第05講等腰三角形（知識清單+10大題型+好題必刷）題型梳理題型梳理題型一等腰三角形的定義題型二等邊對等角題型三三線合一題型四等腰三角形的性質(zhì)和判定題型五等邊三角形的性質(zhì)題型六等邊三角形的判定題型七等邊三角形的判定和性質(zhì)題型八含30度角的直角三角形題型九斜邊的中線等于斜邊的一半題型十直角三角形的兩個銳角互余知識清單知識清單知識點1．等腰三角形定義和性質(zhì)1.等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．2.等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【簡稱：三線合一】知識點2．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．知識點3．等邊三角形的定義和性質(zhì)1.等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．2.等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的三條邊都相等；(2)等邊三角形的各角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)等邊三角形各邊上的高線、中線、所對的角平分線重合，且長度相等.知識點4．等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．知識點5．含30°角的直角三角形的性質(zhì)1.含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．2.此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．3注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能應用；②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．知識點6．直角三角形的性質(zhì)定理在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）題型方法題型方法【題型一】等腰三角形的定義【例1】如果等腰三角形的一個角是70°，那么它的底角是（）A．55° B．70°或40° C．40°或55° D．70°或55°【答案】D【知識點】等腰三角形的定義【分析】分已知角是底角與不是底角兩種情況，分別結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°求解即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個角等于70°，∴①當這個角是底角時，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是70°，②當這個是70°是頂角，設等腰三角形的底角是x°，則2x+70°＝180°，解可得，x＝55°，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是55°；∴該等腰三角形的底角為70°或55°．故選D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，靈活運用分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不對【答案】C【知識點】等腰三角形的定義【分析】分兩種情況討論：若腰長為4；若底邊長為4，即可求解．【詳解】解：若腰長為4，則底邊長為1044=2，綜上所述，另兩邊長分別為4，2或3，3．故選：C【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵．2．已知直角三角形△ABC的三條邊長分別為3，4，5，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫條．【答案】6【知識點】等腰三角形的定義【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB，AC為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：如圖所示：當BC2=CC2，AC1=AC，BC=BC3，BC=CC4，BC=CC5，C6A=C6B都能得到符合題意的等腰三角形．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定以及應用設計與作圖等知識，正確利用圖形分類討論得出是解題關(guān)鍵．(1)若腰長是底邊長的2倍，求這個等腰三角形各邊的長．【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、等腰三角形的定義【分析】本題考查一元一次方程的應用，等腰三角形的定義等知識，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【題型二】等邊對等角【例2】若等腰三角形的頂角為50°，則它的一個底角的度數(shù)為（）A．65°或50° B．50° C．65° D．75°【答案】C【知識點】等邊對等角【分析】等腰三角形中，給出了頂角為50°，可以結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理直接求出底角，答案可得．【詳解】解：∵三角形為等腰三角形，且頂角為50°，∴底角＝（180°?50°）÷2＝65°．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)；等腰三角形中只要知道一個角，就可求出另外兩個角，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．【舉一反三】【答案】/80度【知識點】等邊對等角、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【詳解】故答案為：．A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100°【答案】D【知識點】等邊對等角故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用等腰三角形的性質(zhì)及分類討論的思想求解，本題屬于中等題型．3．在等腰△ABC中，∠A＝40°，則∠B＝°．【答案】40°或70°或100°【知識點】等邊對等角【分析】本題要分兩種情況討論：當∠A=40°為頂角；當∠A=40°為底角時，則∠B為底角時或頂角．然后求出∠B．【詳解】分兩種情況討論：當∠A=40°為底角時，∠B為底角時∠B=∠A=40°；∠B為頂角時∠B=180°?∠A?∠C=180°?40°?40°=100°．故答案為：40°或70°或100°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，分情況討論問題.【題型三】三線合一【答案】(1)見詳解(2)見詳解【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)三線合一證明【舉一反三】

【答案】D【知識點】三線合一故A、B、C三項正確，D不正確．故選：D．A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【知識點】根據(jù)三角形中線求面積、三線合一【詳解】解：延長交于，故選：．A．8 B．3 C．6 D．4【答案】A【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、三線合一【詳解】解：連接，，∵是線段的垂直平分線，∴點關(guān)于直線的對稱點為點，故選：A．【題型四】等腰三角形的性質(zhì)和判定【答案】(1)見解析(2)【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形內(nèi)角和定理的應用、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)：【舉一反三】A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A.①∠1＝∠2；②AD＝BE，故該選項不符合題意；B.①∠1＝∠2，④DF＝EF，故該選項不符合題意；故該選項不符合題意；故選C．【答案】【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形的面積，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】此題是三角形的綜合題，主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解三角形的高，熟練掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，難點是正確地作出輔助線，構(gòu)造全等三角形．【題型五】等邊三角形的性質(zhì)A． B． C． D．【答案】B【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)【詳解】解：如圖，

…，故選：B．【舉一反三】A． B． C． D．【答案】A【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)∵點在上，故選：A．A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④【答案】A【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的性質(zhì)∴③正確；綜上，正確的有①②③⑤；故選：A．【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、等邊對等角、三角形的外角的定義及性質(zhì)【題型六】等邊三角形的判定【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定【舉一反三】A．7個 B．6個 C．5個 D．4個【答案】B【知識點】等邊三角形的判定、等腰三角形的定義綜上，符合條件的點D的個數(shù)有6個．故選：B．【知識點】三線合一、等邊三角形的判定∴垂直平分，【答案】(1)見解析(3)20或44【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．如圖所示，連接，∴垂直平分，∴垂直平分，（3）解：如圖3①所示，當點E在延長線上時，如圖3②所示，當點E在延長線上時，【題型七】等邊三角形的判定和性質(zhì)【答案】(1)見解析(2)見解析(3)等邊三角形，理由見解析【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．理由如下：【舉一反三】A．3.5 B．5 C．7 D．10【答案】C【知識點】兩點之間線段最短、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短，熟練掌握和運用等邊三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時注意，最小值問題一般需要考慮兩點之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．【詳解】解：連接，，∵是邊上的高，故選：C．【答案】/【知識點】等邊三角形的判定和性質(zhì)、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解的最小值為，故答案為：．【答案】(1)(2)見解析【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、利用平移的性質(zhì)求解【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．D是的中點，垂直平分，【題型八】含30度角的直角三角形A． B． C． D．【答案】D【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形故選：D．【舉一反三】【答案】14【知識點】等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故答案為：14．【答案】(1)見解析(2)【知識點】三角形內(nèi)角和定理的應用、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、含30度角的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)【知識點】等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形【分析】本題考查了含角的直角三角形、等邊三角形的判定，本題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出、，熟練掌握等邊三角形的判定，當不確定哪個是直角時注意分類討論的思想方法．∵點的運動時間為，【題型九】斜邊的中線等于斜邊的一半A．7 B．10 C．11 D．14【答案】C【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EM＝FM＝BC，再根據(jù)三角形的周長的定義列式計算即可得解．故選C．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝2AB，∠B＝72°，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD中點，則∠AEF等于（

）A．54° B．55° C．60° D．45°【答案】A【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】取BC的中點G，連接EG、FG，如圖，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到EG＝BG＝CG，則∠B＝∠GEB＝∠FGC＝72°，則EG＝AB＝FG，所以∠EFG＝∠FEG，接著利用平角的定義可得∠AEF的大?。驹斀狻拷猓喝C的中點G，連接EG、FG，如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC，ADBC，∴AFBG，∵F為AD的中點，∴AF＝BG＝AD，∴四邊形ABGF是平行四邊形，∴ABFG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABCD，∴ABFG，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴EG＝BG，∴∠B＝∠GEB＝∠FGC＝72°，∴∠BGE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠EGF＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∵BC＝2AB，∴EG＝AB＝FG，∴∠EFG＝∠FEG＝54°，∴∠AEF＝180°﹣54°﹣72°＝54°，故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等且平行，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，也考查了等腰三角形的性質(zhì)．

【答案】2【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可得到答案．故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵．3.如圖所示，在△ABC中，AD是邊BC上的高，CE是邊AB上的中線，G是CE的中點，AB=2CD，求證：DG⊥CE．【答案】見解析【知識點】根據(jù)三線合一證明、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=AB，再根據(jù)AB=2CD，得到CD=AB，從而可得CD=DE，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明即可．【詳解】證明：連接DE，如圖：∵AD是邊BC上的高，CE是邊AB上的中線，∴AD⊥BD，E是AB的中點，∴DE=AB，∵AB=2CD，∴CD=AB，∴CD=DE，∵G是CE的中點，∴DG⊥CE．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，明確在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．【題型十】直角三角形的兩個銳角互余【例10】在一個直角三角形中，有一個銳角等于，則另一個銳角的度數(shù)是（

）【答案】D【知識點】直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題考查了直角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，已知一個銳角為，另一個銳角的度數(shù)即為減去已知銳角的度數(shù)．【詳解】解：∵在直角三角形中，兩個銳角的和為，故選：D．【舉一反三】1.若直角三角形的一個銳角是，則另一個銳角的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余計算得出．【詳解】解：直角三角形中，一個銳角是，故選：B．【答案】【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對等角、直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形銳角互余等知識點．【詳解】解：∵是斜邊的垂直平分線，故答案為：．【答案】【知識點】直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．好題必刷好題必刷一、單選題1．直線上依次有A，B，C，D四個點，AD＝7，AB＝2，若AB，BC，CD可構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，則BC的長為（）A．2 B．5 C．2或2.5 D．無法計算【答案】C【分析】根據(jù)兩種情況即BC＝AB或BC＝CD進行解答即可．【詳解】解：如圖∵AB＝2，AD＝7，∴BD＝BC+CD＝5，∵BC作為腰的等腰三角形，∴BC＝AB或BC＝CD，∴BC＝2或2.5．故選：C．【點睛】本題主要考查了線段的和與差，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩種情況解答．A．8 B．3 C．6 D．4【答案】A【詳解】解：連接，，∵是線段的垂直平分線，∴點關(guān)于直線的對稱點為點，故選：A．A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A.①∠1＝∠2；②AD＝BE，故該選項不符合題意；B.①∠1＝∠2，④DF＝EF，故該選項不符合題意；故該選項不符合題意；故選C．二、填空題【答案】4∵E是斜梁的中點，故答案為：4．【答案】28【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半、三線合一【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用等腰三角形得到性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．∵E為的中點，故答案為：28．【答案】70【知識點】根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解、斜邊的中線等于斜邊的一半、等邊對等角故答案為：70．【答案】或或【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、折疊問題【分析】本題主要考查了三角形折疊中的角度問題，直角三角形兩銳角互余，正確進行計算是解題關(guān)鍵，分當D點在線段上時，當點D點在線段延長線上討論，畫出對應的圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和折疊的性質(zhì)求解即可．故答案為：或或．三、解答題【答案】見解析【知識點】斜邊的中線等于斜邊的一半、三線合一、內(nèi)錯角相等兩直線平行是角平分線，是高，E是斜邊中點，9.如圖，已知在等邊△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的長．【答案】【知識點】含30度角的直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和AB的長度求出AD的長度，然后根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊的一半求出AE的長度，進而求出CE的長度，然后根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊的一半求出CF的長度，即可求出BF的長度．【詳解】∵在等邊△ABC中，D是AB的中點，∴AD=BD=AB=6，∵∠A=60°，DE⊥AE，∴∠ADE=30°，∴CE=ACAE=123=9，又∵∠C=60°，EF⊥BC，∴∠FEC=30°，∴CF=CE=，∴BF=BCCF=12=．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，30°角直角三角形的性質(zhì)．【答案】(1)見解析(2)【知識點】三線合一、等邊對等角、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的垂直平分線，∵D為線段的中點，【答案】(1)見解析；(2)等腰三角形，見解析【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．【答案】(1)見解析【知識點】等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：證明：延長交的延長線于點，點是的中點，理由如下：點是中點，【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定【分析】本題考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義