高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市增城區(qū)2025屆高三下學(xué)期5月模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知1+iz=2，則z=（A．1+i B．1-i C．-1+i【答案】B【解析】因?yàn)?+iz=2，所以故選：B2．滿足等式0,1∪X=x∈Rx3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】方程x3=x的實(shí)數(shù)根有x=0,x=1,x=-1，解集構(gòu)成的集合為即0,1∪X=0,1,-1，則符合該等式的集合X為X=-1，X=-1,1，故這樣的集合X共有4個(gè).故選：D.3．已知a,b是兩個(gè)單位向量，若向量a在向量b上的投影向量為12b，則向量a與向量A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄縜在向量b上的投影向量為12b，所以acos所以cosa,b所以a,所以a?又a=1所以cosa,a所以向量a與向量a-b的夾角為π3故選：B.4．已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為2π3的扇形，則該圓錐的表面積為（A．8π B．12π C．16π【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l=6，底面半徑為r，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則2πl(wèi)3=2π故選：C5．生物豐富度指數(shù)d=S-1lnN是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中S，N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由N1變?yōu)镹2，生物豐富度指數(shù)由2A．3N2=2N1 B．2N【答案】D【解析】由已知S-1lnN1=2，S-1lnN2=3故選：D．6．設(shè)甲：“函數(shù)fx=2sinωx在-π3,π4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若“函數(shù)fx=2sinωx在-π由-π2≤ωx≤π2得-所以，甲是乙的充分不必要條件.故選：A7．若函數(shù)fx=x-1exA．-1,0 B．-1,0 C．-1,0 D．-1,0【答案】A【解析】當(dāng)x<1時(shí)，fx當(dāng)x≥1時(shí)，fx若a>0，fx=ax+1在1,+∞若a<0，fx=ax+1在要想函數(shù)有最大值，則a+1≥0，解得-1≤a<0；若a=0，ax+1=1，函數(shù)有最大值1，符合題意；故實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1,0.故選：A.8．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)為F1,F2，過點(diǎn)FA．223 B．63 C．33【答案】C【解析】設(shè)∠F1MF2的平分線交則cos2α=2所以sinα=而sin設(shè)NF1=2m，則NM所以m=a在△F1M則4c2=所以橢圓離心率e=3故選：C．二、多選題9．為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：x12345y0.50.811.21.5假設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx+0.28（參考公式：相關(guān)系數(shù)為r=nA．bB．當(dāng)x=4時(shí)，對(duì)應(yīng)的殘差為0.04C．樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為0.8D．去掉點(diǎn)3,1后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變【答案】AD【解析】A項(xiàng)，x=所以樣本點(diǎn)的中心坐標(biāo)為3,1，將它代入y=bx+0.28得，3b+0.28=1B項(xiàng)，當(dāng)x=4時(shí)，y的預(yù)測(cè)值為y=0.24×4+0.28=1.24，對(duì)應(yīng)的殘差為1.2-1.24=-0.04，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，由5×40%=2為整數(shù)，則樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為0.8+12D項(xiàng)，去掉樣本點(diǎn)3,1后，新樣本數(shù)據(jù)的平均值沒有變化，即x=3,不妨設(shè)3,1為第5組數(shù)據(jù)，即x5=3,y5則由相關(guān)系數(shù)公式r=n即新樣本數(shù)據(jù)x與y的相關(guān)系數(shù)與原數(shù)據(jù)相關(guān)系數(shù)相等，即x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不會(huì)改變，故D正確.故選：AD.10．已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F的直線與C交于B，D兩點(diǎn)，過B，D作l的垂線，垂足分別為E，GA．若直線BD的斜率為1，則BD=8 B．以BD為直徑的圓與yC．EF⊥GF D．B，O，G三點(diǎn)共線【答案】ACD【解析】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線l:x=-1，點(diǎn)對(duì)于A，直線BD:y=x-1，由y=x-1y消去y得x2-6x+1=0，所以x1+x對(duì)于B，BD=x1+x弦BD中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為12BD，因此以BF為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故對(duì)于C，由BF=BE,BE∥AF，得∠AFE=∠BEF=∠BFE則∠EFG=∠AFE+∠AFG=12∠AFB+∠AFD對(duì)于D，設(shè)直線BD:x=ty+1，聯(lián)立x=ty+1y2=4x，得y直線OB:y=y1x1x，直線OB聯(lián)立y=y1x又y2=-4y1，所以yH=y2，即H與G故選：ACD11．已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，記gx=f'A．g0=1 B．y=fC．fx+f2-x=0 D．【答案】ABD【解析】因?yàn)閒x所以f'(x)+f令x=0，得g(0)=1，故A正確；因?yàn)閒x當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)x所以y=f(x)x的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，故對(duì)于C，假設(shè)f(x)+f(2-x)=0成立，求導(dǎo)得f'即g(x)-g(2-x)=0，又g(x)+g(2-x)=0，所以g(x)=0，所以g(0)=0與g(0)=1矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)間(x)+g(-x)=2，g(x)+g(2-x)=0，所以g(2-x)-g(-x)=-2，g(0)=1，g1=0，所以有g(shù)(n+2)-g(n)=-2，所以數(shù)列g(shù)(n)的奇數(shù)項(xiàng)是以0為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列g(shù)(n)的偶數(shù)項(xiàng)是以-1為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，又g2-g1所以數(shù)列g(shù)(n)是以0為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，所以g(n)=1-n，所以n∑k=1g故選：ABD．三、填空題12．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a【答案】8【解析】設(shè)公差為d，則7a故a1又a1=-1，故S4故答案為：8.13．某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動(dòng)，將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，則恰好甲、乙兩人（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室的情況有種（用數(shù)字作答）．【答案】42【解析】6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的辦公室，有2,2,2和3,2,1兩種情況，當(dāng)按照2,2,2分配時(shí)，甲乙兩人（僅有兩人）打掃同一個(gè)辦公室，先選一個(gè)辦公室給甲乙兩人，有C3將剩余的4人平均分配到兩個(gè)辦公室，有C4此時(shí)，共有C3當(dāng)按照3,2,1分配時(shí)，先選一個(gè)辦公室給甲乙兩人，有C3將剩余的4人按照1,3分配到兩個(gè)辦公室，有C4此時(shí)，共有C3綜上，共有18+24=42種情況.故答案為：4214．三棱錐P-ABC的底面是以AC為底邊的等腰直角三角形，且AC=22，各側(cè)棱長(zhǎng)均為3，點(diǎn)E為棱PA的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則E到平面ABC的距離為；設(shè)Q到平面PBC的距離為d1,Q到直線AB的距離為d2，則【答案】7【解析】取AC中點(diǎn)O，連接PO,BO，因?yàn)镻A=PC=3，AC=22，所以PO⊥AC，且PO=因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，所以BO⊥AC，且BO=2又PB=3，滿足PB2=P因?yàn)锳C∩BO=O，所以PO⊥平面ABC，因?yàn)辄c(diǎn)E為棱PA的中點(diǎn)，所以E到平面ABC的距離為12如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CQ=λ則C0,則PB=設(shè)CQ=λCE0≤λ≤1則Q0,-32所以cos∠QAB=所以sin∠QAB=所以d2設(shè)平面PBC的法向量為n=則n?PB=0n?PC=0則d1所以d1所以f'λ=4λ-34又f″λ=74所以當(dāng)λ∈0,25時(shí)，f'λ<0，fλ所以fλmin=f25故答案為：72；14四、解答題15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且3b（1）求角A的大?。唬?）已知a=7，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD⊥AC，求AD的長(zhǎng)．解：（1）由正弦定理得：3sinB在△ABC內(nèi)，sinB>0,B+C=π-A，則有所以3sinπ2因?yàn)閏osA2≠0，所以因?yàn)锳2∈0,所以A=2（2）因?yàn)椤螧AC=2π3,AD⊥AC因D是BC邊的中點(diǎn)，則S△ACD即12b?AD=1在△ABC中，a2所以49=b所以b=7．所以c=2在△ACD，AD=CD16．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面PBC，平面PAB⊥平面ABC．（1）證明：過點(diǎn)P作PO⊥AB，垂足為O，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB,PO?平面PAB，所以PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PO⊥BC，因?yàn)镻A⊥平面PBC，BC?平面PBC，所以PA⊥BC，又PA∩PO=P,PA,PO?平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因?yàn)锳B?平面PAB，所以BC⊥AB．（2）解：由BC⊥平面PAB，則PC與平面PAB所成角等于∠CPB，tan∠CPB=BCBP因?yàn)镻A⊥平面PBC，PB?平面PBC，所以PA⊥PB，因?yàn)锳B=22+62∴AC=102+法一：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P2105設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為m=x,y,z，則令x=3，則y=5,z=易知平面ABC的一個(gè)法向量為n=cosm設(shè)平面PAC與平面ABC夾角為θ，則sinθ=1-所以平面PAC與平面ABC夾角的正弦值為45法二：過點(diǎn)O作OD⊥AC，垂足為D，連接PD，因?yàn)镺D⊥AC,PO⊥AC,PO∩OD=O，所以AC⊥平面POD，由PD?平面POD，所以AC⊥PD，所以二面角P-AC-B的平面角為∠PDO，因?yàn)镻A⊥平面PBC，PC?平面PBC，則PA⊥PC，所以PC=4因?yàn)镻O⊥平面ABC，在直角三角形POD中，sin∠PDO=所以平面PAC與平面ABC夾角的正弦值為4517．已知函數(shù)fx=alnx-1x，直線（1）討論fx（2）若存在直線l經(jīng)過點(diǎn)0,0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，f當(dāng)a≥0時(shí)，f'x=ax+1x當(dāng)a<0時(shí)，f'x=由f'x>0，解得0<x<-1a則fx在0,-1a綜上，當(dāng)a<0時(shí)，fx在0,-1a當(dāng)a≥0時(shí)，fx在0,+（2）因?yàn)閒x=aln因?yàn)閒'x=所以直線l的方程為y-a因?yàn)閘經(jīng)過點(diǎn)0,0，所以-alnt-顯然a≠0，所以2a設(shè)gt=tln當(dāng)0<t<1時(shí)，g't<0,g當(dāng)t>1時(shí)，g't>0,g所以gt在t=1時(shí)取得最小值，g(t)≥g1=-1即2+aa≥0，解得a≤-2或所以a的取值范圍是-∞18．某企業(yè)的設(shè)備控制系統(tǒng)由2k-1k∈N*個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為p0<p<1，各元件之間相互獨(dú)立．當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為pk（例如：p2表示控制系統(tǒng)由（1）若k=2，且每個(gè)元件正常工作的概率p=2①求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和期望；②在設(shè)備正常運(yùn)行的條件下，求所有元件都正常工作的概率．（2）請(qǐng)用pk表示p解：（1）①因?yàn)閗=2，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的可能取值為0，1，2，3；因?yàn)槊總€(gè)元件的工作相互獨(dú)立，且正常工作的概率均為p=2所以X～B3,所以PX=0PPX=2PX=3所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列為X0123P1248控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為EX②設(shè)“設(shè)備正常運(yùn)行”為事件A,“所有元件都正常工作”為事件B,則在設(shè)備正常運(yùn)行的條件下，求所有元件都正常工作的概率為P(B|A)，P(B|A)=（2）因?yàn)榭刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個(gè)元件，則設(shè)備正常運(yùn)行有三種情況，第一類：原系統(tǒng)中至少有k+1個(gè)元件正常工作，其概率為p1第二類：原系統(tǒng)中恰好有k個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件中至少有1個(gè)正常工作，其概率為p2第三類：原系統(tǒng)中有k-1個(gè)元件正常工作，新增2個(gè)元件全部正常工作，其概率為p3所以p=p即pk+1則pk+1所以，當(dāng)p>12時(shí)，當(dāng)p≤12時(shí)，p19．已知雙曲線C:x2a2-y2b2（1）求雙曲線C的方程；（2）過點(diǎn)P0(3,0)作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線C于點(diǎn)A1、B1和點(diǎn)C1、D1，M1、N1分別為弦A1B1和C1D1的中點(diǎn)，直線M1N1與x軸交于點(diǎn)P1(t1,0)；過點(diǎn)P1(t1,0)作兩條互相垂直的直線（兩條直線的斜率都存在）分別交雙曲線C于點(diǎn)（ⅰ）求數(shù)列tn（ⅱ）Qn、Rn分別在雙曲線的左支和右支上，且直線QnRn經(jīng)過點(diǎn)Pn，當(dāng)n≥