4.5.3用尺規(guī)作角第4章

幾何圖形初步【2025-2026學年】2024滬科版

數(shù)學

七年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********4.5.3用尺規(guī)作角匯報人：[教師姓名]匯報班級：[具體班級]知識回顧在前面對角的學習中，我們已經(jīng)掌握了角的定義、表示方法、度量與比較，以及補角和余角的相關(guān)知識。本節(jié)課我們將學習一種重要的幾何作圖方法——用尺規(guī)作角，即只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺來作出一個角等于已知角。這種作圖方法不依賴于度量工具，是幾何推理和作圖的基礎(chǔ)技能。學習目標了解尺規(guī)作圖的含義和基本工具（圓規(guī)、無刻度直尺）。掌握用尺規(guī)作一個角等于已知角的步驟，并能獨立完成作圖。理解作圖的原理，能結(jié)合圖形說明每一步操作的依據(jù)。培養(yǎng)動手操作能力和幾何推理能力，感受尺規(guī)作圖的嚴謹性和邏輯性。知識點：尺規(guī)作圖的基本概念定義尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺來完成的作圖方法。其中，直尺的作用是連接兩點或延長線段，圓規(guī)的作用是畫圓或圓弧，截取等長的線段。特點不使用度量工具，作圖的準確性依賴于圓規(guī)截取等長線段和直尺連接直線的規(guī)范性。每一步操作都有嚴格的幾何依據(jù)，體現(xiàn)了幾何的邏輯性和嚴謹性。知識點：用尺規(guī)作一個角等于已知角已知一個角∠AOB。求作一個角∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB。作圖步驟作射線O'A'：用直尺畫一條射線O'A'，作為要作的角的一邊。這是角的起始邊，相當于已知角∠AOB的邊OA。以點O為圓心，任意長為半徑畫?。河脠A規(guī)的針尖固定在已知角的頂點O處，選取一個適當?shù)拈L度作為半徑（半徑的長度可以任意，但在后續(xù)步驟中要保持一致），畫一條弧，分別交OA于點C，交OB于點D。依據(jù)：圓的定義（到定點的距離等于定長的點的集合），此時OC=OD（同圓的半徑相等）。以點O'為圓心，OC的長為半徑畫弧：保持圓規(guī)的半徑不變（即與步驟2中截取的OC長度相等），將圓規(guī)的針尖固定在射線O'A'的端點O'處，畫一條弧，交O'A'于點C'。依據(jù)：圓規(guī)截取等長線段，此時O'C'=OC=OD。以點C'為圓心，CD的長為半徑畫?。河脠A規(guī)量取已知角上弧CD的長度（即圓規(guī)的針尖固定在點C，筆尖調(diào)整到點D處），然后將圓規(guī)的針尖固定在點C'處，畫一條弧，與步驟3中所畫的弧交于點D'。依據(jù)：等長線段截取，此時C'D'=CD。過點D'作射線O'B'：用直尺連接點O'和點D'，并延長為射線O'B'。此時，∠A'O'B'即為所求作的角，且∠A'O'B'=∠AOB。作圖圖示已知角∠AOB：A/|/|/|CO|\|\|D\|B作圖過程：1.作射線O'A'：O'——A'2.以O為圓心畫弧交OA于C，交OB于D：A/|/|/|CO———|——D\|\|\|B3.以O'為圓心，OC為半徑畫弧交O'A'于C'：O'——C'——A'4.以C'為圓心，CD為半徑畫弧交前弧于D'：O'——C'——A'\\D'5.作射線O'B'：D'//O'——C'——A'\\B'最終∠A'O'B'=∠AOB作圖原理在△OCD和△O'C'D'中：OC=O'C'（步驟2和3中截取的半徑相等）CD=C'D'（步驟4中截取的弧長相等）OD=O'D'（步驟2和3中截取的半徑相等）根據(jù)“邊邊邊”（SSS）全等判定定理，△OCD≌△O'C'D'，因此對應角相等，即∠COD=∠C'O'D'，也就是∠AOB=∠A'O'B'。這就是用尺規(guī)作一個角等于已知角的理論依據(jù)。例題解析例1：已知∠α，用尺規(guī)作一個角，使它等于∠α的2倍。解：作法如下：作∠AOB=∠α（按上述用尺規(guī)作一個角等于已知角的步驟）。以點O為頂點，OB為一邊，在∠AOB的外部作∠BOC=∠α。則∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠α+∠α=2∠α，∠AOC即為所求作的角。例2：用尺規(guī)作圖，已知∠1和∠2，作一個角等于∠1+∠2。解：作法如下：作射線OA。以O為頂點，OA為一邊，作∠AOB=∠1。以O為頂點，OB為一邊，在∠AOB的外部作∠BOC=∠2。則∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠1+∠2，∠AOC即為所求作的角。小練習填空題：（1）尺規(guī)作圖的工具是______和______。（2）用尺規(guī)作一個角等于已知角時，第2步和第3步都要畫弧，其中第2步是以______為圓心，第3步是以______為圓心，且這兩步畫弧的半徑______。（3）用尺規(guī)作角的理論依據(jù)是全等三角形的______判定定理（SSS）。作圖題：（1）已知∠ABC，用尺規(guī)作一個角等于∠ABC。（2）已知∠α和∠β（∠α＞∠β），用尺規(guī)作一個角等于∠α-∠β。簡答題：（1）在“用尺規(guī)作一個角等于已知角”的步驟中，為什么要保證OC=O'C'，CD=C'D'，OD=O'D'？（2）用尺規(guī)作角與用量角器畫角有什么不同？思考討論除了作一個角等于已知角，你認為用尺規(guī)還能作出哪些特殊角？（如60°、30°

等）可以作出60°

角：因為等邊三角形的三個角都是60°，所以可以用尺規(guī)作一個等邊三角形，其中的一個角就是60°。具體步驟：作一條線段AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧，以B為圓心，AB為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接AC和BC，則∠CAB=60°。在此基礎(chǔ)上，可以作出30°

角（作60°

角的角平分線）、90°

角（作兩個60°

角的和減去30°

角，或利用等腰直角三角形）等。尺規(guī)作圖在幾何學習中的意義是什么？尺規(guī)作圖是幾何的基本技能之一，它不依賴于度量，能培養(yǎng)學生的動手操作能力和空間想象能力；每一步操作都有嚴格的幾何依據(jù)，有助于學生理解幾何概念和定理，培養(yǎng)邏輯推理能力；同時，尺規(guī)作圖體現(xiàn)了幾何的嚴謹性和邏輯性，是后續(xù)學習復雜幾何作圖和證明的基礎(chǔ)。課堂小結(jié)尺規(guī)作圖的定義：只用圓規(guī)和無刻度直尺進行的作圖，強調(diào)不依賴度量，注重操作的規(guī)范性和依據(jù)的邏輯性。用尺規(guī)作一個角等于已知角的步驟：作射線（起始邊）；已知角上畫?。ǘò霃剑脙牲c）；新作射線上畫?。ㄍ霃剑脤c）；截取等長?。ǘ硪稽c）；作射線（終邊）。作圖原理：通過構(gòu)造全等三角形（SSS），保證所作角與已知角相等。通過本節(jié)課的學習，我們掌握了用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法，理解了作圖的原理和每一步操作的依據(jù)。這種作圖方法是幾何學習中的重要工具，在后續(xù)學習角的和差、角平分線的作圖等內(nèi)容時會經(jīng)常用到，希望同學們勤加練習，熟練掌握。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解圖形的繪制，圖案的設計，時常需要畫線段和角.新課導入之前我們已經(jīng)學會了用尺規(guī)作線段，那我們這節(jié)課來學一下如何用尺規(guī)作角吧！新知探究知識點作一個角等于已知角例

3已知∠M，畫∠AOB，使得∠AOB=∠M.M解用量角器量得∠M=110°.畫∠AOB=110°，∠AOB即為符合題意的角.MOAB操作如圖，張開圓規(guī)，當圓規(guī)兩足末端的距離為a時，圓規(guī)的張角為∠α.將圓規(guī)閉合后重新張開，如何調(diào)整圓規(guī)使張角仍為∠α？調(diào)整圓規(guī)，使圓規(guī)兩足末端的距離為a

，這時圓規(guī)張角仍為∠α.基于上面的發(fā)現(xiàn)，尺規(guī)作圖作一個角等于已知角.已知：∠AOB.求作：∠DEF，使得∠DEF=∠AOB.AOB作法：（1）作射線EG.（2）在∠AOB上以點O

為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線OA和OB于點P，Q；（3）以點E為圓心，線段OP長為半徑畫弧，交射線EG于點D.AOBEGPQDAOBEGPQD（4）以點D

為圓心，線段PQ長為半徑畫弧，與（3）中所畫弧交于點F；（5）作射線EF.∠DEF即為所求作的角.F例

4

如圖，已知兩個角∠1和∠2（∠1＞∠2），求作這兩個角的和.12作法

作∠AOB=∠1，以O為頂點，OB為一邊在∠AOB外作∠BOC=∠2，那么∠AOC=∠1+∠2.12OABC121.如圖，已知∠α，用尺規(guī)作∠AOB=2∠α.練習α【教材P162練習第1題】解:如圖所示.作法:（1）作射線OD.（2）以∠α的頂點M為圓心,任意長為半徑畫弧,分別與∠α的兩邊交于點P,Q.（3）以點О為圓心,線段MP長為半徑畫弧,交射線OD于點A.（4）以點A為圓心,線段PQ長為半徑畫弧,與（3）中所畫弧交于點E.（5）以點E為圓心,線段PQ長為半徑畫弧,交（3）中所畫弧于點B（不在OD上）.（6）作射線OB.∠AOB=2∠α即為所求作的角.2.參考例4，作給定兩角的差.αβ【教材P162練習第2題】解：如圖所示.已知∠α，∠β,求作∠α-∠β.作法:①作∠AOC=∠α.②以點О為角的頂點,OC為一邊,在∠AOC的內(nèi)部作∠COB=∠β,則∠AOB=∠α-∠β即為所求作的角.1.如圖，利用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點О為圓心、適當長為半徑作弧①，分別交OA、OB于點E、F，那么作圖痕跡②的作法是（）A.以點F為圓心、OE長為半徑作弧B.以點F為圓心、EF長為半徑作弧C.以點E為圓心、OE長為半徑作弧D.以點E為圓心、EF長為半徑作弧隨堂練習D2.如圖①，以點B為頂點，射線BC為一邊，利用尺規(guī)作圖在∠CAD內(nèi)部作∠EBC，使∠EBC=∠A.解:如圖②，以點B為頂點，BC為一邊在∠CAD內(nèi)部作∠EBC=∠A.∠EBC即為所求作的角.3.如圖①，已知∠α，∠β，求作一個角使它等于2∠α-∠β（保留作圖痕跡，不寫作法）.解:如圖，∠AOC即為所求作的2∠α-∠β.1星題

基礎(chǔ)練知識點

利用尺規(guī)作一個角等于已知角1.如圖，作一個角等于已知角(尺規(guī)作圖)的正確順序是____________.