高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI8.4.1平面第八章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標闡釋1.了解平面的概念,會用圖形與字母表示平面.(數(shù)學(xué)抽象)2.能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.能用圖形、文字、符號三種語言描述三個基本事實(基本事實也稱公理)及其推論.(邏輯推理、直觀想象)4.理解三個基本事實及推論的地位和作用.(邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思在數(shù)學(xué)語言的研究中,通常按數(shù)學(xué)語言所使用的主要詞匯,將數(shù)學(xué)語言分為三種:文字語言、符號語言、圖形語言.例如“點A在直線l上”是利用文字來描述,以語言的形式表達出來的,因而稱其為該定理的文字語言;“A∈l”是用符號的形式將定理表達出來,因而稱其為符號語言;如果我們以圖例或?qū)嵨飦肀硎径ɡ淼臈l件和結(jié)論,則稱其為該定理的圖形語言.通過文字語言表達數(shù)學(xué)問題,言簡意賅,寓意深刻;通過符號語言表達數(shù)學(xué)問題,簡明扼要,國際通行;通過圖形語言表達數(shù)學(xué)問題,形象生動,記憶深刻.幾種語言各有特點,在學(xué)習(xí)立體幾何時,應(yīng)充分發(fā)揮不同語言的教育功能.知識點撥知識點一、平面

平面的描述性概念幾何里所說的“平面”,就是從生活中一些物體中抽象出來的.平面是向四周無限延展的

我們通常用矩形的直觀圖,即平行四邊形表示平面畫法水平放置常把平行四邊形的一邊畫成橫向豎直放置常把平行四邊形的一邊畫成豎向記法(1)用希臘字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并將它寫在代表平面的平行四邊形的一個角內(nèi)(2)用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱,如平面ABCD(3)用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱,如平面AC或者平面BD名師點析平面的概念可從以下三個方面理解(1)“平面”是平的;(2)“平面”無厚度;(3)“平面”可以向四周無限延展.微練習(xí)判斷下列說法是否正確,并說明理由.(1)平面的形狀是平行四邊形;(2)任何一個平面圖形都是一個平面;(3)兩個平面相交的畫法中,一個平面被另一個平面遮住時,被遮部分的線段應(yīng)畫成虛線或不畫;(4)三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面.解(1)不正確.平面常用平行四邊形表示,但不是平行四邊形,平面是無限延展的.(2)不正確.平面圖形與平面是兩個不同的概念,平面圖形具有大小、面積等屬性,而平面則沒有,平面是無限延展的,不可度量的.(3)正確.符合直觀圖畫法的規(guī)則.(4)正確.三角形、圓、平行四邊形都是平面圖形,都可以表示平面.知識點二、點、直線、平面之間的位置關(guān)系

微練習(xí)如圖,點A

平面ABC;點A

平面BCD;BD

平面ABD;平面ABC∩平面BCD=

.答案∈

?

?

BC知識點三、平面的基本性質(zhì)1.平面的基本性質(zhì)基本事實內(nèi)容圖形符號作用基本事實1過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面A,B,C三點不共線?存在唯一的平面α使A,B,C∈α(1)確定平面的依據(jù);(2)判定點、線共面基本事實內(nèi)容圖形符號作用基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α判定直線是否在平面內(nèi)基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l(1)判定兩個平面相交的依據(jù);(2)判定點在直線上2.三個推論

推論內(nèi)容圖形推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面推論2經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面微思考(1)如何理解基本事實1中的“有且只有一個”?提示這里的“有”是說平面存在,“只有一個”是說平面唯一,本公理強調(diào)的是存在性和唯一性兩個方面,因此“有且只有一個”,必須完整地使用,不能僅用“只有一個”來代替“有且只有一個”,否則就沒有表達存在性.確定一個平面中的“確定”是“有且只有一個”的同義詞,也就是存在性和唯一性這兩個方面的,這個術(shù)語今后學(xué)習(xí)中會經(jīng)常出現(xiàn).(2)兩個不重合的平面可能存在有限個公共點嗎?提示不能.要么沒有公共點,要么有無數(shù)個公共點.(3)如果兩個不重合的平面有無數(shù)個公共點,那么這些公共點有什么特點?提示這些公共點落在同一條直線上.微練習(xí)空間任意四點最多可以確定平面的個數(shù)是(

)A.1

B.2 C.3 D.4答案D解析

空間任意四點最多可以確定平面的個數(shù)是4,例如空間任意四點為三棱錐A-BCD的頂點時,可以確定平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一證明點、線共面例1證明:兩兩相交且不過同一點的三條直線共面.已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求證:直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).分析先由l1與l2確定一個平面,再證明l3在這個平面內(nèi).也可以證明l1,l2確定的平面α與l2,l3確定的平面β重合.證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2?α,∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3?α.∴直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).方法二(輔助平面法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1,l2確定一個平面α.∵l2∩l3=B,∴l(xiāng)2,l3確定一個平面β.∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共線的三個點A,B,C既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi).∴平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).反思感悟證明點、線共面問題常用方法有:(1)先由部分點、線確定一個面,再證其余的點、線都在這個平面內(nèi),即用“納入平面法”;(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α,其余點、線確定另一個平面β,再證平面α與β重合,即用“輔助平面法”;(3)假設(shè)不共面,結(jié)合題設(shè)推出矛盾,用“反證法”.注意:在遇到文字敘述的結(jié)論時,一定要先根據(jù)題意畫出圖形,結(jié)合圖形寫出已知與求證,再證明.延伸探究如果把本例中的“不過同一點”刪掉,那么這三條直線是否共面?解不一定共面.①若三條直線兩兩相交,且過同一個點.這三條直線在同一個平面內(nèi)相交,如圖.這三條直線不共面.如圖.②若三條直線兩兩相交,且不過同一個點,由【例1】可知,這三條直線共面.探究二證明點共線例2已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如圖.求證:P,Q,R三點共線.分析證明P,Q,R三點既在平面ABC內(nèi),也在平面α內(nèi),即得P,Q,R共線.也可以證明點Q既在平面APR內(nèi),也在平面α內(nèi),即點Q在平面APR與平面α的交線PR上.證明(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知點P在平面ABC與平面α的交線上,同理可證Q,R也在平面ABC與平面α的交線上,∴P,Q,R三點共線.(方法二)∵AP∩AR=A,∴直線AP與直線AR確定平面APR.又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC?平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三點共線.反思感悟點共線:證明多點共線通常利用基本事實3,即兩相交平面交線的唯一性,通過證明點分別在兩個平面內(nèi),證明點在相交平面的交線上;也可先選擇其中兩點確定一條直線,再證明其他點也在其上.變式訓(xùn)練1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)A1C∩平面ABC1D1=E.則B,E,D1三點的關(guān)系為

.(填“共線”或“不共線”)

答案共線

解析如圖所示,連接A1B,BD1,CD1.∵A1C∩平面ABC1D1=E,∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.∵A1C?平面A1BCD1,∴E∈平面A1BCD1.∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1,∴E∈BD1,∴B,E,D1三點共線.探究三證明線共點例3如圖所示,三個平面α,β,γ兩兩相交于不同的直線,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直線a和b不平行,求證:a,b,c三條直線必過同一點.分析由a,b都在平面γ內(nèi)且不平行,得a,b相交,再證明交點在c上,即證明交點在以c為交線的兩個平面α,β內(nèi).證明∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a?γ,b?γ.∵直線a和b不平行,∴a,b必相交.如圖所示,設(shè)a∩b=P,則P∈a,P∈b.∵a?β,b?α,∴P∈β,P∈α.又α∩β=c,∴P∈c,即交線c經(jīng)過點P.∴a,b,c三條直線必過同一點.要點筆記證明三線共點常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點,再說明這個點在以另一條直線為交線的兩個平面內(nèi),即該點在另一條直線上,則可得三線共點.變式訓(xùn)練2如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點,G,H分別是CD和AD上的點,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點.證明延長EH,FG,不妨設(shè)EH∩FG=O,∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,∴四邊形EFGH為梯形,∴EH,FG共面,且EH與FG不平行.∵O∈EH,EH?平面ABD,∴O∈平面ABD,∵O∈FG,FG?平面BCD,∴O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,∴EH,BD,FG三條直線相交于同一點O.素養(yǎng)形成轉(zhuǎn)化思想在文字語言、圖形語言與符號語言中的應(yīng)用典例(1)用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.①三個平面α,β,γ相交于一點P,且平面α與平面β相交于PA,平面α與平面γ相交于PB,平面β與平面γ相交于PC;②平面ABD與平面BDC相交于BD,平面ABC與平面ADC相交于AC.(2)用文字語言和符號語言表示下圖.分析(1)根據(jù)條件,先適當確定其中的某一個平面,再根據(jù)點、線、面的位置關(guān)系,將其附著于固定平面上,注意圖形的立體感,要將被遮擋部分用虛線表示.(2)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,應(yīng)仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何.解(1)①符號語言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC;圖形表示如圖①所示.②符號語言:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;圖形表示如圖②所示.

①

②

(2)文字語言:平面α內(nèi)的直線m和n相交于點A.符號語言:m?α,n?α,且m∩n=A.方法點睛用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先仔細觀察圖形,有幾個平面且位置關(guān)系如何,有幾條直線且位置關(guān)系如何,圖中的直線和平面的位置關(guān)系如何,有幾點且在哪條直線或哪個平面上等,試著用文字語言表示,然后用符號語言表示.根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時,要注意實線和虛線的區(qū)別.變式訓(xùn)練下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面,其中畫法正確的是(

)答案D解析選項A錯誤,理由是兩平面的交線沒畫出,且被遮擋的部分未用虛線畫出;選項B,C都錯誤,理由是被遮擋的部分未用虛線畫出.D正確.當堂檢測1.下列說法正確的是(

)A.鏡面是一