第11章解三角形11.1余弦定理余弦定理(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))第1課時(shí)課時(shí)目標(biāo)1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系,了解余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程.2.掌握余弦定理及其變形,并能利用余弦定理解決相關(guān)問(wèn)題.CONTENTS目錄123課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通課時(shí)跟蹤檢測(cè)課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)1.余弦定理在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,則有文字語(yǔ)言三角形任何一邊的平方等于________________________________________________________符號(hào)語(yǔ)言a2=______________,b2=______________,c2=______________推論其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC

2.解三角形的定義我們把三角形的三個(gè)角和三條邊叫作三角形的______.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫作____________.元素解三角形|微|點(diǎn)|助|解|1.余弦定理的特點(diǎn)(1)適用范圍:余弦定理對(duì)任意的三角形都成立.(2)揭示的規(guī)律:余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系,它含有四個(gè)不同的量,知道其中的三個(gè)量,就可求得第四個(gè)量.2.余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.在△ABC中,c2=a2+b2?C為直角;c2>a2+b2?C為鈍角;c2<a2+b2?C為銳角.3.利用余弦定理可以解決兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形.(2)若已知兩邊和一邊的對(duì)角,可以用余弦定理解三角形.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練

√

√

課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通題型(一)已知兩邊和一角解三角形

|思|維|建|模|已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角,可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解.(2)若已知角是兩邊的夾角,則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊,再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角.針對(duì)訓(xùn)練

√

√題型(二)已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形

|思|維|建|模|已知三角形三邊解三角形的方法先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦,從而求出第一個(gè)角;再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角;最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.針對(duì)訓(xùn)練

√

題型(三)判斷三角形的形狀[例3]

在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷△ABC的形狀.

|思|維|建|模|利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后,注意等式兩邊不要輕易約分,否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解.針對(duì)訓(xùn)練

課時(shí)跟蹤檢測(cè)134567891011121314152

√156789101112131415234

√156789101112131415342

√√156789101112131415342

√1567891011121314153425.(多選)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,對(duì)于△ABC,有如下命題,其中正確的有

(

)A.sin(B+C)=sinAB.cos(B+C)=cosAC.若a2+b2=c2,則△ABC為直角三角形D.若a2+b2<c2,則△ABC為銳角三角形√√156789101112131415342

156789101112131415342

5

156789101112131415342

4(答案不唯一)156789101112131415342

156789101112131415342

156789101112131415342

15678910111213141534210.(10分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a-b=4,a+c=2b,且最大角為120°,求此三角形的最大邊長(zhǎng).解:因?yàn)閍-b=4,所以a>b且a=b+4,又a+c=2b,所以b+4+c=2b,所以b=c+4,則b>c,所以a>b>c.所以a為最大邊,故A=120°,b=a-4,c=2b-a=a-8.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos

A=b2+c2+bc=(a-4)2+(a-8)2+(a-4)(a-8),即a2-18a+56=0,解得a=4或a=14.又b=a-4>0,所以a=14.即此三角形的最大邊長(zhǎng)為14.156789101112131415342

√156789101112131415342

√156789101112131415342

√