高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省承德市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得但，∴．故選：A.2.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題意得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第四象限．故選：D3.2024年6月至10月全國進出口總值同比增長速度依次為，，則該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：，由題意得該組數(shù)據(jù)的極差為，中位數(shù)為，則該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為．故選：B4.將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得故選：C5.已知奇函數(shù)的定義域為，且在上的圖象如圖所示，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】B【解析】令得或.如圖，畫出在上的圖象與直線，直線．由圖可知，的圖象與直線有5個公共點，的圖象與直線僅有1個公共點，則的零點個數(shù)為．故選：B.6.已知是橢圓的右焦點，若過點且垂直于軸的直線被截得的弦長等于點到直線距離的一半，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，過點且垂直于軸的直線被截得的弦長為，則，得，即，所以的離心率為．故選：C7.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得的定義域為，，因為，所以恒成立，所以是減函數(shù)．又因為，由單調(diào)性可知，．故選：B8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了關(guān)于粟米分配的問題．現(xiàn)將14斗粟米分給4個人，每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù)，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（）A.715種 B.572種 C.312種 D.286種【答案】D【解析】本題可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同，質(zhì)地均勻的小球分給甲，乙，丙，丁4個人，每人至少分1個，利用隔板法在中間13個空隙（兩端除外）當(dāng)中插入3個隔板，可得分配的方案數(shù)為，所以不同的分配方法有286種．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知的內(nèi)角的對邊分別為為的中點，，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】ABD【解析】因為為的中點，所以，則，A正確．由余弦定理得，則，B正確．由，得，所以，C錯誤．由，得，則，D正確．故選：ABD10.已知分別是雙曲線的上、下焦點，過的直線與雙曲線的上支交于兩點，的長等于實軸長的2倍，且，則（）A.的焦距為B.的漸近線方程為C.D.的周長為【答案】CD【解析】由題意得，由雙曲線定義得所以．由，得，即．即解方程組得所以．由，得，得，，所以的焦距為，漸近線方程為，，故A、B錯誤，C正確；又的周長為，故D正確；故選：CD11.已知正三棱錐外接球的表面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A.正三棱錐外接球的體積為B.當(dāng)時，點到底面距離為2C.若滿足條件的正三棱錐存在兩個，則D.正三棱錐體積的最大值為【答案】ACD【解析】設(shè)正三棱錐外接球的球心為，半徑為．由，得，所以正三棱錐外接球的體積為，A正確．設(shè)，點到底面距離為，則外接圓的半徑為，點到球心的距離為，由，得，當(dāng)時，，得，B錯誤．若滿足條件的正三棱錐存在兩個，則方程有兩個正解，則Δ=36-43a2由，得，則正三棱錐的體積為．設(shè)函數(shù)，則，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則______，______．【答案】3【解析】由，得，所以．13.在正方體中，是上靠近的三等分點，則直線與平面所成角的正弦值為______．【答案】【解析】如圖，連接．平面，所以直線與平面所成的角為．設(shè)，易得，，所以．14.若，則______．【答案】3【解析】兩邊同時除以得，得．令函數(shù)，則，令，．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以．易得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以．因為，所以，得．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.蛇年來臨之際，某商場計劃安排新春抽獎活動，方案如下：1號不透明的盒子中裝有標(biāo)有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號不透明的盒子中裝有標(biāo)有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客先從1號不透明的盒子中取出1個小球，再從2號不透明的盒子取出1個小球，若這2個球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個詞語，則這位顧客中獎，反之沒有中獎，每位顧客只能進行一輪抽獎．已知顧客從不透明的盒子取出標(biāo)有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為，且顧客取出小球的結(jié)果相互獨立．（1）求顧客中獎的概率；（2）若小明一家三口參加這個抽獎活動，求小明全家中獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）顧客取出的2個小球的字樣組成“吉祥”的概率為，顧客取出的2個小球的字樣組成“安康”的概率為，顧客取出的2個小球的字樣組成“和順”的概率為，綜上，顧客中獎的概率為；（2）設(shè)小明全家中獎的次數(shù)為，則，，，，，則的分布列為0123所以．16.如圖，在直四棱柱中，，，.（1）證明：四邊形是梯形．（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：四棱柱是直四棱柱，平面平面．平面，平面．平面．，平面，．又四邊形是梯形.（2）解：易得兩兩垂直，以原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)為1個單位長度，則，．設(shè)平面的法向量為，則，取，則，得平面的一個法向量為，易得平面的一個法向量為，平面與平面夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若的導(dǎo)函數(shù)有最小值，且是增函數(shù)，求的取值范圍．解：（1）由題意得，則，所以曲線在點處的切線方程為，令，得；令，得．故所求三角形的面積為．（2）由（1）得，設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，沒有最小值．當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則．因為是增函數(shù)，所以，即．又，所以，得，即取值范圍為．18.已知、、是的三個頂點，、分別為的外心、垂心．（1）求點、的坐標(biāo)（用、表示）；（2）若，求點的軌跡；（3）設(shè)第（2）問中點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于、兩點，與拋物線交于、兩點（從左到右依次為、、、），當(dāng)最小時，求的斜率．解：（1）因為點在的中垂線上，所以點的橫坐標(biāo)為．設(shè)，則由，得，得，即．由垂心的性質(zhì)可知，，則點的橫坐標(biāo)為，設(shè)點，則，且，由，得，得，即．（2）由（1）可得．由，得，得，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（挖去，兩點）．（3）若直線的斜率為零，則直線與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意，設(shè)的方程為，設(shè)點、．聯(lián)立得得，則恒成立，由韋達定理可得，，因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），則．因為，所以，得．此時，直線的斜率為.19.若數(shù)列滿足，且，則稱是“擺動數(shù)列”．已知是“擺動數(shù)列”，且的前項和為．（1）若，列出所有可能的取值；（2）若，求的取值集合；（3）若，等可能地取定的正負號（即與發(fā)生的概率相等），求是整數(shù)的概率．解：（1）當(dāng)時，由，得或0．當(dāng)時，由，得或2；當(dāng)時，由，得或．綜上，所有可能的取值為．（2）由題意得，設(shè)．當(dāng)時，由，得，則．當(dāng)時，取得最大值，且最大值為．