11.2正弦定理第1課時(shí)正弦定理(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,了解正弦定理的推導(dǎo)過程.2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判斷三角形解的個(gè)數(shù)問題.1.正弦定理2.正弦定理的常見變形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑).(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R(R(3)三角形的邊長之比等于對應(yīng)角的正弦比,即a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.(4)a+b+csinA+sin(5)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB.|微|點(diǎn)|助|解|對正弦定理的理解(1)適用范圍:正弦定理對任意的三角形都成立.(2)結(jié)構(gòu)形式:分子為三角形的邊長,分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式.(3)揭示規(guī)律:正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式,它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.(4)主要功能:正弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)正弦定理僅適用于非直角三角形.()(2)在△ABC中,若c2>a2+b2,則△ABC為鈍角三角形.()(3)在△ABC中,若已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角的類型問題,則求解時(shí)都只有一個(gè)解.()2.在△ABC中,A=60°,BC=3,則△ABC外接圓的半徑為()A.12 B.C.2 D.33.在△ABC中,A=45°,c=2,則AC邊上的高等于.

4.在銳角三角形ABC中,角A,B所對的邊分別為a,b,若2asinB=3b,則A=.

題型(一)已知兩角和一邊解三角形[例1]在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.聽課記錄:|思|維|建|模|已知任意兩角和一邊,解三角形的步驟(1)求角:根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角;(2)求邊:根據(jù)正弦定理,求另外的兩邊.已知內(nèi)角不是特殊角時(shí),往往先求出其正弦值,再根據(jù)以上步驟求解.[針對訓(xùn)練]1.一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別等于120°和45°,若45°角所對的邊長是46,那么120°角所對邊長是()A.4 B.123 C.43 D.122.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,則此三角形的最大邊長為()A.53 B.43 C.52 D.42題型(二)已知兩邊及一角解三角形[例2]在△ABC中,已知c=6,A=45°,a=2,解三角形.聽課記錄:[變式拓展]若把本例中的條件“A=45°”改為“C=45°”,試判斷角A有幾個(gè)值?|思|維|建|模|1.已知兩邊及其中一邊的對角,解三角形的步驟(1)用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值,進(jìn)而求出這個(gè)角,注意是否有兩組解;(2)用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角;(3)根據(jù)正弦定理求出第三條邊.2.在△ABC中,已知a,b和角A時(shí),解的情況如下A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解[針對訓(xùn)練]3.已知△ABC中,b=43,c=2,C=30°,那么此三角形()A.有一解 B.有兩解C.無解 D.解的個(gè)數(shù)不確定4.在△ABC中,a=1,b=3,A=30°,求邊c的長.題型(三)判斷三角形的形狀[例3]設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿足2B=A+C,又sin2B=sinAsinC,則這個(gè)三角形的形狀是()A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形聽課記錄:|思|維|建|模|(1)判定三角形形狀的途徑:①化邊為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系;②化角為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.(2)無論使用哪種方法,都不要隨意約掉公因式,要移項(xiàng)提取公因式,否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件,重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.[針對訓(xùn)練]5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinA-sinB+2a-2bc=0,則△ABC的形狀一定為A.直角三角形 B.等腰三角形C.等邊三角形 D.鈍角三角形第1課時(shí)正弦定理?課前預(yù)知教材1.asinA=b[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1.(1)×(2)√(3)√2.選B設(shè)R為△ABC外接圓的半徑,則由正弦定理,得2R=asinA=3sin60°=2,解得R=1.所以△ABC3.解析:AC邊上的高為ABsinA=csinA=2sin45°=2.答案:24.解析:在△ABC中,利用正弦定理得2sinAsinB=3sinB,∵sinB≠0,∴sinA=32.又A為銳角,∴A=π答案:π?課堂題點(diǎn)研究[例1]解:由已知,得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由asinA=csinC,得c=8×2+6422所以A=45°,c=4(3+1).[針對訓(xùn)練]1.選D若設(shè)120°角所對的邊長為x,則由正弦定理可得xsin120°=46sin45°,于是x=46·sin120°sin45°2.選C根據(jù)題意得A=180°-135°-15°=30°,則此三角形的最大邊是b,由正弦定理asinA=bsinB,得b=5×sin135°sin30°[例2]解:∵asinA=∴sinC=csinAa=6∵0°<C<180°,∴C=60°或C=120°.當(dāng)C=60°時(shí),B=75°,b=csinBsinC=6當(dāng)C=120°時(shí),B=15°,b=csinBsinC=6sin15°∴b=3+1,B=75°,C=60°或b=3-1,B=15°,C=120°.[變式拓展]解:∵asinA=csinC,∴sinA=asinCc=2×226=33.∵∴A為小于45°的銳角,且正弦值為33,這樣的角A只有一個(gè)[針對訓(xùn)練]3.選C由正弦定理和已知條件得43sinB=2sin30°,∴sinB=3>1.∴此三角形無解4.解:由asinA=bsinB,得sinB=∵a<b,∴B>A=30°,∴B=60°或B=120°.當(dāng)B=60°時(shí),C=180°-60°-30°=90°.此時(shí),c=a2+b2當(dāng)B=120°時(shí),C=180°-120°-30°=30°.此時(shí),c=a=1.綜上所述,c=1或2.[例3]選B因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A+B+C=π,而2B=A+C,則B=π3,又sin2B=sinAsinC,由正弦定理得b2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得ac=a2+c2-ac,整理得(a-c)2=0,即a=c,又B=π3,所以△ABC[針對訓(xùn)練]5.選B