AP'，則sin∠PAP'的值為．【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；KK：等邊三角形的性質(zhì)；T7：解直角三角形．【解答】解：連接PP′，如圖，∵線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′為等邊三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC為等邊三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠PAP′===．故答案為．16.（2016·浙江省湖州市·3分）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如圖2，在底邊BC上取一點(diǎn)D，連結(jié)AD，使得∠DAC=∠ACD．如圖3，將△ACD沿著AD所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連結(jié)BE，得到四邊形ABED．則BE的長(zhǎng)是.A．4B．C．3D．2【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；四點(diǎn)共圓；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】只要證明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解決問題．∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，三、解答題（共46分）.17.某產(chǎn)品的商標(biāo)如圖所示，O是線段AC，DB的交點(diǎn)，且AC＝BD，AB＝DC，嘉琪認(rèn)為圖中的兩個(gè)三角形全等，他的思考過程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.你認(rèn)為嘉琪的思考過程對(duì)嗎？如果正確，指出她用的是判別三角形全等的哪個(gè)條件；如果不正確，寫出你的思考過程．【點(diǎn)撥】判定兩個(gè)三角形是否滿足全等條件“SAS”．【解答】解：顯然嘉琪的思路是不正確的，因?yàn)橛梢阎獥l件不能直接得到這兩個(gè)三角形全等．可考慮連接BC，由SSS可先得△ABC和△DCB全等，由全等三角形的性質(zhì)，可得到∠A＝∠D，再根據(jù)∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，由AAS判斷得到△ABO≌△DCO.18.如圖1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，在AD左側(cè)作等腰直角△ADF，連接CF.(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(不與點(diǎn)B重合)，線段CF和BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)給予證明；(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并說(shuō)明理由．【點(diǎn)撥】可證明△ACF≌△ABD，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得CF＝BD，CF⊥BD.(2)(1)的結(jié)論仍然成立．∵∠CAB＝∠DAF＝90°，∴∠CAB＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠CAF＝∠BAD.在△ACF和△ABD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AB，,∠CAF＝∠BAD，,AF＝AD，))∴△ACF≌△ABD(SAS)．∴CF＝BD，∠ACF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°.∴∠BCF＝∠ACF＋∠ACB＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BD.綜上，CF＝BD，且CF⊥BD.19.（2016·山東濰坊）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°