36.突破爪型三角形的八大“妙手”爪型三角形是解三角形中非常重要的一種構(gòu)型，人教版教材中也多次出現(xiàn)相關(guān)例題，很多此處不再逐一列舉，教材必修二53頁到54頁中這樣的例子比比皆是.本節(jié)我將給出關(guān)于爪型三角形處理的一些重要手段，例如找補角，或者等面積思想，以及利用上述思想結(jié)合正余弦定理推出處理爪型三角形的一些重要結(jié)論：斯特瓦爾特定理，角平分線定理等.一．基本原理1.爪型三角形的幾何特征基本幾何特征:如圖，.例1．（2022全國甲卷）已知中，點在邊上，，，．當取得最小值時，．解析：設(shè)，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此時，當且僅當時，即時取等號，故答案為：．例2.（2021新高考1卷）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求解析：（1）由題設(shè)，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證.（2）由題意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，當時，不合題意；當時，；綜上，.2.中線公式與向量方法若已知頂角的大小，且時，可利用向量共線的基本結(jié)論求得.例3（廣州市2023屆高三一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線的長.解析：（1）因為，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因為為邊上的中線，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為：.例4．（湖北省七市（州）2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）設(shè)，若點M是邊上一點，，且，求的面積．【詳解】（1）．（2）如圖所示：因為，所以，．又，所以．在中，由余弦定理得，即．①又，所以，兩邊平方得，即，所以．②，②－①得，所以，代入①得，在中，，所以是以為直角的三角形，所以的面積為．3.為角平分線：角平分線定理如圖，可設(shè)，這樣可得.另一方面，設(shè)的高為，則，聯(lián)立上面兩式可得：，即角平分線性質(zhì)定理.例5.（2015全國2卷）中，是上的點，平分，面積是面積的倍．（1）求；（2）若=1，=求和的長.解析：（1），因為，，所以，由正弦定理可得.（2）因為，所以，在和中，由余弦定理知，故，由（1）知，所以.4.斯特瓦爾特定理斯特瓦爾特定理：設(shè)為的邊上異于的任一點，則有.證明：由余弦定理，可得：①②，將上述兩式分別乘后相加整理，可得.注：可以看到，斯特瓦爾特定理的證明關(guān)鍵是利用爪型三角形中兩角互補，即：這個隱含條件，而這個條件是處理爪型三角形的一個重要技巧.推論1.當設(shè)為的邊中點時，.注：該結(jié)論還可由證得.推論2.當設(shè)為的角平分線時，.推論3.當設(shè)滿足時，.例6.記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求解析：（2）由斯特瓦特定理，得.由及，得.化簡變形，得.因為，所以.即.解得或.當時，.由余弦定理，得（不合題意，舍去）.當時，.由余弦定理，得.所以.5.張角定理在中，D是BC上的一點，連結(jié)AD，那么.證明：因為，由三角形面積公式可得兩邊同除，得到例7（2018年江蘇卷）在中，角的對邊分別為，，的平分線交于點，且，則的最小值為________.解由張角定理有，即，整理得.所以.當且僅當，即時取得最小值.6.等面積思想.設(shè)為的平分線，則設(shè)，那么有等面積可得：，進一步可得：，于是可以看到，倘若我們知道角與角平分線的長度，則可得到的轉(zhuǎn)化關(guān)系，配合均值不等式就可得到一些范圍問題.例8.（2022成都一診）在中，已知角，角A的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2.則AB+2AC的最小值為___________.解析：，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡得，，.當且僅當，時等號成立.故答案為：例9（江蘇省南通市2023屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研測試）在中，的對邊分別為.（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點，求長度的取值范圍.解析：（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，則.設(shè)，，，，.例10.（2021新高考1卷）在中，，點在邊上，.證明：；若，求.解析：（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．方法2.（等面積思想）（2）如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，又，所以，則．7.三角形相似如圖，在三角形中，已知角的大小，為邊上一點.那么我們可利用初中的相似三角形來求解一些這種條件下的爪型三角形問題，簡直妙！如下圖，過點做的平行線交延長線于，則，且由平行的性質(zhì)可知：，于是，已知角的大小即可得的大小，倘若我們進一步指導(dǎo)的長度，以及點為邊上的具體位置，那么在中可以解決很多問題，下面通過例題來分析.例11.（2022成都一診）在中，已知角，角的平分線與邊相交于，，則的最小值為________.解析：如上圖，由于，故由可得，再加之為角的平分線，則，于是為等邊，則，最后由于，可得：.由于，等號成立當且僅當.注：用輔助線加相似的方法來做這些題目非常容易，比起向量法簡單的多.前面的例題讀者也可嘗試能否用幾何方法思考，此處不再贅述.8.坐標法例12.記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.解析：以D