高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市聯(lián)誼校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色，墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：必修一第五章第五節(jié)開始到必修二第七章結(jié)束.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.－2 B.－1 C.－2i D.－i【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以的虛部為．故選：B3.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理，代值可得，解得．故選：A．4.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋渣c(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以．故選：A5.已知，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故選：C．6.頂點(diǎn)為，，，則為（）．A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】依題意可知，，與不恒等，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故選：A7.由于潮汐，某港口一天的海水水位（單位：）隨時(shí)間（單位：，）的變化近似滿足關(guān)系式，若一天中最高水位為，最低水位為，則該港口一天內(nèi)水位不小于的時(shí)長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，解得.所以.令，即.因?yàn)?，所以，由正弦函?shù)圖象與性質(zhì)可知，，解得.所以該港口一天內(nèi)水位不小于的時(shí)長(zhǎng)為小時(shí).故選：C8.已知點(diǎn)是菱形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若菱形的邊長(zhǎng)為定值，且的最小值為，則該菱形的邊長(zhǎng)為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】解：由，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，所以，則，故，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于向量，下列說法正確的是（）A. B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同或中至少有一個(gè)零向量時(shí)等號(hào)成立，A正確；當(dāng)時(shí)，，B正確；若和無法比較大小，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與可能不共線，D錯(cuò)誤.故選：AB.10.設(shè)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是（）A.B.C.若，則為共軛復(fù)數(shù)D.若，則的最大值為6【答案】ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)，則，A正確；對(duì)于B，設(shè)，故，而，B正確；對(duì)于C，，因?yàn)?，所以，即，但a與m不一定相等，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，則距離的最大值為，D正確．故選：ABD11.在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則（）A.B.C.D.若，則【答案】BCD【解析】由正弦定理及，得，即，，整理得，又，，所以，故，，A錯(cuò)誤；由，得，又為銳角三角形，所以解得，B正確；（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），C正確；由，得，由正弦定理得：即，所以.又，所以，故，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共小題，每小題5分，共15分.12.已知i是虛數(shù)單位，則______．【答案】【解析】由的周期性可得，，故答案為：13.已知單位向量，向量在向量上的投影向量為，則向量與的夾角為__________.【答案】【解析】設(shè)向量與的夾角為，由題意可得，則，又，則.故答案為：14.如圖，某幼兒園計(jì)劃在一個(gè)兩面靠墻的角落規(guī)劃一個(gè)三角形活動(dòng)區(qū)域（即區(qū)域），地面形狀如圖所示．已知點(diǎn)分別在上，，，則最長(zhǎng)為______m．【答案】140【解析】在中，由余弦定理得，所以．在中，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)?，所?所以.（2）.16.已知復(fù)數(shù)滿足．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）令且，則，所以，則解得所以．（2）由，得，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的取值范圍.解：（1）由，得.由余弦定理，得.又，所以.（3）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍?18.若函數(shù)滿足，且，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.已知函數(shù)為“函數(shù)”.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求的最小值.解：（1）由，得，所以是周期為6的函數(shù)，由，得，所以是的一條對(duì)稱軸，因?yàn)楹瘮?shù)為“函數(shù)”，所以，是的一條對(duì)稱軸，所以.因?yàn)?，所以，所以函?shù)的解析式為.（2）令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，解得.因?yàn)?，所以時(shí)，取最小值，為.19.如圖，在平