戴氏教育名校沖刺教育中心【相信自己，每一天的點點改變，都是你的成長和蛻變?！颗帕信c排列數(shù)“排列”的定義包含兩個基本內(nèi)容：一是“取出元素；二是“按一定的書序排列。“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)”，它是所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)值?；颍ㄆ渲衜≤nm,nZ）例．下列各式中與排列數(shù)相等的是（）（A）（B）n(n－1)(n－2)……(n－m)（C）（D）例．若S=，則S的個位數(shù)字是（）（A）0（B）3（C）5（D）8組合與組合數(shù)“一個組合”是指“從n個不同元素中取出m個元素合成一組”，它是一件事情，不是一個數(shù)；（隱含n≥m）“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)值?；竟剑夯蚪M合數(shù)公式具有的兩個性質(zhì)：（1）（3）（由二項式定理知）式（1）說明從n個不同元素中取出m個元素，與從n個不同元素中取出n-m個元素是一一對應(yīng)關(guān)系，即“取出的”與“留下的”是一一對應(yīng)關(guān)系；式（2）說明從a，b，c……（n+1個元素）中取出m個元素的組合數(shù)可以分為兩類：第一類含某個有元素（），第二類不含這個元素（）。例．求值:(1);(2)例．有11名外語翻譯人員，其中5名英語翻譯員，6名日語翻譯員，從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作，問這樣的分配名單共可開出幾張?排列與組合的綜合應(yīng)用1.分組（堆）問題分組（堆）問題的六個模型：①無序不等分；②無序等分；③無序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)處理問題的原則：①若干個不同的元素“等分”為ｍ個堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m!②若干個不同的元素局部“等分”有ｍ個均等堆,要將選取出每一個堆的組合數(shù)的乘積除以m!③非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積.④要明確堆的順序時，必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個數(shù)作全排列.例有四項不同的工程，要發(fā)包給三個工程隊，要求每個工程隊至少要得到一項工程.共有多少種不同的發(fā)包方式？變式：12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有多少種？2.插空法：解決一些不相鄰問題時，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.（幾個元素不能相鄰時,先排一般元素，再讓特殊元素插孔。）♀♀♀♀♀↑↑↑↑↑↑例2.7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？變式：8人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相鄰，有多少種不同的排法？3.捆綁法相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個”元素，然后再進行整體排列.幾個元素必須相鄰時,先捆綁成一個元素，再與其它的進行排列例3.6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法?變式：五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有多少種？4.消序法(留空法)幾個元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個元素的順序.或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.例4.5個人站成一排，甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法？變式：由數(shù)字0、1、2、3、4、5、組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）個。（A）210（Ｂ）300（C）464（D）6005.剪截法（隔板法）：n個相同小球放入m(m≤n)個盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法等價于n個相同小球串成一串從間隙里選m-1個結(jié)點剪截成m段.例某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班,每班至少一個名額,則不同的分配方案共有___種.變式：某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個選手名額分配到高三年級的1-4個教學(xué)班,每班的名額不少于該班的序號數(shù),則不同的分配方案共有___種變式：求方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個數(shù)。(求方程x+y+z=10的非負整數(shù)解的個數(shù)。)6.錯位法：編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里,每個盒子放一個小球.要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列.特別當(dāng)n=2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.例編號為1至6的6個小球放入編號為1至6的6個盒子里,每個盒子放一個小球,其中恰有2個小球與盒子的編號相同的放法有____種.7.剔除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時，要注意使用相關(guān)知識對答案進行取舍.例從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線有_________條.8..可重排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個不同元素排在個不同位置的排列數(shù)有種方法.例.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？變式：5名運動員爭奪3個項目的冠軍（沒有并列），所以可能的結(jié)果有多少種？練習(xí)：已知，那么n的值是（）2、從5名男生中挑選3人，4名女生中挑選2人，組成一個小組，不同的挑選方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種3、把5件不同的商品在貨架上排成一排，其中a，b兩種必須排在一起，而c，d兩種不能排在一起，則不同排法共有（）（A）12種（B）20種（C）24種（D）48種4、一場晚會有5個唱歌節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單（1）前4個節(jié)目中要有舞蹈，有多少種排法？（2）3個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（3）3個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？5、三個女生和五個男生排成一排．（1）如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？（4）如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？（5）如果三個女生站在前排，五個男生站在后排，有多少種不同的排法？二項式定理注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與“各項系數(shù)”這兩個概念！展開式中的第r+1項公式：二項式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性：與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即。增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項的二項式第項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)第，項相等，且同時取得最大值。各二項式的系數(shù)和：Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；其中Cn0+C2n+…=Cn1+C3n+…=2n-1。例1設(shè)則中奇數(shù)的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5例2若(x+)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)，則展開式中x4項的系數(shù)為()(A)6 (B)7 (C)8 (D)