INNOVATIVEDESIGN第8節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布011.理解二項分布、超幾何分布的概念,能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念,并進行簡單應用.CONTENTS目錄01知識診斷自測02考點聚焦突破03課時對點精練ZHISHIZHENDUANZICE知識診斷自測021.n次獨立試驗與二項分布(1)n次獨立重復試驗在相同條件下重復n次伯努利試驗時,人們總是約定這n次試驗是__________的,此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗.相互獨立(2)二項分布一般地,如果一次伯努利試驗中,出現“成功”的概率為p,記q=________,且n次獨立重復試驗中出現“成功”的次數為X,則X的取值范圍是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=___________,k=0,1,…,n,因此X的分布列如表所示

1-p

X01…k…nP…________…

X服從參數為n,p的二項分布,記作X~B(n,p).2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=____,D(X)=___________.(2)若X~B(n,p),則E(X)=______,D(X)=__________.pp(1-p)npnp(1-p)3.超幾何分布一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數,則X的分布列為P(X=k)=_______,k=t,t+1,t+2,…,s,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,t=max{0,n-N+M},s=min{n,M},如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

E(X)

(2)正態(tài)曲線的一些性質①正態(tài)曲線關于________對稱(即μ決定正態(tài)曲線對稱軸的位置),具有中間高、兩邊低的特點;②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為____;③σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”;σ越大,說明________越大,數據的集中程度越弱,所以曲線越______;σ越小,說明標準差越小,數據的集中程度越強,所以曲線越________.x=μ1標準差“胖”“瘦”(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率值P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈____________;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈____________;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈____________.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X~N(μ,σ2),則E(X)=____,D(X)=______.68.3%95.4%99.7%μσ21.兩點分布是當n=1的二項分布,二項分布中的每次試驗的結果都服從兩點分布.2.當X~B(n,p)時,且P給定:若(n+1)p是整數,則k=(n+1)p或k=(n+1)p-1時,P(X=k)取得最大值.若(n+1)p非正整數,則k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整數)時,P(X=k)取得最大值.注:若均值為正整數,則當隨機變量k=np時,概率最大.3.若X~N(μ,σ2),則P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X>μ+a).4.3σ原則:如果X~N(μ,σ2),那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.常用結論與微點提醒√

√√×B

C

KAODIANJUJIAOTUPO考點聚焦突破03例1(2025·福州模擬)電子商務在我國發(fā)展迅猛,網上購物已經成為很多人的選擇.某購物網站組織了一次促銷活動,在網頁的界面上打出廣告:高級口香糖10元錢三瓶,有8種口味供您選擇(其中有1種為草莓口味).小王點擊進入網頁一看,只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起,看不見具體口味,由購買者隨機點擊進行選擇(各種口味的高級口香糖均超過三瓶,且各種口味的瓶數相同,每點擊選擇一瓶后,網頁自動補充相應的口香糖). (1)小王花10元錢買三瓶,請問小王收到貨的組合方式共有多少種?

考點一二項分布(2)小王花10元錢買三瓶,由小王隨機點擊三瓶,請列出有小王喜歡的草莓味口香糖的瓶數ξ的分布列,并計算其數學期望和方差.

所以ξ的分布列為ξ0123P

判斷某隨機變量服從二項分布的關鍵點(1)在每一次試驗中,事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中,試驗的結果只有兩個,即發(fā)生與不發(fā)生.(4)隨機變量是n重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數.思維建模ABC

(2)(2025·長沙調研)某綜藝節(jié)目中,有一個盲擰魔方游戲,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況,某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調查;得到的情況如表所示:C用時/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]男性人數1522149女性人數511177以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率,代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率,每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試,其中用時不超過10秒的人數最有可能(即概率最大)是(

)A.2 B.3 C.4 D.5

考點二超幾何分布例2(2025·杭州調研)某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機器人模型,它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話.聊天機器人模型的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強化學習)技術,在測試它時,如果輸入的問題沒有語法錯誤,則它的回答被采納的概率為90%,當出現語法錯誤時,它的回答被采納的概率為50%. (1)在某次測試中輸入了7個問題,聊天機器人模型的回答有5個被采納,現從這7個問題中抽取4個,以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個數,求ξ的分布列和數學期望;

ξ234P

(2)設輸入的問題出現語法錯誤的概率為p,若聊天機器人模型的回答被采納的概率為80%,求p的值.解記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A,記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B,記“回答被采納”為事件C,由已知得,P(C)=0.8,P(C|A)=0.9,P(C|B)=0.5,P(B)=p,P(A)=1-p,∵P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)·P(C|A)+P(B)·P(C|B)=0.9(1-p)+0.5p=0.9-0.4p,∴0.9-0.4p=0.8,解得p=0.25.1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數;(3)從中抽取若干個個體,考查某類個體數X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質是古典概型.思維建模

則隨機變量X的分布列為X0123P

BC考點三正態(tài)分布解析由題意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413=0.1587<0.2,所以A錯誤,B正確;因為Y~N(2.1,0.12),P(Y<2.2)≈0.8413,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.8413-0.5=0.3413,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.8413>0.8,所以C正確,D錯誤.(2)(2025·北京海淀區(qū)模擬)某企業(yè)生產一種零部件,其質量指標介于(49.6,50.4)的為優(yōu)品,技術改造前,該企業(yè)生產的該種零部件質量指標服從正態(tài)分布N(50,0.16);技術改造后,該企業(yè)生產的同種零部件質量指標服從正態(tài)分布N(50,0.04).那么,該企業(yè)生產的這種零部件技術改造后的優(yōu)品率與技術改造前的優(yōu)品率之差約為

.(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|<σ)≈0.6827,P(|X-μ|<2σ)≈0.9545,P(|X-μ|<3σ)≈0.9973)

0.2718解析記技術改造前,該企業(yè)生產的該種零部件質量指標的均值為μ1,標準差為σ1,技術改造后,該企業(yè)生產的該種零部件質量指標的均值為μ2,標準差為σ2,由題知μ1=μ2=50,σ1=0.4,σ2=0.2,(49.6,50.4)=(μ1-σ1,μ1+σ1)=(μ2-2σ2,μ2+2σ2),所以技術改造前的優(yōu)品率約為0.6827,技術改造后的優(yōu)品率約為0.9545,優(yōu)品率之差約為0.9545-0.6827=0.2718.解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸為x=μ.(2)標準差為σ.(3)分布區(qū)間.由μ,σ利用對稱性可求指定范圍內的概率值,使分布區(qū)間轉化為3σ特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.思維建模訓練3(1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結論中不正確的是(

) A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.σ越小,該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C.σ越小,該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D.σ越小,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等D

解析對于A,σ2為數據的方差,所以σ越小,數據在μ=10附近越集中,所以測量結果落在(9.9,10.1)內的概率越大,故A正確;

對于B,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確;

對于C,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;

對于D,因為該物理量一次測量結果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次測量結果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯誤.(2)(2025·東北四市調研)已知隨機變量X~N(4,42).若P(X<3)=0.3,則P(3<X<5)=

;若Y=2X+1,則Y的方差為

.

0.464解析因為隨機變量X~N(4,42),所以P(X<3)=P(X>5)=0.3,所以P(3<X<5)=1-P(X<3)-P(X>5)=0.4,由題意可得D(X)=16.因為Y=2X+1,所以D(Y)=D(2X+1)=22D(X)=64.微點突破二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯系1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布,學生對這兩種模型的定義不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的題型,就認為是超幾何分布,事實上,超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯系,但也有明顯的區(qū)別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取,各次抽取不獨立,二項分布的抽取是有放回抽取,各次抽取相互獨立.當超幾何分布所對應的總體數量很大時可以近似地看作二項分布.一、以總體個數有限與無限區(qū)分兩種分布例1某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況,隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位:克),質量的分組區(qū)間為[490,495],

(495,500],…,(510,515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如圖).解質量超過505克的產品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,所以質量超過505克的產品數量為40×0.3=12(件).(1)根據頻率分布直方圖,求質量超過505克的產品數量;

X012P

Y012P二、以放回與不放回抽樣區(qū)分兩種分布例2(多選)某工廠進行產品質量抽測,兩位員工隨機從生產線上各抽取數量相同的一批產品,已知在兩人抽取的一批產品中均有5件次品,員工A從這一批產品中有放回地隨機抽取3件產品,員工B從這一批產品中無放回地隨機抽取3件產品.設員工A抽取到的3件產品中次品數量為X,員工B抽取的3件產品中次品數量為Y,k=0,1,2,3.則下列判斷正確的是(

) A.隨機變量X服從二項分布 B.隨機變量Y服從超幾何分布 C.P(X=k)<P(Y=k) D.E(X)=E(Y)ABD

KESHIDUIDIANJINGLIAN課時對點精練04

B2.(2025·唐山模擬)某地區(qū)5000名學生的數學成績X(單位:分)服從正態(tài)分布X~N(90,σ2),且成績在[90,100]的學生人數約為1800,則估計成績在100分以上的學生人數為(

) A.200 B.700 C.1400 D.2500

解析因為5000名學生的數學成績X服從正態(tài)分布X~N(90,σ2),

所以成績在90分以上(包括90分)的學生人數約為2500,

又數學成績在[90,100]的學生人數約為1800,

所以估計成績在100分以上的學生人數為2500-180