高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省豫北名校期中聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知兩點(diǎn)橫坐標(biāo)知直線的斜率不存在，即軸，所以傾斜角為，故選：C．2.向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，由，得，即，因此，所以.故選：B.3.已知兩平行直線與之間的距離為，則（）A. B.23 C.13或23 D.或【答案】C【解析】由直線與平行，得，則，直線，于是，解得或，所以或.故選：C.4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的面積的最大值為，則（）A. B.3 C.9 D.7【答案】D【解析】根據(jù)題意可知橢圓半焦距，設(shè)點(diǎn),，，那么，所以的面積，所以，所以，化簡(jiǎn)得，即或9．又因?yàn)?，解得，因此．故選：D．5.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心為，半徑為4，直線的方程整理為，因此直線過(guò)定點(diǎn)，，在圓內(nèi)，當(dāng)為所截弦中點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，，最短弦長(zhǎng)為，故選：D．6.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.在陽(yáng)馬中，若平面，且，異面直線與所成角的余弦值為，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由題意，以坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建系如圖，設(shè)，因?yàn)?，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得，即.故選：C.7.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，，在拋物線上，為的重心，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，，設(shè)，，，是的重心，則，，故選：A．8.已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，是與在第一象限的公共點(diǎn).線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令線段的垂直平分線與的交點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則，而，因此，，則，令與的半焦距為，由，得，于是，解得，則，，所以的漸近線方程為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則的值可能是（）A B. C. D.【答案】ACD【解析】由已知圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為4，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，則，解得或，或者，解得，綜上或或，ACD滿足，故選：ACD．10.下列說(shuō)法正確的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.若直線經(jīng)過(guò)第一象限、第二象限、第四象限，則C.已知雙曲線左焦點(diǎn)為，是雙曲線上的一點(diǎn)，則的最小值是D.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，則的最小值是【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的橫縱截距分別為，依題意，，因此，B正確；對(duì)于C，雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，為左焦點(diǎn)，當(dāng)為左頂點(diǎn)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)在橢圓外，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，點(diǎn)，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面內(nèi)的一點(diǎn)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)為7 B.存在點(diǎn)，使得C. D.若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】BCD【解析】延長(zhǎng)到，使得，則關(guān)于平面對(duì)稱，，由正方體性質(zhì)知，因此，又，所以，所以的周長(zhǎng)不可能為7，A錯(cuò)；以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，底面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)為正方形中心．B正確；，，,，，C正確；，，，則．即，所以點(diǎn)軌跡是平面內(nèi)直線在正方形內(nèi)的一條線段，由得，由得，因此此線段的兩端點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，由已知，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．【答案】【解析】，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.13.已知圓，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，若直線上僅有一點(diǎn)，使得，則的值為_(kāi)_____.【答案】或【解析】圓的圓心，半徑，由，得點(diǎn)在的外接圓上，當(dāng)時(shí)，，該圓直徑，由直線上僅有一點(diǎn)，使得，得的外接圓與直線相切，即，于是，解得或，所以的值為或.14.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線與交于另外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線交于另外一點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，,則，，所以，，因?yàn)椋?，所以，?又，所以，即，解得，即橢圓的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.已知圓過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)圓心的直線在軸，軸上的截距相等，求直線的方程.解：（1）由點(diǎn)，得線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，即圓心，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線在軸，軸上的截距相等，此時(shí)直線的方程為，當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，方程為，所以直線的方程為或.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且.（1）求和的值；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.解：（1）由題意，，拋物線方程為，在拋物線上，因此，所以；（2）由（1）知焦點(diǎn)為，顯然直線與不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，因此，又，，所以所以．17.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，是菱形，則，所以，又是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）解：，則和都是等邊三角形，連接，則，，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，因此有，，，，，是中點(diǎn)，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，易知平面的一個(gè)法向量是，則，取，則，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知雙曲線過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．解：（1）將分別代入雙曲線C得:,解得,所以.（2）,所以雙曲線的右焦點(diǎn)為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),此時(shí),,,以為直徑的圓不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；直線敘率存在,設(shè)聯(lián)立,消去并整理得,其中,即,,以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),,即，，,整理得,解得，所以即.19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與交于另外一點(diǎn)，直線與交于另外一點(diǎn).①若，求直線的方程；②記的面積分別為，求的最大值.解：（1）由題意知.解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為