高中同步學案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征第八章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習課堂篇探究學習課標闡釋1.了解空間幾何體的分類及其相關(guān)概念.(數(shù)學抽象)2.理解棱柱、棱錐、棱臺的定義,知道這三種幾何體的結(jié)構(gòu)特征,能夠識別和區(qū)分這些幾何體.(直觀想象、邏輯推理)3.理解直棱柱、正棱柱、平行六面體、正棱錐、正棱臺的結(jié)構(gòu)特征.(直觀想象)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習激趣誘思金字塔是一種方底、尖頂?shù)氖鼋ㄖ?是古代埃及埋葬國王、王后或王室其他成員的陵墓.它既不是金子做的,也不是我們通常所見的寶塔形.由于它規(guī)模宏大,從四面看都呈等腰三角形,很像漢語中的“金”字,故中文形象地把它譯為“金字塔”.在四千多年前,生產(chǎn)工具落后,埃及人是怎樣采集并搬運數(shù)量如此之多、每塊又如此之重的巨石,壘成如此宏偉的大金字塔的呢?這真是一個十分難解的謎.知識點撥知識點一、空間幾何體的定義、分類與相關(guān)概念1.空間幾何體:如果只考慮物體的形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.2.分類:常見的空間幾何體有多面體和旋轉(zhuǎn)體兩類.3.多面體和旋轉(zhuǎn)體

類別多面體旋轉(zhuǎn)體定義一般地,由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體多面體至少由四個面圍成④一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面.⑤封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體類別多面體旋轉(zhuǎn)體相關(guān)概念①面:圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面.②棱:兩個面的公共邊叫做多面體的棱.③頂點:棱與棱的公共點叫做多面體的頂點⑥軸:形成旋轉(zhuǎn)面所繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸圖形微思考觀察下列圖片,這些都是我們?nèi)粘Ｊ熘囊恍┪矬w:1)哪些物體圍成它們的每個面都是平面圖形,并且都是平面多邊形?提示②④.(2)哪些物體圍成它們的面中既有平面圖形,又有曲面圖形?提示①③⑤.(3)哪些物體圍成它們的面都是曲面圖形?提示⑥.知識點二、棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.棱柱圖形及表示定義一般地,有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱用表示底面各頂點的字母表示.如圖棱柱可記作:棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'相關(guān)概念底面:兩個互相平行的面叫做棱柱的底面;側(cè)面:其余各面叫做棱柱的側(cè)面;側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱;頂點:側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點分類①依據(jù):底面多邊形的邊數(shù);②舉例:三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四邊形)……2.棱柱的分類

棱柱

3.常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

要點筆記棱柱的結(jié)構(gòu)特征包括兩個方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有兩種:第一種是底面,上、下共兩個底面而且是平行且全等的;第二種是側(cè)面,幾棱柱就有幾個側(cè)面,相鄰側(cè)面的公共邊即側(cè)棱都是平行的.它的棱也有兩種,一種是側(cè)棱,另一種就是底面上的邊.微思考有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形,這樣的幾何體一定是棱柱嗎?舉例說明.提示不一定.下圖的幾何體符合要求但不是棱柱.微練習下列說法正確的是(

)A.四棱柱是平行六面體B.直平行六面體是長方體C.長方體的六個面都是矩形D.底面是矩形的四棱柱是長方體答案C解析底面是平行四邊形的四棱柱才是平行六面體,選項A錯誤;底面是矩形的直平行六面體才是長方體,選項B錯誤;底面是矩形的直四棱柱才是長方體,選項D錯誤;選項C顯然正確.知識點三、棱錐的結(jié)構(gòu)特征1.棱錐圖形及表示定義一般地,有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐用表示頂點和底面各頂點的字母表示.如圖棱錐可記作:棱錐S-ABCD相關(guān)概念底面:多邊形面叫做棱錐的底面;側(cè)面:有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面;側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱;頂點:各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點分類①依據(jù):底面多邊形的邊數(shù);②舉例:三棱錐(底面是三角形)、四棱錐(底面是四邊形)……2.正棱錐:底面是正多邊形,并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.微思考有一個面是多邊形,其余各面是三角形的多面體一定是棱錐嗎?提示不一定,其余各面必須要有一個公共頂點.如圖所示的幾何體符合問題中的條件,但不是棱錐.知識點四、棱臺的結(jié)構(gòu)特征

棱臺圖形及表示定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺用表示底面各頂點的字母表示.如圖棱臺可記作:棱臺ABCD-A'B'C'D'相關(guān)概念上底面:原棱錐的截面叫做棱臺的上底面;下底面:原棱錐的底面叫做棱臺的下底面;側(cè)面:其余各面叫做棱臺的側(cè)面;側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱;頂點:側(cè)面與上(下)底面的公共頂點叫做棱臺的頂點分類①依據(jù):由幾棱錐截得;②舉例:三棱臺(由三棱錐所截得)、四棱臺(由四棱錐所截得)……名師點析(1)棱臺上、下底面互相平行,且是兩個相似的多邊形,它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高的比的平方.(2)棱臺的側(cè)面均為梯形.(3)棱臺各側(cè)棱延長線交于一點,棱臺問題可還原為棱錐問題解決.微練習(1)下列幾何體中,

是棱柱,

是棱錐,

是棱臺.(填序號)答案①③④

⑥

⑤解析

結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱,⑥是棱錐,⑤是棱臺.(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.①有兩個面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺.(

)②用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫棱臺.(

)③棱臺的各條側(cè)棱延長后必交于一點.(

)××√課堂篇探究學習探究一棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征角度1

棱柱的結(jié)構(gòu)特征例1下列關(guān)于棱柱的說法:①所有的面都是平行四邊形;②每一個面都不會是三角形;③兩底面平行,并且各側(cè)棱也平行.其中正確說法的序號是

.

答案③解析①錯誤,底面可以是其他多邊形而不光是平行四邊形;②錯誤,底面可以是三角形;③正確,由棱柱的定義可知.反思感悟關(guān)于棱柱的辨析(1)緊扣棱柱的結(jié)構(gòu)特征進行有關(guān)概念辨析.①兩個面互相平行;②其余各面是平行四邊形;③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.(2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除.特別提醒:求解與棱柱相關(guān)的問題時,首先看是否有兩個平行的面作為底面,再看是否滿足其他特征.變式訓練1關(guān)于棱柱,下列說法正確的有

.(填序號)

①被平行于底面的平面截成的兩部分可以都是棱柱;②棱柱的側(cè)棱長相等,側(cè)面都是平行四邊形;③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體.答案①②解析①正確,被平行于底面的平面截成的兩部分可以都是棱柱;②正確,由棱柱定義可知,棱柱的側(cè)棱相互平行且相等,所以側(cè)面均為平行四邊形;③不正確,上、下底面是菱形,各側(cè)面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方體.角度2

棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征例2(1)判斷如圖所示的物體是不是棱錐,為什么?(2)如圖所示的多面體是不是棱臺?解(1)該物體不是棱錐.因為棱錐的定義中要求:各側(cè)面都是有一個公共頂點的三角形,但側(cè)面ABC與側(cè)面CDE沒有公共頂點,所以該物體不是棱錐.(2)根據(jù)棱臺的定義,可以得到判斷一個多面體是棱臺的標準有兩個:一是共點,二是平行.即各側(cè)棱延長線要交于一點,上、下底面要平行,二者缺一不可.據(jù)此,圖①中多面體側(cè)棱延長線不相交于同一點,故不是棱臺;圖②中多面體側(cè)棱延長線也不相交于同一點,故不是棱臺;圖③中多面體雖是由棱錐截得的,但截面與底面不平行,因此也不是棱臺.反思感悟棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征問題的判斷方法(1)舉反例法結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接說明關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.(2)直接法類別棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形,此面即底面兩個互相平行的面,即上、下底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點變式訓練2有下列三個命題:①用一個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分是棱臺;②兩個面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺;③有兩個面互相平行,其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺.其中正確的有(

)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個答案A解析①中的平面不一定平行于底面,故①錯;②③可用反例去檢驗,如圖所示,側(cè)棱延長線不能相交于一點,故②③錯.故選A.探究二多面體表面距離最短問題例3如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點A作截面△AEF,求△AEF周長的最小值.分析把三棱錐的側(cè)面展開,當△AEF的各邊在同一直線上時,其周長最小.解將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開,并將其側(cè)面展開平鋪在一個平面上,如圖,線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值.∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,∴AA1=4,∴△AEF周長的最小值為4.要點筆記本題是多面體表面上兩點間的最短距離問題,常常要歸結(jié)為求平面上兩點間的最短距離問題.解決此類問題的方法就是先把多面體側(cè)面展開,再用平面幾何的知識來求解.變式訓練3如圖,在以O(shè)為頂點的三棱錐中,過點O的三條棱,任意兩條棱的夾角都是30°,在一條棱上有A,B兩點,OA=4,OB=3,以A,B為端點用一條繩子緊繞三棱錐的側(cè)面一周,求此繩在A,B之間的最短繩長.解作出三棱錐的側(cè)面展開圖.如圖,A,B兩點之間的最短繩長就是線段AB的長度.因為OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此繩在A,B之間最短的繩長為5.素養(yǎng)形成幾何體的平面展開圖典例(1)請畫出如圖所示的正方體的平面展開圖.(2)如圖是兩個幾何體的平面展開圖,請問各是什么幾何體?解(1)展開圖如圖所示.(答案不唯一)(2)根據(jù)平面展開圖,可知①為五棱柱,②為三棱臺.方法點睛(1)繪制展開圖:繪制多面體的平面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征,發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中,常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側(cè)面,便可得到其平面展開圖.(2)由展開圖復原幾何體:若是給出多面體的平面展開圖,來判斷是由哪一個多面體展開的,則可把上述過程逆推.同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可有多個平面展開圖.變式訓練如圖所示,不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是(

)A.①③ B.②④ C.③④ D.①②答案C解析可選擇陰影三角形作為底面進行折疊,發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體,③④無論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體.當堂檢測1.有兩個面平行的多面體不可能是(

)A.棱柱 B.棱錐C.棱臺 D.棱柱和棱臺答案B解析因為棱錐的任意兩個面都相交,不可能有兩個面平行,所以不可能是棱錐.2.棱臺不具備的性質(zhì)是(

)A.兩底面相似

B.側(cè)面都是梯形C.所有棱都相等 D.側(cè)棱延長后都交于一點答案C3.某人用如圖所示的紙片,沿折痕折疊后粘成一個四