第一章5.2余弦函數的圖象與性質再認識基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.會用五點法畫出余弦函數的圖象.2.能夠根據余弦函數的圖象求滿足條件的角的范圍.3.能結合余弦函數的圖象理解余弦函數的性質.4.會求余弦函數的定義域、值域、最值.5.會求余弦函數的單調區(qū)間,能根據單調性比較大小.6.會判斷有關函數的奇偶性.基礎落實·必備知識一遍過知識點一

余弦函數的圖象

左

(0,1)(π,-1)(2π,1)名師點睛1.余弦函數圖象中五點的確定y=cos

x,x∈[0,2π]的圖象上的關鍵五點分為兩類:①圖象與x軸的交點;思考辨析如何由正弦曲線得到余弦曲線?自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)函數y=cosx的圖象與y軸只有一個交點.(

)(2)函數y=sinx,x∈

的圖象與函數y=cosx,x∈[0,2π]的圖象的形狀完全一致.(

)(3)因為y=cosx,x∈R是偶函數,所以y=cosx+5與y=cos(x+5)均是偶函數.(

)(4)函數y1=|sinx|與y2=|cosx|,x∈R的周期均為

.(

)√√××2.請根據圖象,寫出與余弦函數有關的函數解析式.解

y=2cos

x+1,x∈[0,2π].知識點二

余弦函數y=cos

x的性質

函數y=cosx定義域

值域

奇偶性

函數

單調性在區(qū)間

上都單調遞增;

在區(qū)間

上都單調遞減

R[-1,1]偶

[(2k-1)π,2kπ],k∈Z[2kπ,(2k+1)π],k∈Z周期性最小正周期是

最值當

時,余弦函數取得最大值1;

當

時,余弦函數取得最小值-1

對稱軸x=kπ,k∈Z對稱中心2π

x=2kπ,k∈Zx=(2k+1)π,k∈Z名師點睛1.余弦函數有單調區(qū)間,但不是定義域上的單調函數,即余弦函數在整個定義域內不單調.2.余弦函數圖象的對稱軸一定過余弦函數圖象的最高點或最低點,即此時的余弦函數值取最大值或最小值.3.利用余弦函數的單調性比較兩個余弦函數值的大小,必須先看兩角是否同屬于這一函數的同一單調區(qū)間,若不屬于,先化至同一單調區(qū)間內,再比較大小.思考辨析“余弦函數在第一象限是增函數”,這一說法對嗎?提示

錯誤.因為在第一象限的單調遞增區(qū)間有無窮多個,所以不能看作一個單調區(qū)間.自主診斷1.[人教B版教材例題]求下列函數的值域.(1)y=-3cosx+1;(2)y=(cosx+)2-3.解

(1)因為-1≤cos

x≤1,所以3≥-3cos

x≥-3,且-2≤-3cos

x+1≤4,即-2≤y≤4.當cos

x=1時,ymin=-2;當cos

x=-1時,ymax=4.2.判斷下列函數的奇偶性.(1)y=cosx+2;(3)y=sinxcosx.解

(1)把函數y=cos

x+2記作f(x)=cos

x+2,因為定義域為R,且f(-x)=cos(-x)+2=cos

x+2=f(x),所以y=cos

x+2是偶函數.(2)把函數y=sin

xcos

x記作f(x)=sin

xcos

x,因為定義域為R,且f(-x)=sin(-x)cos(-x)=(-sin

x)cos

x=-f(x),所以y=sin

xcos

x是奇函數.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一用五點法作余弦函數的圖象【例1】

畫出函數y=2cosx+3,x∈[0,2π]的圖象.解

(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來,如圖所示.規(guī)律方法

用五點法畫函數y=Acos

x+b(A≠0),x∈[0,2π]的圖象的步驟(1)列表:(2)描點:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來.變式訓練1作出函數y=-cosx+1,x∈[0,2π]的圖象.解

(1)列表:(3)連線:用光滑的曲線將描出的五個點順次連接起來,如圖所示.探究點二根據余弦函數的圖象求角的范圍【例2】

利用余弦函數的圖象,求滿足cosx≤的x的集合.規(guī)律方法

用余弦函數圖象解不等式的步驟(1)作出余弦函數在區(qū)間[0,2π]上的圖象;(2)寫出不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集;(3)根據余弦函數周期確定取值范圍.變式訓練2滿足cosx>0,x∈[0,2π]的x的取值范圍為

.

探究點三求與余弦函數有關的定義域問題★(2)已知函數f(x)的定義域為[0,1),求f(cosx)的定義域;規(guī)律方法

利用余弦函數圖象處理函數的定義域問題一些函數的定義域可以借助函數圖象直觀地觀察得到,但同時要注意區(qū)間端點的取舍.探究點四與余弦函數有關的奇偶性、對稱性問題【例4】

判斷下列函數的奇偶性:(1)f(x)=xcosx;解

(1)定義域為R,且f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos

x=-f(x),因此函數f(x)是奇函數.規(guī)律方法

判斷與余弦函數有關函數奇偶性的處理方法(1)判斷函數的奇偶性時,必須先檢查其定義域是否關于原點對稱.如果是,再驗證f(-x)是否等于-f(x)或f(x),進而判斷函數的奇偶性;如果不是,那么該函數既不是奇函數,也不是偶函數.(2)判斷與余弦函數有關的函數的奇偶性時,需注意誘導公式的合理運用.變式訓練4函數y=-xcosx的部分圖象是下圖中的(

)D探究點五余弦函數單調性的應用【例5】

(1)函數y=3-2cosx的單調遞增區(qū)間為

.

[2kπ,π+2kπ](k∈Z)

解析

y=3-2cos

x與y=3+2cos

x的單調性相反,由y=3+2cos

x的單調遞減區(qū)間為[2kπ,π+2kπ](k∈Z),得y=3-2cos

x的單調遞增區(qū)間為[2kπ,π+2kπ](k∈Z).規(guī)律方法

單調性是對一個函數的某個區(qū)間而言的,不同函數,不在同一單調區(qū)間內時,應先用誘導公式進行適當轉化,轉化到同一單調區(qū)間內,再利用函數的單調性比較大小.變式訓練5cos1,cos2,cos3的大小關系是

.(用“>”連接)

cos1>cos2>cos3解析

由于0<1<2<3<π,而y=cos

x在(0,π)上單調遞減,所以cos

1>cos

2>cos

3.探究點六求與余弦函數有關的值域與最值問題【例6】

(1)設M和m分別是函數y=cosx-1的最大值和最小值,則M+m=

.

-2(2)函數y=cos2x-4cosx+5的值域為

.

[2,10]解析

令t=cos

x,則-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以當t=-1時,y取得最大值10,當t=1時,y取得最小值2.所以y=cos2x-4cos

x+5的值域為[2,10].規(guī)律方法

求余弦函數值域的常用方法(1)求解形如y=acos

x+b(a≠0)的函數的最值或值域問題時,利用余弦函數的有界性(-1≤cos

x≤1)求解.求余弦函數取最值時相應自變量x的集合時,要注意考慮余弦函數的周期性.(2)求解形如y=acos2x+bcos

x+c(a≠0)的函數的最值或值域問題時,通過換元,令t=cos

x,將原函數轉化為關于t的二次函數,利用配方法求值域或最值即可.求解過程中要注意t=cos

x的有界性.變式訓練6(1)函數y=-cos2x+cosx的值域為

.

★(2)函數y=-cos2x+cosx,x∈[0,]的值域為

.

本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)五點(畫圖)法;(2)余弦函數的性質;(3)余弦函數性質的應用.2.方法歸納:數形結合、換元法.3.常見誤區(qū):單調區(qū)間漏寫k∈Z;求值域時忽視cos

x本身的范圍.學以致用·隨堂檢測促達標12345A.是奇函數B.是偶函數C.既不是奇函數也不是偶函數D.既是奇函數也是偶函數A123452.函數y=cosx-2在區(qū)間[-π,π]上的圖象是(

)A解析

把y=cos

x,x∈[-π,π]的圖象向下平移2個單位長度即可.123453.函數y=1+cosx的最大值為(

)A.0 B.1 C.2 D.3C解析

因為-1≤cos

x≤1,所以y=1+cos

x的最大值為2,當x=2kπ,k∈Z時,取得最大值.故選C.123454.(多選)已知函數f(x)=2cosx+1,下列結論正確的有(

)A.函數f(x)的值域為[-1,3]B.函數f(x)的圖象的一條對稱軸為直線x=πC.函數f(x)的圖象的一個對稱中心為(,1)D.函數y=f(x+)為奇函數ABC12345解析

對于A,因為cos

x∈[-1,1],