高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI6.1平面向量的概念第六章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.通過對力、速度、位移的分析,了解向量的實(shí)際背景,理解向量的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.理解零向量、單位向量、相等向量、平行向量等概念.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思你昨天聽天氣預(yù)報了嗎?今天白天的天氣情況如何?溫度15℃~32℃,東南風(fēng)3~4級.天氣情況中涉及兩個量:一個是溫度,另一個是風(fēng)力.前者在選定單位后,用一個實(shí)數(shù)就可以確切地表示;而后者則不同,除說明它的大小外,同時還必須說明它的方向.學(xué)習(xí)數(shù)的概念時,我們可以從一支筆、一棵樹、一本書……中抽象出只有大小的數(shù)量“1”.類似地,我們可以對力、位移……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象,形成一種新的量,即本節(jié)知識——向量.知識點(diǎn)撥知識點(diǎn)一、向量的概念1.向量:在數(shù)學(xué)中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.在物理上稱為矢量

2.數(shù)量:把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.在物理上稱為標(biāo)量

要點(diǎn)筆記向量不能比較大小,這是因?yàn)橄蛄渴怯纱笮『头较騼煞矫娲_定的.向量的大小是代數(shù)特征,方向是幾何特征.微思考在物理上,位移和距離這兩個量有什么不同?提示位移既有大小又有方向,距離只有大小沒有方向.知識點(diǎn)二、向量的幾何表示及相關(guān)概念1.具有方向的線段叫做有向線段.通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示2.有向線段的三個要素:起點(diǎn)、方向、長度.知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長度,它的終點(diǎn)就唯一確定了.4.長度為0的向量叫做零向量,記作0.5.長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量.6.向量也可以用字母a,b,c,…表示.要點(diǎn)筆記(1)零向量的長度為0,方向不確定.(2)單位向量只規(guī)定了向量的大小(模長為1),并沒有規(guī)定向量的方向,所以同一起點(diǎn)的單位向量有無數(shù)個,它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個單位圓.微練習(xí)(1)下列說法正確的是(

)A.身高是一個向量B.溫度有零上溫度和零下溫度之分,故溫度是向量C.有向線段由方向和長度兩個要素確定(2)下列說法正確的是(

)A.向量的模是一個正實(shí)數(shù)B.零向量沒有方向C.單位向量的模等于1個單位長度D.零向量就是實(shí)數(shù)0答案(1)D

(2)C知識點(diǎn)三、相等向量與向量共線1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a與b平行,記作a∥b.平行向量也叫做共線向量.2.我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a.3.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.兩個向量a與b相等,記作a=b.要點(diǎn)筆記向量共線包括四種情況:方向相同,模相等;方向相同,模不等;方向相反,模相等;方向相反,模不等.微練習(xí)下列說法正確的是(

)A.所有單位向量都是相等向量B.與實(shí)數(shù)類似,對于兩個向量a,b,有a=b,a>b,a<b三種關(guān)系C.兩個向量平行時,表示向量的有向線段所在的直線一定平行D.若兩個向量是向量共線,則向量所在的直線可以平行,也可以重合答案D解析所有單位向量的模都相等,都為1,但方向不確定,故A不正確.向量不能比較大小,故B不正確;由平行向量的定義知,D正確,C不正確.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一平面向量的相關(guān)概念例1已知下列說法:①若|a|=0,則a為零向量;②若|a|=|b|,則a=b;③若a∥b,則|a|=|b|;④兩個有共同起點(diǎn),而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同.其中正確的有(

)A.1個 B.2個

C.3個 D.4個答案B解析①正確;②由|a|=|b|得a與b的模相等,但不確定方向,故②錯誤;③錯誤;④正確.反思感悟明確向量及其相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別(1)區(qū)分向量與數(shù)量.向量既強(qiáng)調(diào)大小,又強(qiáng)調(diào)方向,而數(shù)量只與大小有關(guān).(2)明確向量與有向線段的區(qū)別.有向線段有三要素,起點(diǎn)、方向、長度.只要起點(diǎn)不同,另外兩個要素相同也不是同一條有向線段,但決定向量的要素只有兩個,大小和方向,與表示向量的有向線段的起點(diǎn)無關(guān).(3)零向量和單位向量都是通過模的大小來確定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫向量共線,當(dāng)兩向量共線的方向相同且模相等時,兩向量為相等向量.(5)向量之間不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小.變式訓(xùn)練1給出以下說法:①若,則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn);②零向量的長度為零,方向是任意的;③有向線段就是向量;④單位向量大于零向量.其中正確說法的序號是

.

答案②解析A,B,C,D可能共線,故①錯誤;由零向量的定義可知②正確;有向線段可以用來表示向量,但它不是向量,故③錯誤;單位向量的模大于零向量的模,但不能說單位向量大于零向量,向量之間不能比較大小,故④錯誤.探究二平面向量的表示例2在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格的邊長均為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:分析先確定起點(diǎn),再根據(jù)大小和方向確定出終點(diǎn),即可畫出向量.要點(diǎn)筆記1.準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn),再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).2.注意事項:在書寫字母表示向量時不要忘記字母上的箭頭.變式訓(xùn)練2如圖,B,C是線段AD的三等分點(diǎn),分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn),可以寫出

個向量.

答案12解析由向量的幾何表示可知,可以寫出12個向量,它們分別是

探究三尋找相等向量和向量共線例3如圖所示,四邊形ABCD為邊長為3的正方形,把各邊三等分后,共有16個交點(diǎn),從中選取兩個交點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn),則與

平行且長度為2的向量有哪些?(在圖中標(biāo)出相關(guān)字母,寫出這些向量)分析所求向量有以下兩個特征:(1)表示此向量的有向線段所在直線與AC平行或重合.(2)長度等于邊長為2的正方形的對角線的長度.反思感悟相等向量與向量共線的探求方法(1)尋找相等向量:先找與已知向量長度相等的向量,再確定哪些與已知向量同向.(2)尋找向量共線:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn),起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.素養(yǎng)形成數(shù)形結(jié)合思想在向量中的應(yīng)用典例已知A1,A2,…,A8是圓O的八個等分點(diǎn),則在以A1,A2,…,A8以及圓心這九個點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中,模等于半徑長的向量有多少個?模等于半徑長的

倍的向量有多少個?(2)以A1,A2,…,A8的一部分點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓O的內(nèi)接正方形有兩個,一個是正方形A1A3A5A7,另一個是正方形A2A4A6A8.在所有的向量中,只有這兩個正方形的邊(看成有向線段,每一邊對應(yīng)兩個向量)的長度為半徑長的

倍,所以模為半徑長的

倍的向量共有4×2×2=16(個).當(dāng)堂檢測1.下列各量是向量的是(

)A.時間 B.速度C.面積 D.長度答案B解析速度既有大小又有方向,是向量,其余均是數(shù)量.2.給出以下說法:①零向量的長度為零,方向是任意的;②共線向量是在同一條直線上的向量;③向量

相等;④若兩個向量是相等向量,則它們一定是向量共線.其中正確說法的序號是(

)A.①④

B.②C.①③④ D.②③答案A解析根據(jù)零向量的定義可知①正確;向量共線可以是在同一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故②錯誤;向量

模相等,方向相反,故③錯誤.④顯然正確,故選A.答案D4.已知在邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC=60