第2課時(shí)正弦定理的應(yīng)用(教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評(píng)式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]進(jìn)一步理解正弦定理,及掌握三角形面積公式的應(yīng)用,能靈活利用正、余弦定理解決一些綜合問題.題型(一)正弦定理的實(shí)際應(yīng)用[例1]如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D.現(xiàn)測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB.聽課記錄:|思|維|建|模|解決正弦定理的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將已知量置于可解的三角形中,通過正弦定理與其他知識(shí)解三角形后,根據(jù)實(shí)際問題得出結(jié)論.[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖,為了測(cè)量某濕地A,B兩點(diǎn)間的距離,觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C,D,E.從點(diǎn)D測(cè)得∠ADC=67.5°,從點(diǎn)C測(cè)得∠ACD=45°,∠BCE=75°,從E點(diǎn)測(cè)得∠BEC=60°.若測(cè)得DC=23,CE=2,則A,B兩點(diǎn)間的距離為.

題型(二)三角形面積問題三角形的面積公式(1)S△ABC=12bcsinA=12acsinB=12absinC(2)S△ABC=12ah,其中a為△ABC的一邊長,而h為該邊上的高的長(3)S△ABC=12r(a+b+c)=12rl,其中r,l分別為△ABC的內(nèi)切圓半徑及△ABC[例2]如圖,在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD=3132,且AD=BD,求△ABC的面積聽課記錄:|思|維|建|模|(1)求三角形面積時(shí),應(yīng)先根據(jù)題目給出的已知條件選擇最簡便、最快捷的計(jì)算方法,這樣不僅能減少一些不必要的計(jì)算,還能使計(jì)算結(jié)果更加接近真實(shí)值.(2)事實(shí)上,在眾多公式中,最常用的公式是S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB,即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積,反過來,給出三角形的面積利用上述公式也可求得相應(yīng)的邊或角[針對(duì)訓(xùn)練]2.已知△ABC的面積為32,且b=2,c=3,則A的大小為()A.60°或120° B.60°C.120° D.30°或150°3.在鈍角△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=1,A=30°,c=3,則△ABC的面積為.題型(三)正弦定理的綜合應(yīng)用[例3]已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且3(a-bcosC)=csinB.(1)求角B的大小;(2)若a=3,c=2,D為BC邊上一點(diǎn),CD=15DB,求cos2∠BDA的值聽課記錄:|思|維|建|模|正、余弦定理主要應(yīng)用就是實(shí)現(xiàn)邊角互化,要注意邊化為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換化簡,注意式子結(jié)構(gòu)的靈活變換.[針對(duì)訓(xùn)練]4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,求證:(1)a2-b(2)a2-b2cosA第2課時(shí)正弦定理的應(yīng)用[例1]解:在△BCD中,∠BCD=α,∠BDC=β,∴∠CBD=180°-(α+β).∴BCsinβ=即BCsinβ=ssin(α+β).在△ABC中,由于∠ABC=90°,∴ABBC=tanθ∴AB=BC·tanθ=sinβtanθ[針對(duì)訓(xùn)練]1.解析:根據(jù)題意,在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=23,則∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,則AC=DC=23.在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,CE=2,則∠EBC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得ECsin∠EBC=BCsin∠BEC,可得BC=EC·sin∠BECsin∠EBC=2×3222=3.在△ABC中,AC=23,BC=3,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=12+3答案:3[例2]解:設(shè)CD=x,則AD=BD=5-x,在△CAD中,由余弦定理可知cos∠CAD=AD2+AC解得x=1,則AD=4,CD=1.在△CAD中,由正弦定理可知ADsinC=∴sinC=ADCD·1-cos2∠CAD=41-31322=378.∴S△ABC=12AC·BC·sinC=1[針對(duì)訓(xùn)練]2.選A由S△ABC=12bcsinA得32=12×2×3×sinA,所以sinA=32.故A=60°或A=120°3.解析:在鈍角△ABC中,由a=1,A=30°,c=3,利用正弦定理可得C=120°(60°舍),得到B=30°,利用面積公式得S△ABC=12×1×3×12=答案:3[例3]解:(1)因?yàn)?(a-bcosC)=csinB,所以3a-3bcosC=csinB.由正弦定理得3sinA-3sinBcosC=sinCsinB,即3sin(B+C)=3sinBcosC+sinCsinB,化簡得3cosBsinC=sinCsinB.又因?yàn)閟inB≠0,sinC≠0,所以3cosB=sinB,即tanB=3.因?yàn)锽∈(0,π),所以B=π3(2)因?yàn)閍=3,CD=15DB,所以CD=12,DB=52.在△ABD中,由余弦定理得AD2=22+522-2×2×52×12=214,所以AD所以sin∠BDA=27所以cos2∠BDA=1-sin2∠BDA=37[針對(duì)訓(xùn)練]4.證明:(1)sin(A=sinAsinC·cosB-sinB=ac·a2+c2=a2+c2-(2)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,所以a2-b2cos