1/5§2.3.2方差與標準差教學目標一、知識與技能：通過實例是學生理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差的意義和作用；學會計算數(shù)據(jù)的方差、標準差；使學生掌握通過合理抽樣對總體的穩(wěn)定性水平作出科學估計的思想．二、過程與方法：通過具體例子來說明意義及內(nèi)涵，并加以計算把握三、情感態(tài)度與價值觀：體會反應(yīng)離散程度的量的思想方法教學重點用樣本數(shù)據(jù)的方差和標準差估計總體的方差與標準差．教學難點理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差的意義和作用，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識．教學過程一、問題情境1．情境：甲、乙、丙三人入選國家射擊運動員，各射擊三次，發(fā)揮程度如下：人員第一次第二次第三次甲9.289.8乙9.29.49.8丙99.69.6假如你是挑選人，你挑哪一位？為什么？二、學生活動：看平均成績，但三個平均成績都是9.4,這樣需要看三人發(fā)揮的穩(wěn)定程度1、看極差：甲0.8,乙0.4,丙0.6乙入選2、看與平均數(shù)的差別:甲：02+0.42+0.42=0.32;乙：0.22+02+0.22=0.08;丙：0.42+0.22+0.22=0.24;乙入選三、建構(gòu)數(shù)學1．方差：一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其平均數(shù)為，則稱為這個樣本的方差．因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標準差．2．標準差：標準差也可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度．3．方差和標準差的意義：描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，標準差大說明波動大．四、數(shù)學運用1．例題：例1．甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為[（9.8-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]÷5=0.02.乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]÷5=0.24因為0.24>0.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。例2．為了保護學生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差。天數(shù)151~180181~210211~240241~270271~300301~330331~360361~390燈泡數(shù)1111820251672分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均壽命。解：各組中值分別為165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)約為165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)這些組中值的方差為1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128.60(天2).故所求的標準差約（天）答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標準差約為46天.練習：課本第71頁練習第1題；例3、某工人在30天中加工一種零件的日產(chǎn)量的情況是：有2天是51件，有3天是52件，有6天是53件，有8天是54件，有7天是55件，有3天是56件，有1天是57件。計算該工人30天的平均日產(chǎn)量解：=51×2/30+52×3/30+53×6/30+54×8/30+55×7/30+56×3/30+57×1/30)=×(2×51+3×52+6×53+8×54+7×55+3×56+1×57)≈54點評：這一原始方法對于樹木越大，顯得越不方便，能否將其改進呢？分析給出的數(shù)據(jù)，都在50左右擺動，可以將原始數(shù)據(jù)都減掉50，將大數(shù)化小，來進行計算。于是有：[方法二]將生產(chǎn)件數(shù)各減50得到：1，2，3，4，5，6，7它們出現(xiàn)的次數(shù)分別為2，3，6，8，7，3，1。=×(2×1+3×2+6×3+8×4+7×5+3×6+1×7)≈4，≈4+50=54思考問題：一般的，y1=ax1+b,y2=ax2+b,y3=ax3+b,……,yn=axn+b，則它們對應(yīng)的平均數(shù)有什么關(guān)系呢？方差又如何呢？=====a+bSy2====a2=a2sx2于是有結(jié)論：一般的，y1=ax1+b,y2=ax2+b,y3=ax3+b,……,yn=axn+b，則=a+b，Sy2=a2sx2用此結(jié)論可以將大數(shù)轉(zhuǎn)化為比較小的數(shù)計算練習1：某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品。在自動包裝傳送帶上，每隔30min抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格。分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：甲：102，101，99，103，98，99，98乙：110，115，90，85，75，115，110估計甲、乙兩車間的均值與方差，并說明哪個車間比較穩(wěn)定？（答案：兩車間平均數(shù)都是100，甲、乙的方差分別為3.4286、228.5714，甲車間比較穩(wěn)定）練習2：教材68頁第2題例4、某班40人隨機平均分成兩組，兩組學生一次考試成績情況如下組別平均標準差第一組906第二組804求全班的平均成績和標準差(精確到0.01)解：設(shè)第一組的成績?yōu)閤i,第二組的成績?yōu)閥i,則=90，=80，全班平均成績?yōu)?×(90×20+80×20)=85（分），由已知=====36，同理=16s==……=≈7.14備選例題：在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為9.5，0.016；五、回顧小結(jié)：1．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類：用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。用樣本方差、標準差估計總體方差、標準差。樣本容量越大，估計就越精確。2．方差、標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度．3、y1=ax1+b,y2=ax2+b,y