專題1.6有理數(shù)的乘方教學目標理解有理數(shù)乘方的定義；掌握有理數(shù)乘方運算的符號法則，并能熟練進行乘方運算；掌握科學計數(shù)法。教學重難點1.重點（1）知道有理數(shù)乘方的有關概念；（2）掌握有理數(shù)的乘方運算，知道乘方運算后結果的符號；（3）了解科學計數(shù)法。2.難點（1）有理數(shù)乘方的綜合應用；（2）有理數(shù)乘方有關的新定義題、材料閱讀題等。知識點1有理數(shù)的乘方1.操作將一張紙對折1次可以裁成2張，對折2次可以裁成4張，對折3次可以裁成幾張?可以知道，對折2次裁成2×2=4(張),對折3次裁成2×2×2=8(張).2.思考想象一下，如果對折5次、10次、20次，那么可裁成幾張呢?對折的結果又如何表示呢?可表示為：20個2相乘，能用較簡潔的式子表示嗎?上面2×2,也就是2個2相乘可以寫成22.類似地，2×2×2,也就是3個2相乘可以寫成23,2×2×2×2×2可以寫成2?,2×2×2×2×2×2×2×2×2×2可以寫成210.一般地，我們將n(n為正整數(shù))個相同乘數(shù)a相乘，即,記作“an”,讀作“a的n次方”。在“an”中，a叫做底數(shù),n稱為指數(shù)(當指數(shù)n為1時可以省略不寫).求n個相同有理數(shù)的積的運算叫作有理數(shù)的乘方.要點：（1）乘方的結果叫做冪．（2）乘方與冪不同，乘方是幾個相同有理數(shù)的乘法運算，冪是乘方運算的結果．（3）底數(shù)一定是相同的有理數(shù)，當?shù)讛?shù)不是單純的一個數(shù)時，要用括號括起來．（4）一個數(shù)可以看作這個數(shù)本身的一次方．例如，5就是51，指數(shù)1通常省略不寫．【即學即練】1．（1）的底數(shù)是，指數(shù)是；（3）的底數(shù)是，指數(shù)是．【分析】此題主要考查冪的含義，解題的關鍵是熟知的含義：a為底數(shù)，n為指數(shù)，讀作a的n次方，含義是n個a相乘．（1）根據(jù)冪的形式特點得出的指數(shù)和底數(shù)即可；（3）根據(jù)冪的形式特點得出的指數(shù)和底數(shù)即可．【詳解】解：（1）的底數(shù)是4，指數(shù)是4；故答案為：4；4；故答案為：；3；（3）的底數(shù)是，指數(shù)是2．故答案為：6；2．2．計算：(2)(4)1【分析】本題考查了乘方的運算，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都等于0．（1）（2）（3）（4）根據(jù)乘方運算法則計算即可．3．下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，根據(jù)有理數(shù)的乘方法則逐項計算判斷即可．熟練掌握運算法則是解題的關鍵．故選：C．A．3 B． C．9 D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關鍵．故選：．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方和有理數(shù)的乘法與加法的意義，解題的關鍵在于能夠正確理解題意．根據(jù)乘方和乘法的意義進行解答即可．故選：A．知識點2科學計數(shù)法1.科學計數(shù)法要點：*2.有效數(shù)字從一個數(shù)的左邊第一個非零數(shù)字起，到末尾數(shù)字為止的所有數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字?！炯磳W即練】1．2025年，電影“哪吒之魔童鬧?！逼狈客黄?53.86億，將數(shù)據(jù)153.86億用科學記數(shù)法表示為．【答案】A故選：A．【答案】C故選：C．【點睛】本題考查科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)，關鍵是掌握用科學記數(shù)法表示較大數(shù)的方法．5．臺灣島是我國最大的島嶼，總面積為35882.6258平方公里，用科學記數(shù)法應表示為（保留三個有效數(shù)字）（

）【答案】B【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．數(shù)據(jù)從左邊第一個非零數(shù)字起的數(shù)字都為有效數(shù)字，先用科學記數(shù)法表示該數(shù)，再保留三個有效數(shù)字即可．故選：B．【點睛】此題考查科學記數(shù)法和有效數(shù)字定義，注意n的值的確定方法，當原數(shù)大于10時，n等于原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1，按此方法即可正確求解．題型01乘方有關的概念辨析、填空【典例1】．對于（﹣2）3，指數(shù)是，底數(shù)是，（﹣2）3＝；對于﹣42，指數(shù)是，底數(shù)是，冪是．【答案】3282416【詳解】【分析】根據(jù)乘方的定義可解決本題．根據(jù)乘方的定義，得（﹣2）3的底數(shù)是﹣2，指數(shù)是3，（﹣2）3＝﹣2×（﹣2）×（﹣2）＝﹣8．同理，﹣42的底數(shù)是4，指數(shù)是2，冪是﹣16．故答案為：3，﹣2，﹣8，2，4，﹣16．【變式1】．對于（﹣4）3和﹣43，下列說法正確的是（）A．底數(shù)相同，指數(shù)相同B．底數(shù)不同，指數(shù)不同C．底數(shù)相同，運算結果不同D．底數(shù)不同，運算結果相同【答案】D【分析】根據(jù)冪的性質判斷即可；【詳解】由（﹣4）3和﹣43可知：指數(shù)相同，底數(shù)不同，故選D．【點睛】本題主要考查了冪的認識和運算，準確分析判斷是解題的關鍵．【變式2】．用乘方的形式表示下列各式，并計算出結果．【分析】根據(jù)冪指數(shù)代表底數(shù)相乘的次數(shù)可得出答案．【點睛】本題考查冪指數(shù)所表示的意義以及有理數(shù)乘方的運算，比較基礎，掌握基礎概念是解題關鍵．是底數(shù)，2是冪 B．4是底數(shù)，2是冪 C．4是底數(shù)，2是指數(shù) D．是底數(shù)，2是指數(shù)【答案】D故選：D.【點睛】本題考查了冪的有關概念，掌握冪的有關概念是解題的關鍵.【答案】D故選：D．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的乘方，解答此題的關鍵是要明確乘法、乘方的含義．題型02有理數(shù)的乘方運算【典例1】．計算：【分析】根據(jù)乘方的運算法則，分別進行計算，即可得到答案．【點睛】本題考查了乘方的運算法則，解題的關鍵是掌握運算法則，正確的進行解題．【變式1】．計算：【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則計算即可．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練運用運算法則是解本題的關鍵．【變式2】．口答：(1)13【答案】(1)1(2)(3)1(4)1(5)(6)【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運算法則運算即可．【詳解】（1）【點睛】本題考查有理數(shù)乘方運算和相反數(shù)，解題關鍵是能夠熟練應用有理數(shù)乘方運算法則，理解相反數(shù)的含義．題型03有理數(shù)乘方的應用—判斷結果是否相等【典例1】．下列各組的兩個數(shù)中，運算后的結果相等的是（）【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方分別計算，然后作出判斷．【詳解】原式各項計算得到結果，比較即可．故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟記概念是解題的關鍵．【變式1】．下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（

）．【答案】D【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘方運算法則．根據(jù)有理數(shù)的乘方先進行運算，再進行排除選項．B.與，不相等，故本選項不符合題意；故選：D．【變式2】．下列各式結果相等的是（

）【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，相反數(shù)，以及絕對值，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．各選項中兩式利用乘方的意義、絕對值的代數(shù)意義，以及相反數(shù)定義計算得到結果，判斷即可．故選A．題型04有理數(shù)乘方的應用—判斷結果的正負性【分析】本題主要考查了乘方、正數(shù)和負數(shù)的定義，掌握乘方、正數(shù)和負數(shù)的定義是解答本題的關鍵．先根據(jù)乘方化簡，再根據(jù)負數(shù)的定義即可得出答案．【答案】2【分析】此題主要考查了正數(shù)，以及絕對值，乘方，首先把式子化簡，然后再根據(jù)正數(shù)的定義：比0大的數(shù)是正數(shù)，可以選出答案．故答案為：2．題型05已知有理數(shù)乘方運算的結果，求原數(shù)【典例1】．平方等于16的數(shù)是，立方等于﹣27的數(shù)是．【答案】±4；﹣3．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的概念進行解答即可．【詳解】解：∵（±4）2=16，∴平方等于16的數(shù)是±4；∵（﹣3）3=﹣27，∴立方等于﹣27的數(shù)是﹣3．故答案為：±4；﹣3．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方．【變式1】．如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)是，如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)平方與立方的運算即可求解．【詳解】∵（）2=，（）3=故答案為：；．【點睛】此題主要考查乘方與立方的運算，解題的關鍵是熟知乘方的運算法則．【變式2】．某數(shù)的平方是4，則這個數(shù)的立方是（

）A．8 B．8 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方和立方的定義去計算．【詳解】解：∵這個數(shù)的平方是4，∴這個數(shù)可能是2或2，2的立方是8，2的立方是8．故選：C．【點睛】本題考查平方和立方的定義，需要注意一個數(shù)的平方是4，這個數(shù)有兩種可能，是．【答案】【分析】根據(jù)平方和立方的定義進行求解，平方等于9的有兩個數(shù)，立方等于8的數(shù)有一個．∴x=；∴=2，故答案為：；．【點睛】本題考查了平方和立方的定義，掌握平方和立方的定義是解題的關鍵．【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的逆運算即可得出結論．∴a=±b，故A、B、C不一定成立；故選D．【點睛】此題考查的是有理數(shù)的乘方逆運算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解決此題的關鍵．題型06有理數(shù)乘方的應用—比較大小【答案】<【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)．3、兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小．先計算各數(shù)，再利用有理數(shù)大小的比較方法比較即可．故答案為：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)比較大小及有理數(shù)的乘方運算等知識點，掌握以上知識點是解答本題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)比較大小及有理數(shù)的乘方運算化簡比較即可解答．故答案為：．【分析】本題比較有理數(shù)比較大小，根據(jù)有理數(shù)的乘方法則，以及正數(shù)大于負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小進行判斷即可．【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的乘方、絕對值以及有理數(shù)大小比較，解題的關鍵是先分別化簡各數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)大小比較規(guī)則進行排序．是負數(shù)，9和27是正數(shù)，最?。蔬x：A．【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，求一個數(shù)的相反數(shù)，有理數(shù)大小比較等知識點，熟練掌握有理數(shù)的運算法則和相關概念是解題的關鍵．故選：．題型07有理數(shù)乘方的非負性A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查了非負數(shù)的性質：掌握幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)分別等于0，并正確得出未知數(shù)的值是解題的關鍵．根據(jù)非負數(shù)的性質列出方程求出a、b的值，再代入所求代數(shù)式計算即可．故選：B．【答案】【分析】本題考查非負性，有理數(shù)的乘方運算，根據(jù)非負性求出的值，再根據(jù)乘方的法則進行計算即可．故答案為：．【答案】7【分析】本題考查非負性，有理數(shù)的運算，利用非負性求出的值，再利用有理數(shù)的運算法進行計算即可．故答案為：7．A．6 B．8 C． D．【答案】D【分析】本題考查了非負數(shù)的性質：掌握幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)分別等于0，并正確得出未知數(shù)的值是解題的關鍵．根據(jù)非負數(shù)的性質列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計算即可．故選：D．【答案】1【分析】本題主要考查絕對值與偶次冪的非負性、及有理數(shù)的乘方等，理解并運用絕對值與偶次冪的非負性、及有理數(shù)的乘方是解題的關鍵．故答案為：1．題型08判斷n次方的正負性A．0 B．1 C． D．2【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方．根據(jù)有理數(shù)的乘方運算法則計算即可求解．故選：A．A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不對【答案】D【分析】n為正整數(shù)，可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)，所以分當n為奇數(shù)，n為偶數(shù)時兩種情況考慮，即可求解．【詳解】解：當n為奇數(shù)時：當n為偶數(shù)時：故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．題型09有理數(shù)乘方的應用—乘法的分配律【答案】D故選：D．本題考查了有理數(shù)乘方運算．【答案】A，故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是注意符號．題型10科學計數(shù)法【答案】C【分析】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法．直接根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法計算即可．故選：C．【變式1】．今年春節(jié)檔電影《哪吒之魔童鬧?！芬宦犯吒杳瓦M，在全球范圍內引起了轟動，標志著中國動畫電影達到了新高度．截止目前，國內累計票房已突破150億元，數(shù)據(jù)150億用科學記數(shù)法表示為（

）【答案】C【分析】本題考查了科學記數(shù)法的運用，掌握科學記數(shù)法的表示形式，正確確定的值是關鍵．故選：C．【變式2】．經中國旅游研究院綜合測算，今年“五一”假日期間全國接待國內游客億人次，億用科學記數(shù)法表示為.【變式4】．2024年，安徽省加快能源清潔低碳轉型和新型電力系統(tǒng)建設，新增光伏發(fā)電裝機1088萬千瓦，數(shù)據(jù)1088萬用科學記數(shù)法表示為．題型11有理數(shù)乘方的實際應用【典例1】．某種細胞每分鐘分裂成3個，一個細胞經過3分鐘分裂成27個，再繼續(xù)分裂分鐘后共分裂成（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了乘方的意義．熟練掌握乘方的意義是解決本題的關鍵．∴再過分鐘后共分裂成了．故選C．【變式1】．一根1米長的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒長為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方，理解題意列出式子是解本題的關鍵．根據(jù)題意列出算式計算即可得到結果．【詳解】解：根據(jù)第1次截取后，剩，故選B．【變式2】．一根長的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，這樣剪下去，剪第2023次后剩下的繩子的長度為（）【答案】C【詳解】解：第一次后剩下原長的；……故選：C．【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，分別求出第1次和第2次裁剪后剩下的圖形的面積是解題的關鍵．先求出第1次和第2次裁剪后剩下的圖形的面積，總結出一般變化規(guī)律，即可解答．……故選：A．題型12有理數(shù)乘方的其他代數(shù)應用【答案】或故答案為：或．【答案】5綜上，原式的值為，故答案為：．【詳解】解：∵a、b互為相反數(shù)，∵c、d互為倒數(shù)，∵m是絕對值最小的數(shù)，∵n的絕對值為2.5，題型13新定義、材料閱讀題【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，根據(jù)新定義，列出算式進行計算即可，掌握新定義的法則，正確的計算，是解題的關鍵．故答案為：．【答案】3【分析】本題考查的新定義運算的含義，含乘方的有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；根據(jù)新定義進行計算即可．．故答案為：3．【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的減法運算，熟練掌握有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的減法運算是解題的關鍵．一、單選題A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡各數(shù)，再判斷即可．故選．【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，絕對值的定義，多重符號的化簡，以及乘方的意義，正確化簡各數(shù)是解答本題的關鍵．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運算法則進行計算即可；故選：B【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，掌握有理數(shù)的乘法運算法則是解題的關鍵．3．下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義，絕對值的性質對各選項分別計算，然后利用排除法求解．【詳解】解：A、|1|=1，（1）=1，（1）≠|1|，故本選項錯誤；B、（3）2=9，32=9，9≠9，故本選項錯誤；C、（4）3=64，43=64，（4）3=43，故本選項正確；故選：C．【點睛】本題考查了絕對值、有理數(shù)的乘方．解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘方運算法則，要注意43與（4）3的區(qū)別．4．這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（

）A．696×103 B．69.6×104 C．6.96×105 D．6.96×106【答案】C故選：C．5．以下等式成立的是（

）【答案】C【分析】根據(jù)乘方的定義將各數(shù)解答即可．故選C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，計算時要注意符號隨指數(shù)的奇偶性的不同而有所變化【答案】C【分析】根據(jù)絕對值和平方的非負性，可求x，y，代入求解即可．故選C．【點睛】本題考查了非負數(shù)，解題的關鍵是熟練掌握三種非負數(shù)：絕對值、偶次方、算術平方根．7．計算(－2)99＋(－2)100的結果是（

）A．299 B．－2 C．2 D．－299【答案】A【詳解】解：(－2)99＋(－2)100故選A【點睛】本題考查的是有理數(shù)的乘方的含義，乘法分配律的應用，掌握“有理數(shù)的乘方的含義”是解本題的關鍵.8．1長的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，第六次截去之后剩下的木棒是(

)．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意列出算式，計算即可得到結果．…,故選：D．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘方的應用，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．A．2020 B．2021 C．2022 D．0【答案】D【詳解】解：是最大的負整數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，是倒數(shù)等于它本身的自然數(shù)，故選：D．【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是求出，，的值．10．觀察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…．通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32021的個位數(shù)字是（）A．3 B．9 C．7 D．1【答案】A【分析】從運算的結果可以看出尾數(shù)以3、9、7、1四個數(shù)字一循環(huán)，用2021除以4，余數(shù)是幾就和第幾個數(shù)字相同，由此解決問題即可．【詳解】解：已知31=3，末位數(shù)字為3，

32=9，末位數(shù)字為9，

33=27，末位數(shù)字為7，

34=81，末位數(shù)字為1，

35=243，末位數(shù)字為3，

36=729，末位數(shù)字為9，

37=2187，末位數(shù)字為7，

38=6561，末位數(shù)字為1，

…

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1四個數(shù)字為一循環(huán)，

又2021÷4=505…1，所以32021的末位數(shù)字與33的末位數(shù)字相同是3．

故選:A．【點睛】此題考查尾數(shù)特征及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1四個數(shù)字為一循環(huán)是解決問題的關鍵．二、填空題【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，正數(shù)和負數(shù)的定義等知識點，熟練掌握乘方的定義并能正確進行計算是解決此題的關鍵，先利用有理數(shù)的相應的法則進行化簡運算，然后再根據(jù)正負數(shù)的定義即可判斷．故答案為：2．【答案】＜又9<10，故答案為：<．【點睛】本題考查有理數(shù)的比較大小，本題需要先整理數(shù)據(jù)，再進行比較即可，題目較簡單．【分析】根據(jù)有理數(shù)冪的定義進行填空．【點睛】本題考查有理數(shù)冪的概念，解題的關鍵是理解有理數(shù)冪的定義．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方進行運算即可．故答案為．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方是解題的關鍵．15．（）3﹣1的值為．【答案】﹣1【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的意義和減法法則計算即可．故答案為：﹣1．【點睛】此題考查的是有理數(shù)的運算，掌握有理數(shù)乘方的意義和減法法則是解題關鍵．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的乘方、絕對值及有理數(shù)的乘法．先算乘方、去絕對值，進而得出答案．故答案為：．【答案】2【分析】根據(jù)新定義運算即可求解．故答案為2．【點睛】此題主要考查有理數(shù)的運算，解題的關鍵是熟知新定義運算法則．【答案】123【分析】本題考查有理數(shù)的知識，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意中的計算方法，列式計算，即可．故答案為：123．三、解答題【答案】2【分析】先算乘方，再算乘法和化簡絕對值，最后計算加減，即可求解．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算順序是解題的關鍵．20．計算：【分析】（1）根據(jù)乘方的意義計算即可；（2）根據(jù)乘方的意義計算即可；（3）根據(jù)乘方的意義計算即可；（4）根據(jù)乘方的意義計算即可；（5）根據(jù)乘方的意義計算即可；（6）根據(jù)乘方的意義計算即可；（7）根據(jù)乘方的意義計算即可；（8）根據(jù)乘方的意義計算即可；（9）根據(jù)乘方的意義計算即可；=64==32（6）=【點睛】此題考查的是有理數(shù)的乘方運算，掌握有理數(shù)乘方的意義是解決此