34.解三角形中常見幾何構(gòu)型一．基本原理1.正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有，(為的外接圓的半徑).2.正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；④.3.余弦定理：在中，有，推論：；變形：.4.解三角形中，用正（余）弦定理主要解決以下類型：（1）知道兩邊及其一邊所對角，正弦定理解另一角，再用內(nèi)角和定理解最后那個(gè)角，然后正弦（余弦）解最后那個(gè)邊，且需注意以下情形的討論：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解（2）知道兩邊及其夾角，余弦定理解第三邊后再用正弦定理解角；（3）知道兩角一邊，先內(nèi)角和定理解第三個(gè)角，再正弦定理逐次解邊.5.三角形面積公式：．6.解三角形所涉及的其它知識(shí)（1）三角形內(nèi)角和定理（2）三角形邊角不等關(guān)系：.7.誘導(dǎo)公式在中的應(yīng)用（1）；（2）8.對邊對角結(jié)構(gòu)：由余弦定理：變式可得：此公式在已知的情況下，可得到和的等式，配合均值不等式，這樣就可實(shí)現(xiàn)周長或者面積的最值.在中,設(shè).由余弦定理知 所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立).因此,即 又因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,所以即,故,從而,即 下面兩個(gè)結(jié)論可做了解，并非一定熟記，但有意識(shí)的話會(huì)有助于做題9.正余弦平方差公式，.10.射影定理：在中，11.爪型三角形（1）.爪型三角形的基本幾何特征:如圖，.（2）若已知頂角的大小，且時(shí)，若線段長度已知，可利用向量共線的基本結(jié)論求得，此時(shí)，根據(jù)向量共線的基本結(jié)論：，再平方即可的到一組有用的關(guān)系，特別地，若，得到中線公式.（3）.等面積思想.設(shè)為的平分線，則設(shè)，那么有等面積可得：，進(jìn)一步可得：，于是可以看到，倘若我們知道角與角平分線的長度，則可得到的轉(zhuǎn)化關(guān)系二．考情研究★考情1.關(guān)注解三角形中的恒等變換與邊角轉(zhuǎn)換例1.(2022新高考全國II卷)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求面積；（2）若，求b．解析：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，．★考情2.爪型三角形中的幾何特征例2.（23新高考2）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點(diǎn)，且．（1）若，求；（2）若，求．解析：（1）在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，

則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.（2）方法1：（雙余弦）在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：（中線的向量表達(dá)）在中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.．故答案為：．★考情3.對邊對角問題例3.（2020全國2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2）方法1：（化邊配均值不等式），即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），周長，周長的最大值為.方法2.（化角用三角函數(shù)求范圍）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．此時(shí)周長的最大值為．例4.（2024新課標(biāo)全國2卷）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長．解析：（1）方法1（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法2（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為★考情4.解三角形中的范圍問題方法1.消角構(gòu)造三角函數(shù)例5.（2020浙江卷）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解析：（1）由結(jié)合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.在正弦定理中：此時(shí)，我們并非一定需要對邊對角，實(shí)際上，只要知道任意一邊和一角，即可結(jié)合內(nèi)角和定理得到一組邊角定量關(guān)系，下面我通過例題予以分析.例6.（2019全國3卷）的內(nèi)角對邊為，.（1）.求角的值；（2）.若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．解析：（1）根據(jù)題意，由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得．，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?（2）因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是在這一部分中，我們經(jīng)常會(huì)看到諸如：等結(jié)構(gòu)，這種類型當(dāng)然還可利用正弦定理轉(zhuǎn)化為純角結(jié)構(gòu)，所以，我們只需要做的就是消元，把三個(gè)角消成一個(gè)角，或用均值不等式，或用一元函數(shù)處理.例7.（2022新高考1卷）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．解析：（1）由已知條件得：所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，．2）由（1）知，則，，，由正弦定理當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為．方法2.齊二次結(jié)構(gòu)與余弦定理求最值余弦定理的最大特色就是齊次分式結(jié)構(gòu)，同時(shí)，在上的嚴(yán)格單調(diào)性保證了我們可以利用余弦函數(shù)的最值來找到角的最值.若，倘若再能找到這樣一個(gè)約束條件，代入余弦定理消掉，即可得到一個(gè)均值結(jié)構(gòu)，利用均值不等式即可求得最值，下面通過例題予以分析.例8.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求的值：（2）求的最大值．解析：（1）由余弦定理可得，代入，得到，化簡得，即.由正弦定理可得，即，展開得，即，所以．（2）由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立．因?yàn)?，所以，所以的最大值?三．對點(diǎn)訓(xùn)練與考情預(yù)測1．在中，，，，則（

）A． B．4 C． D．解析：，，，所以，解得，，因?yàn)椋裕?故選：C.2．在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．解析：由余弦定理可得：，由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)椋?，進(jìn)而可得因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以又因?yàn)?，所以角A的最大值為4.（2017全國新課標(biāo)2卷）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，則_______.解析：解法1：，即，因?yàn)?，所以，故，?解法2：由射影定理，，故，結(jié)合知.5．（2025年四川成都二模）在中，角的對邊分別是，已知.（1）求；（2）若，且的周長為，求.解析：（1）在中，由及正弦定理得，而，則，又，所以或.（2）由的周長為，，得，在中，由余弦定理得，即，則，當(dāng)時(shí)，，于是，，此方程無解；當(dāng)時(shí)，，于是，解得或，所以當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，或.8．（2025年江西南昌一模）在中，角的對邊成公差為2的等差數(shù)列．（1）若為銳角三角形，求a的取值范圍；（2）若，求的面積．解析：（1）∵是公差為2的等差數(shù)列，∴，由三角形三邊關(guān)系得，，∴，又∵為銳角三角形，∴最大角，∴，即，∴，即，解得或，∴.（2）∵，∴由正弦定理可得，∴，解得，則，∴，∴，∴．7．（2025年湖北七市州高三聯(lián)考）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），，求的取值范圍.解析：（1）在中，因?yàn)?，所以，得到，?jù)正弦定理可得，則，由余弦定理得，因?yàn)椋?（2）在中，因?yàn)椋?，則，由正弦定理得，則，又因?yàn)?，所以，則，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得，故的取值范圍為.5．（2025年廣東一模）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）證明：；（2）若的面積為，求．解析：（1）根據(jù)正弦定理設(shè)，則，代入，得，即，整理得，由，得，所以；（2）由面積公式得，由正弦定理得，整理得，由，得，由（1）得，由平方關(guān)系得解得或因?yàn)椋裕?/p>