第七章第35講直線、平面平行的判定與性質(zhì)立體幾何鏈教材夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.(人A必二P143T1(1))若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是 (

)A.α內(nèi)的所有直線都與直線a異面 B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)的直線都與a相交 D.直線a與平面α有公共點【解析】直線a不平行于平面α，包括兩種情況：a?α或a∩α＝P.當(dāng)a?α?xí)r，α內(nèi)的所有直線都與直線a共面，A錯誤；當(dāng)a?α?xí)r，α內(nèi)必然有直線與直線a平行，B錯誤；由B知C也錯誤；當(dāng)a?α?xí)r，直線a和平面α有無數(shù)個公共點，當(dāng)a∩α＝P時，直線a與平面α有唯一公共點P，D正確．D2.(人A必二P142T2)平面α與平面β平行的一個充分條件可以是 (

)A.α內(nèi)有無窮多條直線與β平行B.直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)C.直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥αD.α內(nèi)的任何一條直線都與β平行【解析】對于A，α內(nèi)有無窮多條直線與β平行，并不能保證平面α內(nèi)有兩條相交直線與平面β平行，這無窮多條直線可以是一組平行線，故A錯誤；對于B，直線a∥α，a∥β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，當(dāng)直線a平行于平面α與平面β的相交直線時滿足上述條件，但平面α與平面β不平行，故B錯誤；對于C，直線a?α，直線b?β，且a∥β，b∥α，當(dāng)直線a∥b時，不能保證平面α與平面β平行，故C錯誤；對于D，α內(nèi)的任何一條直線都與β平行，則α內(nèi)至少有兩條相交直線與平面β平行，所以平面α與平面β平行，故D正確．【答案】D3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是

(

)A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥n，m∥α，n?α，則n∥αD.若m∥α，α∥β，則m∥β【解析】由題意，作長方體ABCD-A1B1C1D1，如圖所示．對于A，當(dāng)平面α＝平面ABCD，m＝A1B1，n＝B1C1時，顯然m∥α，n∥α，但m∩n＝B1，故A錯誤；對于B，當(dāng)平面α＝平面ABCD，平面β＝平面A1ADD1，m＝B1C1時，顯然m∥α，m∥β，但α∩β＝AD，故B錯誤；對于C，因為m∥α，所以?a?α，m∥a，因為m∥n，所以a∥n，因為a?α，n?α，所以n∥α，故C正確；對于D，當(dāng)平面α＝平面ABCD，平面β＝平面A1B1C1D1，m＝B1C1時，顯然m∥α，α∥β，但m?β，故D錯誤．【答案】C4.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不重合的平面，下列說法正確的是

(

)A.若α⊥β，β⊥γ，則α∥γB.若m?α，n?β，m∥n，則α∥βC.若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥βD.平面α內(nèi)有不共線的三點到平面β的距離相等，則α∥β【解析】對于A，若α⊥β，β⊥γ，則α與γ可能相交，故A錯誤．對于B，若m?α，n?β，m∥n，則α與β可能相交，故B錯誤．對于C，因為m?α，n?β，m，n為異面直線，所以m?β.又m∥β，所以由線面平行的性質(zhì)定理可知在β內(nèi)存在l∥m，且l?α，進(jìn)而可得l∥α.因為m，n是異面直線，n?β，所以l與n相交．又n∥α，所以由面面平行的判定定理得α∥β，故C正確．對于D，平面α內(nèi)有不共線的三點到平面β的距離相等，則α與β可能相交，故D錯誤．【答案】C5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點，點M在側(cè)棱PC上且PM＝tPC.若PA∥平面MQB，則實數(shù)t的值為_____．【解析】1.直線和平面平行(1)定義：直線和平面沒有公共點，稱這條直線與這個平面平行．(2)判定方法：(3)性質(zhì)定理：2.兩個平面平行(1)定義：兩個平面沒有公共點，稱這兩個平面平行．(2)判定方法：(3)性質(zhì)定理：3.常用結(jié)論(1)平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論①垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.②垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.③平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(2)與平行關(guān)系有關(guān)的性質(zhì)①夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．②兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．③同一條直線與兩個平行平面所成的角相等．研題型素養(yǎng)養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1與線、面平行相關(guān)命題的判定若m，n為兩條不同的直線，α，β，γ為三個不重合的平面，下列說法正確的是 (

)A.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，則α∥βB.若m，n相交且都在α，β外，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，則α∥βC.若m∥n，n?α，則m∥αD.若m∥α，n∥α，則m∥n1【解析】對于A，在如圖(1)所示三棱柱中，右側(cè)面為γ，前面的平面為α，后面的側(cè)面為β，滿足α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，但α，β相交，A錯誤．對于B，如圖(2)，m，n相交且都在α，β外，設(shè)m，n確定的平面為γ，即m，n?γ.因為m∥α，n∥α，故可得γ∥α，同理γ∥β，故α∥β，B正確．對于C，若m∥n，n?α，則m?α或m∥α，C錯誤．對于D，若m∥α，n∥α，則m，n可能平行或相交或異面，D錯誤．【答案】B(1)判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理；(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．【解析】若a∥b且b?α，則a∥α或a?α，故A錯誤；若a∥α且b?α，則a∥b或a，b為異面直線，故B正確；若a∥b且a∥α，則b∥α或b?α，故C正確；若a∥α且b∥α，則a∥b或a，b相交或異面，故D錯誤．BC(多選)設(shè)a，b表示空間的兩條直線，α表示平面，下列說法正確的是

(

)A.若a∥b且b?α，則a∥αB.若a∥α且b?α，則a，b不一定平行C.若a∥b且a∥α，則b不一定平行于αD.若a∥α且b∥α，則a，b平行或異面變式1

目標(biāo)2線面平行的判定定理的應(yīng)用在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，D是AB的中點．(1)求證：AC1∥平面CDB1；2【解答】設(shè)BC1與B1C相交于點E，連接DE，因為ABC-A1B1C1為直三棱柱，且BC＝AA1＝4，則四邊形BCC1B1為正方形，所以E為BC1的中點．又D是AB的中點，所以DE∥AC1，又DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝AA1＝4，AB＝5，D是AB的中點．(2)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．【解答】判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點).(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，求證：EF∥平面PAD.變式2

【解答】目標(biāo)3線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用3【解答】在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時，一定要注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行．【解析】變式3

C目標(biāo)4面面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，設(shè)M，N分別為PD，AD的中點，求證：平面CMN∥平面PAB.4【解答】因為M，N分別為PD，AD的中點，所以MN∥PA.又MN?平面PAB，PA?平面PAB，所以MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，所以∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.因為CN?平面PAB，AB?平面PAB，所以CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB.(1)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②利用線面垂直的性質(zhì)．(2)面面平行條件的應(yīng)用：①兩平面平行，分析構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行；②兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行．變式4

【解析】【答案】B1.(2024·全國甲卷改)(多選)設(shè)α，β為兩個不重合的平面，m，n為兩條不同的直線，且α∩β＝m，下列說法正確的是 (

)A.若m∥n，則n∥α或n∥βB.若m⊥n，則n⊥α或n⊥βC.若n∥α且n∥β，則m∥nD.若n與α，β所成的角相等，則m⊥n【解析】對于A，當(dāng)n?α?xí)r，因為m∥n，m?β，則n∥β；當(dāng)n?β時，因為m∥n，m?α，則n∥α；當(dāng)n既不在α也不在β內(nèi)時，因為m∥n，m?α，m?β，則n∥α且n∥β，故A正確．對于B，若m⊥n，則n與α，β不一定垂直，故B錯誤．對于C，如圖，過直線n分別作兩平面與α，β分別相交于直線s和直線t.因為n∥α，過直線n的平面與平面α的交線為直線s，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知n∥s，同理可得n∥t，則s∥t，因為s?平面β，t?平面β，則s∥平面β.因為s?平面α，α∩β＝m，則s∥m.又因為n∥s，則m∥n，故C正確．對于D，若α∩β＝m，n與α和β所成的角相等，如果n∥α，n∥β，則m∥n，故D錯誤．【答案】AC2.如圖，AB∥平面α∥平面β，過點A，B的直線m，n分別交α，β于點C，E和點D，F(xiàn)，若

AC＝2，CE＝3，BF＝4，則BD的長為(

)【解析】C3.(2024·南昌期初)(多選)在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，A，B，C，M，N是四棱錐的頂點或棱的中點，則MN∥平面ABC的有 (

)【解析】對于D，如圖(4)，設(shè)底面為平行四邊形ANEF，連接AE，F(xiàn)N交于點H，F(xiàn)N交AC于點G，則H為FN的中點，連接BH，BG，由于B為MF的中點，故BH∥MN.又MN?平面NMF，MN?平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，假設(shè)MN∥平面ABC，則MN∥BG，即在平面NMF內(nèi)過點B有兩條直線和MN都平行，這是不可能的，故此時假設(shè)不成立，D錯誤．【答案】AB配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、

單項選擇題1.設(shè)α，β為兩個不重合的平面，則α∥β的一個充分條件是 (

)A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B.α，β垂直于同一個平面C.α，β平行于同一條直線 D.α，β垂直于同一條直線【解析】對于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行推不出α∥β，只有α內(nèi)所有直線與β平行才能得出α∥β，故A錯誤；對于B，α，β垂直于同一平面，得到α∥β或α與β相交，故B錯誤；對于C，α，β平行于同一條直線，得到α∥β或α與β相交，故C錯誤；對于D，因為垂直于同一條直線的兩平面平行，故α，β垂直于同一條直線能推出α∥β，故D正確．D2.如圖，已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α交線段PA，PB，PC于點A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC＝ (

)A.2∶3

B.2∶5

C.4∶9

D.4∶25【解析】因為平面α∥平面ABC，所以A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2.又PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.D3.(2024·隨州5月模擬)已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是 (

)A.若α⊥β，l?α，m?β，則l⊥mB.若m⊥β，α⊥β，則m∥αC.若l∥m，l⊥α，m⊥β，則α∥βD.若α∥β，且l與α所成的角和m與β所成的角相等，則l∥m【解析】若α⊥β，l?α，m?β，則l與m有可能平行、相交或異面，故A錯誤；若m⊥β，α⊥β，則m還可能在α內(nèi)，故B錯誤；若l∥m，l⊥α，則m⊥α，又m⊥β，則α∥β，故C正確；若α∥β，且l與α所成的角和m與β所成的角相等，則l與m還有可能相交或異面，故D錯誤．C4.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱C1D1的中點，則 (

)A.B1C∥平面A1BM

B.A1B1∥平面BDMC.BM∥平面ACD1

D.BC1∥平面A1MC【解析】對于A，取CC1的中點N，連接MN，BN，CD1，如圖(1)，長方體ABCD-A1B1C1D1的對角面A1BCD1是矩形，A1B∥D1C∥MN，且BN?平面A1BM，而B1C與BN相交，則B1C與平面A1BM有公共點，故A不正確；對于B，取B1C1的中點P，連接MP，BP，D1B1，如圖(2)，長方體ABCD-A1B1C1D1的對角面BDD1B1是矩形，DB∥D1B1∥MP，而A1B1∩D1B1＝B1，又A1B1，D1B1，MP都在平面A1B1C1D1內(nèi)，則A1B1與MP相交，因此A1B1與平面BDM有公共點，故B不正確；【答案】D二、

多項選擇題5.(2024·深圳二模)已知m，n是異面直線，m?α，n?β，那么 (

)A.當(dāng)m⊥β或n⊥α?xí)r，α⊥βB.當(dāng)m∥β且n∥α?xí)r，α∥βC.當(dāng)α⊥β時，m⊥β或n⊥αD.當(dāng)α，β不平行時，m與β不平行且n與α不平行【解析】對于A，當(dāng)m⊥β，m?α?xí)r，α⊥β；當(dāng)n⊥α，n?β時，α⊥β，故A正確．對于B，當(dāng)m∥β，n∥α?xí)r，又m，n為異面直線，所以α∥β，故B正確．對于C，當(dāng)α⊥β時，由m?α，得m∥β或m與β相交；當(dāng)α⊥β時，由n?β，得n∥α或n與α相交，故C錯誤．對于D，當(dāng)α，β不平行時，可能m∥β或m與β相交，n∥α或n與α相交，故D錯誤．AB6.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，在此幾何體中，下列結(jié)論正確的是 (

)A.平面EFGH∥平面ABCDB.PA∥平面BDGC.EF∥平面PBCD.EF∥平面BDG【解析】先把平面展開圖還原為一個四棱錐如圖所示，對于A，因為E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點，所以EF∥AD，GH∥BC，因為AD∥BC，所以EF∥GH，所以EF，GH確定平面EFGH，因為EF?平面EFGH，AD?平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，同理可得AB∥平面EFGH.因為AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD，所以A正確．對于B，連接AC，BD交于點O，則O為AC的中點，連接OG，因為G為PC的中點，所以O(shè)G∥PA，因為OG?平面BDG，PA?平面BDG，所以PA∥平面BDG，所以B正確．對于C，由E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，可得EF∥AD，又由AD∥BC，可得EF∥BC.因為EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以C正確．對于D，若EF∥平面BDG，因為PA∥平面BDG，且EF∩PA＝E，EF，PA?平面PAD，可得平面PAD∥平面BDG，顯然不正確，所以EF與平面BDG不平行，所以D不正確．【答案】ABC7.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別為線段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中點，則下列說法正確的是 (

)A.E，F(xiàn)，G，H四點共面B.平面EGH∥平面ABC1C.直線A1A與FH異面D.直線BC與平面AFH平行【解析】如圖，由題意可知EH∥A1B1，F(xiàn)G∥A1B1，則EH∥FG，故A正確．易知GH∥BC1，EH∥AB，GH?平面ABC1，BC1?平面ABC1，EH?平面ABC1，AB?平面ABC1，所以GH∥平面ABC1，EH∥平面ABC1.又GH∩EH＝H，GH，EH?平面EGH，所以平面EGH∥平面ABC1，故B正確．A，A1，F(xiàn)三點確定一個平面，點H不在此平面內(nèi)，故C正確．取A1B1的中點為M，連接FM，則FM∥B1C1，所以FM∥BC.又點F在平面AFH內(nèi)，點M在平面AFH外，所以直線FM與平面AFH不可能平行，即直線BC與平面AFH不可能平行，D錯誤．【答案】ABC三、

填空題8.設(shè)α，β，γ是三個不重合的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且_________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．可以填入的條件有________．(填序號)①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.【解析】由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時，n和m可能平行或異面，②錯誤；當(dāng)n∥β，n?γ，β∩γ＝m時，m∥n，③正確．①或③【解析】【答案】210.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，則λ＝____；若ED與AF相交于點H，則GH＝_____．【解析】四、

解答題11.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，AC，BC的中點，求證：AD∥平面C1EF.【解答】連接BD(圖略).因為E，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點，所以EF∥AB.因為EF?平面C1EF，AB?平面C1EF，所以AB∥平面C1EF.因為D，F(xiàn)分別是棱B1C1，BC的中點，所以BF∥C1