高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI10.1.4概率的基本性質(zhì)第十章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解概率的6條基本性質(zhì),重點(diǎn)掌握性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.(數(shù)學(xué)抽象)3.能靈活運(yùn)用這幾條重要性質(zhì)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)化歸能力.(數(shù)學(xué)建模、邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思因?yàn)樯猩目赡苄允窍嗟鹊?所以有些人推測(cè)男嬰和女?huà)氲某錾鷶?shù)的比值應(yīng)當(dāng)是1∶1,可事實(shí)并非如此.1814年,法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在他的新作《概率的哲學(xué)探討》一書(shū)中,記載了一個(gè)有趣的統(tǒng)計(jì).他根據(jù)倫敦、彼得堡、柏林和全法國(guó)的統(tǒng)計(jì)資料,得出了幾乎完全一致的男嬰和女?huà)氤錾鷶?shù)的比值22∶21,即在全體出生嬰兒中,男嬰占51.16%,女?huà)胝?8.84%.可奇怪的是,當(dāng)他統(tǒng)計(jì)1745年到1784年整整四十年間巴黎男嬰出生率時(shí),卻得到了另一個(gè)比值25∶24,男嬰占51.02%,與51.16%相差0.14%.對(duì)于這千分之一點(diǎn)四的微小差異,拉普拉斯感到困惑不解,于是,他進(jìn)行了深入的調(diào)查研究,終于發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí)巴黎人“重男輕女”,有拋棄女?huà)氲穆?以至于歪曲了出生率的事實(shí)真相,經(jīng)過(guò)修正,巴黎的男嬰和女?huà)氲某錾鷶?shù)的比值依然是22∶21.知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)、概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0性質(zhì)2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

體現(xiàn)“正難則反”的思想

性質(zhì)5如果A?B,那么P(A)≤P(B)性質(zhì)6

這兩個(gè)事件是任意事件

設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)名師點(diǎn)析(1)對(duì)于P(A∪B)=P(A)+P(B)應(yīng)用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個(gè)事件的情況.如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.(2)若A與B互為對(duì)立,則有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)=1,并不能得出A與B互為對(duì)立.(3)對(duì)于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),當(dāng)A∩B=?時(shí),就是性質(zhì)3.微思考在同一試驗(yàn)中,設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件,若A∩B=?,則稱A與B是兩個(gè)對(duì)立事件,此說(shuō)法對(duì)嗎?提示不對(duì),若A∩B=?,僅能說(shuō)明A與B的關(guān)系是互斥的,只有A∪B為必然事件,A∩B為不可能事件時(shí),A與B才互為對(duì)立事件.微練習(xí)(1)(多選題)拋擲一枚骰子1次,記“向上的點(diǎn)數(shù)大于3”為事件A,“向上的點(diǎn)數(shù)小于3”為事件B,“向上的點(diǎn)數(shù)小于4”為事件C,“向上的點(diǎn)數(shù)小于5”為事件D,則下列說(shuō)法正確的有(

)A.A與B是互斥事件但不是對(duì)立事件B.A與C是互斥事件也是對(duì)立事件C.A與D是互斥事件D.C與D不是對(duì)立事件也不是互斥事件(2)事件A與B是對(duì)立事件,且P(A)=0.2,則P(B)=

.

(3)擲一枚均勻的正六面體骰子,設(shè)A=“出現(xiàn)3點(diǎn)”,B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”,則P(A∪B)=

.

(4)甲、乙兩人各射擊一次,命中率分別為0.8和0.5,兩人同時(shí)命中的概率為0.4,則甲、乙兩人至少有一人命中的概率為

.

答案

(1)ABD

(2)0.8

(3)

(4)0.9解析

(1)在A中,A與B不能同時(shí)發(fā)生,但能同時(shí)不發(fā)生,是互斥事件但不是對(duì)立事件,故A正確;在B中,A與C是互斥事件也是對(duì)立事件,故B正確;在C中,A與D能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故C錯(cuò)誤;在D中,C與D能同時(shí)發(fā)生,不是對(duì)立事件也不是互斥事件,故D正確.(2)因?yàn)锳與B是對(duì)立事件,所以P(A)+P(B)=1,即P(B)=1-P(A)=0.8.(4)設(shè)事件A=“甲命中”,事件B=“乙命中”,則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件A∪B,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.5-0.4=0.9.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一互斥、互為對(duì)立事件的判斷例1判斷下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是對(duì)立事件,并說(shuō)明理由.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是女生.分析根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義來(lái)判斷.解(1)是互斥事件.理由是在所選的2名同學(xué)中,“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)是選出“1名男生和1名女生”,它與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生,所以是互斥事件.不是對(duì)立事件.理由是當(dāng)選出的2名同學(xué)都是女生時(shí),這兩個(gè)事件都沒(méi)有發(fā)生,所以不是對(duì)立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”這兩種結(jié)果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”這兩種結(jié)果,當(dāng)選出的是1名男生、1名女生時(shí),它們同時(shí)發(fā)生.(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”這兩種結(jié)果,它與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生.是對(duì)立事件.這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生,且必有一個(gè)發(fā)生,所以是對(duì)立事件.反思感悟1.判斷互斥事件和對(duì)立事件時(shí),主要用定義來(lái)判斷.當(dāng)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生時(shí),這兩個(gè)事件是互斥事件;當(dāng)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生時(shí),這兩個(gè)事件是對(duì)立事件.2.當(dāng)事件的構(gòu)成比較復(fù)雜時(shí),可借助于集合的思想方法進(jìn)行互斥事件、對(duì)立事件的判定.延伸探究在本例中,若從中任選3名同學(xué)呢?試分析問(wèn)題(1),(2)的兩個(gè)事件之間的關(guān)系.解(1)是互斥事件.理由是在所選的3名同學(xué)中“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)是選出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”實(shí)質(zhì)是選出“2名男生和1名女生”,顯然兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生,是互斥事件;兩個(gè)事件不是對(duì)立事件,因?yàn)楫?dāng)選出“3名男生”時(shí),兩個(gè)事件可以同時(shí)不發(fā)生.綜上,兩個(gè)事件是互斥事件,但不是對(duì)立事件.(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生2名女生”“有2名男生1名女生”“有3名男生”三種結(jié)果;“至少有1名女生”則包含“1名女生2名男生”“2名女生1名男生”,顯然兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生,所以不是互斥事件,更不是對(duì)立事件.探究二互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用例2已知事件E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,則P(F)=

.

分析由E,F互斥,得到P(F)=P(E∪F)-P(E),由此能求出結(jié)果.答案0.6解析∵E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,∴P(F)=P(E∪F)-P(E)=0.8-0.2=0.6.例3玻璃盒子裝有各種顏色的球共12個(gè),其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球,從中任取1個(gè)球.設(shè)事件A=“取出1個(gè)紅球”,事件B=“取出1個(gè)黑球”,事件C=“取出1個(gè)白球”,事件D=“取出1個(gè)綠球”,且(1)“取出1球?yàn)榧t球或黑球”的概率;(2)“取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率.分析先判斷各事件間的關(guān)系,再用公式求解.(方法二)“取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球”的對(duì)立事件為“取出1球?yàn)榫G球”,即A∪B∪C的對(duì)立事件為D,所以“取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球”的概率為反思感悟1.將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的若干個(gè)事件的和,利用概率的加法公式求解.互斥事件的概率加法公式可以推廣為P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),其使用的前提條件仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.在將事件拆分成若干個(gè)互斥事件時(shí),注意不能重復(fù)和遺漏.2.當(dāng)所要拆分的事件非常煩瑣,而其對(duì)立事件較為簡(jiǎn)單時(shí),可先求其對(duì)立事件的概率,再運(yùn)用公式求解.但是一定要找準(zhǔn)其對(duì)立事件,避免錯(cuò)誤.探究三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例4某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名,各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表:性別七年級(jí)八年級(jí)九年級(jí)女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到八年級(jí)女生的概率為0.19.(1)求x的值;(2)現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生,問(wèn):應(yīng)在九年級(jí)中抽取多少名?(3)已知y≥245,z≥245,求九年級(jí)中女生比男生少的概率.(2)九年級(jí)人數(shù)為y+z=2000-(373+377+380+370)=500,現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣(3)設(shè)九年級(jí)女生比男生少為事件A,九年級(jí)女生數(shù)、男生數(shù)記為(y,z),由(2)知y+z=500,y,z∈N.滿足題意的所有樣本點(diǎn)是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11個(gè),其中事件A包含的樣本要點(diǎn)筆記求某些較復(fù)雜事件的概率,通常有兩種方法:一是將所求事件的概率轉(zhuǎn)化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式求此事件的概率.這兩種方法可使復(fù)雜事件概率的計(jì)算得到簡(jiǎn)化.變式訓(xùn)練2體育測(cè)試成績(jī)分為四個(gè)等級(jí):優(yōu)、良、中、不及格.某班50名學(xué)生參加測(cè)試結(jié)果如下:等級(jí)優(yōu)(86~100分)良(75~85分)中(60~74分)不及格(1~59分)人數(shù)521222(1)估計(jì)該班學(xué)生體育測(cè)試的平均成績(jī)(注:同組數(shù)據(jù)可用組中值替代);(2)從該班任意抽取1名學(xué)生,求這名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”或“良”的概率.解(1)估計(jì)該班學(xué)生體育測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?/p>

(2)記“測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)或良”為事件A,“測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)”為事件A1,“測(cè)試成績(jī)?yōu)榱肌睘槭录嗀2,則事件A1,A2是互斥的.因?yàn)楫?dāng)事件A1,A2之一發(fā)生時(shí),事件A發(fā)生,所以由互斥事件的概率加法公式,得任意抽取1名學(xué)生測(cè)試成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”或“良”的概率為P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)探究四概率一般加法公式的應(yīng)用例5甲、乙、丙、丁四人參加4×100米接力賽,他們跑每一棒的概率均為

.求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.記甲跑第x棒,乙跑第y棒為(x,y),則共有可能結(jié)果12種,樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一種結(jié)果,即(1,4),要點(diǎn)筆記1.對(duì)于互斥事件可直接結(jié)合A∪B,A,B,A∩B的含義進(jìn)行求解.2.若該事件不是互斥事件,則需要套用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),特別要注意P(A∩B)的數(shù)值.變式訓(xùn)練3在所有的兩位數(shù)(10~99)中,任取一個(gè)數(shù)恰好能被2或3整除的概率是(

)答案C素養(yǎng)形成用逆向思維方法處理概率問(wèn)題典例甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽,共有5個(gè)不同的題目.其中,選擇題3個(gè),判斷題2個(gè),甲、乙兩人各抽一題.(1)甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題,另一個(gè)抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?解把3個(gè)選擇題記為x1,x2,x3,2個(gè)判斷題記為p1,p2.用y1,y2分別表示甲、乙抽到的題目,則數(shù)組(y1,y2)可表示樣本點(diǎn).樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為20.設(shè)A=“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”,則A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},共6種;B=“甲抽到判斷題,乙抽到選擇題”,則B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},共6種;C=“甲、乙都抽到選擇題”,則C={(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2)},共6種;D=“甲、乙都抽到判斷題”,則D={(p1,p2),(p2,p1)},共2種.方法點(diǎn)睛在求解復(fù)雜的事件的概率時(shí),通常有兩種方法,一是將所求事件的概率轉(zhuǎn)化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的對(duì)立事件的概率,特別是在涉及“至多”或“至少”問(wèn)題時(shí),常常用此思維模式.再利用P(A)=1-P()來(lái)得出原問(wèn)題的解.這種處理問(wèn)題的方法稱為逆向思維,有時(shí)能使問(wèn)題的解決事半功倍.當(dāng)堂檢測(cè)1.(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.若A,B互為對(duì)立事件,P(A)=1,則P(B)=0B.若事件A,B,C兩兩互斥,則事件A與B∪C互斥C.若事件A與B為兩個(gè)隨機(jī)事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)D.若事件A與B互斥,則它們的對(duì)立事件也互斥答案CD解析若A,B互為對(duì)立事件,P(A)=1,則P(B)=1-P(A)=0,故A正確;若事件A,B,C兩兩互斥,則事件A,B,C不能同時(shí)發(fā)生,則事件A與B∪C也不可能同時(shí)發(fā)生,則事件A與B∪C互斥,故B正確;當(dāng)A與B為互斥事件時(shí),才有P(A∪B)=P(A)+P(B),對(duì)于任意兩個(gè)事件A,B滿足P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故C錯(cuò)誤;若事件A,B互斥但不對(duì)立,則它們的對(duì)立事件不互斥,故D錯(cuò)誤.答案C3.(2021天津南開(kāi)期末)為迎接2022年北京冬奧會(huì),某工廠生產(chǎn)了一批滑雪板,這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品、二等品、三等品.從這批滑雪板中隨機(jī)抽取一件滑雪板檢測(cè),已知抽到不是三等品的概率為0.97,抽到一等品或三等品的概率為0.88,則抽到一等品的概率為

.

答案0.85解析某工廠生產(chǎn)了一批滑雪板,這批產(chǎn)品中按質(zhì)量分為一等品、二等品、三等品.從這批滑雪板中隨機(jī)抽取一件滑