返回目錄下一頁上一頁第四章運動學(xué)

第一節(jié)點的運動第二節(jié)

剛體的基本運動小結(jié)下一頁上一頁運動學(xué)的任務(wù)是研究物體在空間的位置隨時間的變化規(guī)律，而不涉及運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因。物體在空間的位置必須相對于某給定的物體來確定。這個給定的物體稱為參考體。固連在參考體上的坐標(biāo)系稱為參考系。在不同的參考系上觀察同一物體的運動，其結(jié)果可以完全不同，所以運動具有相對性。在研究大多數(shù)的工程實際問題時，總是將固連于地球上的坐標(biāo)系作為參考系，稱為靜參考系或定參考系。返回首頁下一頁上一頁在描述物體在空間的位置和運動時，常用到瞬時和時間間隔兩個概念。瞬時是指物體運動經(jīng)過某一位置所對應(yīng)的時刻，用t表示；時間間隔是兩瞬時之間的一段時間，記為

t＝t2-t1。學(xué)習(xí)運動學(xué)的目的，一方面是為后繼課程打基礎(chǔ)；另一方面，運動學(xué)在工程技術(shù)中也有獨立的應(yīng)用。例如，設(shè)計或改裝機器，總是要求它實現(xiàn)某種運動，以滿足生產(chǎn)的需要。為此，必須對物體進行運動分析和綜合。本章將圍繞研究運動學(xué)的二種主要方法即分析法與幾何法以最基本的形式來進行論述。返回首頁第一節(jié)點的運動下一頁上一頁一、用失徑法確定點的位置、速度和加速度返回目錄返回首頁Mo2、點的速度3、點的加速度單位:m/s21、運動方程即：點的速度等于矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù)即：點的加速度等于點的速度矢對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于位置矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)當(dāng)點的運動軌跡未知時，常利用直角坐標(biāo)投影原理將矢量關(guān)系轉(zhuǎn)變成代數(shù)量關(guān)系來方便運算。二、用直角坐標(biāo)法確定點的位置、速度和加速度

1．動點的直角坐標(biāo)形式的運動方程設(shè)有一動點M在某曲線軌跡上運動，它在坐標(biāo)軸x、y上兩相應(yīng)的投影點A、B亦在各自坐標(biāo)軸上作直線運動，顯而易見點A、B位置的x、y一旦確定動點的位置也就確定，故點的運動方程為返回下一頁上一頁返回首頁

2．點的速度與加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影根據(jù)式（4-2）存在將上式向x、y軸投影可得v=vxi+vy

j

以上證明說明了動點的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

返回下一頁上一頁返回首頁故動點速度v的大小和方向為

返回下一頁上一頁返回首頁同理，動點的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相對的速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于其相應(yīng)的坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)，故動點的加速度a的大小和方向為式中

為a與軸x所夾之銳角，a的指向由ax、ay的正負號確定。

返回下一頁上一頁返回首頁例1：橢圓規(guī)的曲柄可繞定軸轉(zhuǎn)動，其端點與規(guī)尺的中點以鉸鏈相連接，規(guī)尺的兩端分別在互相垂直的滑槽中運動，為規(guī)尺上的一點。已知：（其中ω為常數(shù)），試求：點A,B,M的運動方程和運動軌跡。

[解]

A

點的運動方程:B點的運動方程:P點的運動方程:P點的軌跡方程:下一頁上一頁返回目錄返回首頁當(dāng)點的運動軌跡已知時，工程上常以軌跡為坐標(biāo)軸，并用動點到設(shè)定原點的距離s（弧坐標(biāo)）來確定點的位置。1．弧坐標(biāo)與自然軸系

當(dāng)點M沿已知軌跡運動時，弧坐標(biāo)s是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，記為s=f(t)

該式稱為以弧坐標(biāo)表示的點的運動方程。MOs

snv*

vBA（-）（+）M'返回下一頁上一頁返回首頁三、用弧坐標(biāo)法確定點的位置、速度和加速度如圖，動點M沿已知軌跡AB運動，以動點M為坐標(biāo)原點，以軌跡上過M點的切線和法線為坐標(biāo)軸，此正交坐標(biāo)系稱為自然坐標(biāo)軸系，簡稱自然軸系，矢量在自然坐標(biāo)軸上的投影為其自然坐標(biāo)。切向軸和法向軸的單位矢量分別用

和n表示。顯然，自然軸系是隨動點沿已知軌跡運動的。單位矢量

和n的大小為1，但方向隨點在軌跡上的位置變化而變化。因此，在曲線運動中，

和n為變矢量。用弧坐標(biāo)表示點的位置，用自然坐標(biāo)表示點的速度、加速度，這種研究點的運動的方法稱為自然法。MOs

snv*

vBA（-）（+）M'返回下一頁上一頁返回首頁速度是表示動點位置隨時間變化快慢程度的物理量。2．用自然坐標(biāo)表示點的速度

MOs

snv*

vBA（-）（+）M'按圖可見動點位置變化量為矢量MM'，稱位移，而

s則為動點弧坐標(biāo)的增量，是代數(shù)量。按速度定義，在MM'間動點的平均速度v*為返回下一頁上一頁返回首頁MOs

snv*

vBA（-）（+）M'當(dāng)

t0時，平均速度v*的極限即為動點在t瞬時的瞬時速度，并注意到|MM'|的大小與

s無限接近和它的方向與過M點的切向無限靠攏，因此可以認為MM'=v

t·

，故點在瞬時t的速度為返回下一頁上一頁返回首頁MOs

snv*

vBA（-）（+）M'

速度是一個矢量，其大小為M點的弧坐標(biāo)對時間t的一階導(dǎo)數(shù)，其方向為軌跡在處的切線方向，速度的單位一般用m/s或km/h。速度指向由的正負號確定，若>0則v指向弧坐標(biāo)的正向，反之為負。返回下一頁上一頁返回首頁加速度表示動點速度的大小與方向隨時間改變的快慢程度。按定義，點的加速度應(yīng)為3．用自然坐標(biāo)表示點的加速度

可以導(dǎo)出(

為動點處軌跡的曲率半徑)于是上式可寫成返回下一頁上一頁返回首頁由式可見，動點的加速度由兩項組成，第一項其大小為，方向為切向，故稱為切向加速度，記作

，它反映了速度大小隨時間的變化率。第二項大小為，方向為法向，并始終指向該點軌跡的曲率中心，故稱為法向加速度，記作

。返回下一頁上一頁返回首頁

a

與an兩項之和即為動點的加速度a

有時也被稱為全加速度，它反映了速度矢量v的瞬時變化率，根據(jù)矢量運算，存在法向加速度為法向矢量，故其反映的是速度方向的瞬時變化率。法向加速度越大，速度的方向變化的越快；反之亦然。當(dāng)點作直線運動時，點的法向加速度恒為零，點的速度方向?qū)⒈３植蛔?。返回下一頁上一頁返回首?/p>

式中，

為a與n所夾之銳角，至于a在n的哪一側(cè)則由a

的正負決定，如圖所示。加速度的單位一般用m/s2或km/s2。

Oa

ana

返回下一頁上一頁返回首頁

1）勻速直線運動當(dāng)點作勻速直線運動時，由于v為常量，

→∞，故a

=0，an=0，此時a=0。

2）勻速曲線運動當(dāng)點作勻速曲線運動時，由于v為常量，故a

=0，an≠0，此時a=an。

3）勻變速直線運動當(dāng)點作勻變速直線運動時，a

為常量，an為零，若已知運動的初始條件，即當(dāng)t=0時。v=v0，s=s0，由dv=adt，積分可得其速度與運動方程為v=v0+at

（4-21）s=s0+v0t+at2/2（4-22）由以上兩式消去t得v2=v02+2a（s-s0）（4-23）4．點運動的幾種特殊情況

返回下一頁上一頁返回首頁

4）勻變速曲線運動當(dāng)點作勻變速曲線運動時，a

為常量，an=v2/

，若已知運動的初始條件，即當(dāng)t=0時。v=v0，s=s0，由dv=a

dt，ds=vdt，積分可得其速度與運動方程為v=v0+a

t

（4-24）s=s0+v0t+a

t2

（4-25）由以上兩式消去t得v2=v02+2a

(s-s0)（4-26）式（4-21）~（4-26）早已為大家所熟悉。引入它們的目的在于說明在研究點的運動時，已知運動方程，可應(yīng)用求導(dǎo)的方法求點的速度和加速度；反之，已知點的速度和加速度如果初始條件已知的話，亦可用積分法也可得到點的運動方程。

總之，本節(jié)所介紹的方法是一種普遍的方法，可應(yīng)用于各種點的運動分析，而中學(xué)時期所學(xué)式（4-21）~（4-26）等公式不過是在一定前提下的特例而已。返回下一頁上一頁返回首頁桿AB的A端鉸接固定，環(huán)M將AB桿與半徑為R的固定圓環(huán)套在一起，AB與垂線之夾角為

=

t，如圖所示求套環(huán)M的運動方程、速度和加速度。解一

以環(huán)M為研究對象，由于環(huán)M的運動軌跡已知，故采用自然坐標(biāo)法求解。以圓環(huán)上O'點為弧坐標(biāo)原點，順時針為弧坐標(biāo)正向，建立弧坐標(biāo)軸。例4-4

1）建立點的運動方程。由圖中幾何關(guān)系，建立運動方程為

s=R(2

)=2R

t2）求點M的速度。由式（4-2）知點M的速度為sBAMOO'

2

（+）v返回下一頁上一頁返回首頁已知：

=

t，求：M的運動方程、速度和加速度。解一

1）建立點的運動方程。

s=R(2

)=2R

t2）求點M的速度。

3）求點M的加速度。由式（4-3）知點M的切向加速度為由式（4-3）知點M的法向加速度為知點M的切向加速度為sBAMOO'

2

（+）v返回下一頁上一頁返回首頁sBAMOO'

2

已知：

=

t，求：M的運動方程、速度和加速度。解一

1）建立點的運動方程。

s=R(2

)=2R

t2）求點M的速度。

3）求點M的加速度。由式（4-4）知點M的全加速度為av其方向沿MO且指向O，可知套環(huán)沿固定圓環(huán)作勻速圓周運動。（+）返回下一頁上一頁返回首頁解二

用直角坐標(biāo)法求解，建立圖示的直角坐標(biāo)系。

1）建立點M的運動方程。由圖中幾何關(guān)系，建立運動方程為

x=Rcos(90

-2

)=Rsin2

ty=Rcos2

=Rcos2

t2）求點M的速度。由式（a）求導(dǎo)，得速度在x、y軸上的投影vx==2Rcos2t

vy==-2Rsin2t

BAMOO'

2

xy已知：

=

t，求：M的運動方程、速度和加速度。（a）（b）vxvy返回下一頁上一頁返回首頁解二

1）建立點M的運動方程。

x=Rsin2

ty=Rcos2

t2）求點M的速度。vx=2Rcos2t

vy=-2Rsin2t

BAMOO'

2

xy已知：

=

t，求：M的運動方程、速度和加速度。（a）（b）由式（4-14）知點M的加速度大小和方向余弦為

cos(v，i)=vx/v=cos2

tvvxvy返回下一頁上一頁返回首頁解二

1）建立點M的運動方程。

x=Rsin2

ty=Rcos2

t2）求點M的速度。vx=2Rcos2t

vy=-2Rsin2t

返回下一頁上一頁BAMOO'

2

xy已知：

=

t，求：M的運動方程、速度和加速度。（a）（b）3）求點M的加速度。由式（4-3）對式（b）求導(dǎo)求導(dǎo)，得加速度在x、y軸上的投影ax==-4R

2sin2

tay==-4R

2cos2

t

cos(v，i)=cos2

taxay返回下一頁上一頁返回首頁解二

1）建立點M的運動方程。

x=Rsin2

ty=Rcos2

t2）求點M的速度。vx=2Rcos2t

vy=-2Rsin2t

BAMOO'

2

xy已知：

=

t，求：M的運動方程、速度和加速度。（a）（b）3）求點M的加速度。ax=-4R

2sin2

tay=-4R

2cos2

t

cos(v，i)=cos2

ta由式（4-15）知點M的加速度大小和方向余弦為cos(a，i)=ay/a=-sin2

t

axay或

a=axi+ay

j=-4R

2(sin2

ti+cos2

tj)=-4R

2

rM此結(jié)果也說明a與點M的位矢rM反向。返回下一頁上一頁返回首頁經(jīng)比較不難看出，兩種解法計算的結(jié)果是一致的；也可看出，用自然坐標(biāo)法解題簡便，結(jié)果清晰，但只適用于點的運動軌跡已知的情況。在機械工程中，多數(shù)物體處于被約束狀態(tài)，其運動軌跡是確定的，故自然坐標(biāo)法得到廣泛應(yīng)用。用直角坐標(biāo)法，解題較繁，但它既適用于點的運動軌跡已知時，也適用于點的軌跡未知時，故應(yīng)用范圍廣，在航空、航天工程中的彈道設(shè)計計算中常用這種方法。返回下一頁上一頁返回首頁

1．剛體的平行移動第二節(jié)剛體的基本運動

剛體在運動過程中，若其上任一直線始終平行它的初始位置，則這種運動稱為剛體的平行移動，簡稱平動。例如，直線軌道上車廂的運動，擺式輸送機送料槽的運動等都是剛體平動的實例。ABD'C'DCOO剛體平動時，其上各點的軌跡若是直線，則稱剛體作直線平動。其上各點軌跡若是曲線，則稱剛體作曲線平動。返回下一頁上一頁返回首頁下面研究平動剛體上各點的軌跡、速度、加速度的特征。在平動剛體上任取兩點A、B，作矢量BA，如圖所示。根據(jù)剛體不變形的性質(zhì)和剛體平動的特征，矢量BA的長度和方向始終不變，故BA是常矢量。如將點B

的軌跡沿BA方向平行移動BA距離，則必然與A點軌跡重合。動點A、B位置的變化用矢徑的變化表示。由圖得rA=

rB＋BAOxyzrAABA1B1rB返回下一頁上一頁返回首頁對時間t求導(dǎo)得OxyzrAABA1B1rBrA=

rB＋BA由于BA是常矢量，因此=0，于是vA=

vB再對時間t求導(dǎo)可得aA=

aB因為A、B是剛體上任意兩點，因此上述結(jié)論對剛體上所有點都成立，即剛體平動時，其上各點的運動軌跡形狀相同彼此平行，每一瞬時，各點的速度、加速度也相同。返回下一頁上一頁返回首頁上述結(jié)論表明，剛體的平動可以用其上任一點的運動來代替，即剛體平動的運動學(xué)問題，可以歸結(jié)為點的運動學(xué)問題來研究。剛體的平動在工程實際中應(yīng)用很廣，圖示仿形車床上刀架A0A作平動，A0與靠模板接觸，刀尖A切削工件，由于A0與A的運動軌跡相同，從而保證了工件形狀與靠模板形狀一致。返回下一頁上一頁返回首頁曲柄導(dǎo)桿機構(gòu)如圖所示，曲柄OA繞固定軸O轉(zhuǎn)動，通過滑塊A帶動導(dǎo)桿BC在水平導(dǎo)槽內(nèi)作直線往復(fù)運動。已知OA=r，

=

t（

為常量），求導(dǎo)桿在任一瞬時的速度和加速度。解由于導(dǎo)桿在水平直線導(dǎo)槽內(nèi)運動，所以其上任一直線始終與它的最初位置相平行，且其上各點的軌跡均為直線，因此，導(dǎo)桿作直線平動。導(dǎo)桿的運動可以用其上任一點的運動來表示。選取導(dǎo)桿上M點研究，M點沿x軸點作直線運動，其運動方程為例4-6xM=OAcos

=rcos

t返回下一頁上一頁返回首頁已知：OA=r，

=

t

，求：導(dǎo)桿在任一瞬時的速度和加速度。解則M點的速度、加速度分別為vM=aM==-r

2cos

t

xM=OAcos

=rcos

t返回下一頁上一頁返回首頁

2．剛體繞定軸轉(zhuǎn)動

剛體在運動過程中，其上或其延伸部分有一條直線，始終固定不動，這種運動稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動。位置保持不變的直線稱為轉(zhuǎn)軸。工程中齒輪、帶輪、飛輪的轉(zhuǎn)動，電動機轉(zhuǎn)子、機床主軸、傳動軸的轉(zhuǎn)動等，都是剛體定軸轉(zhuǎn)動的實例。xyzO返回下一頁上一頁返回首頁Ⅱ

1）轉(zhuǎn)動方程為確定轉(zhuǎn)動剛體在空間的位置，過轉(zhuǎn)軸z作一固定平面Ⅰ為參考面。在圖中，半平面Ⅱ過轉(zhuǎn)軸z且固連在剛體上，初始半平面Ⅰ、Ⅱ共面。當(dāng)剛體繞軸z轉(zhuǎn)動的任一瞬時，剛體在空間的位置都可以用固定的半平面Ⅰ與Ⅱ之間的夾角

來表示，

稱為轉(zhuǎn)角。剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角

隨時間t變化，是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，即

=

(t)

ⅠⅡ返回下一頁上一頁返回首頁

2）角速度

角速度是描述剛體轉(zhuǎn)動快慢和轉(zhuǎn)動方向的物理量。角速度常用符號

來表示，它是轉(zhuǎn)角

對時間t的一階導(dǎo)數(shù)，即

這里角速度可用代數(shù)量表示，其的正負表示剛體的轉(zhuǎn)動方向。當(dāng)

＞0時，剛體逆時針轉(zhuǎn)動；反之則順時針轉(zhuǎn)動。角速度的單位是rad/s。工程上常用每分鐘轉(zhuǎn)過的圈數(shù)表示剛體轉(zhuǎn)動的快慢，稱為轉(zhuǎn)速，用符號n表示，單位是r/min（轉(zhuǎn)/分）。轉(zhuǎn)速n與角速度

的關(guān)系為

=2

n/60=

n/30

返回下一頁上一頁返回首頁

3）角加速度

角加速度

是表示角速度

變化的快慢和方向的物理量是角速度

對時間的一階導(dǎo)數(shù)，即

這里角加速度

可用代數(shù)量表示，當(dāng)

與

同號時，表示角速度的絕對值隨時間增加而增大，剛體作加速轉(zhuǎn)動；反之，則作減速轉(zhuǎn)動。角加速度的單位是rad/s2。雖然剛體的定軸轉(zhuǎn)動與點的曲線運動的運動形式不同，但它們相對應(yīng)的變量之間的關(guān)系卻是相似的，其相似關(guān)系如表4-1所列。

返回下一頁上一頁返回首頁

點的曲線運動

剛體定軸轉(zhuǎn)動運動方程s=s(t)轉(zhuǎn)動方程

=

(t)

速度v=ds/dt

角速度

=d

/dt

切向加速度

角加速度

勻速運動v=常數(shù)勻速轉(zhuǎn)動

=常數(shù)

s=s0+vt

=

0+

t

勻變速運動a

=常數(shù)勻變速轉(zhuǎn)動

=常數(shù)

v=v0+a

t

=

0+

t

s=s0+vt+at2/2

=

0+

t+

t2/2表4-1點的曲線運動與剛體定軸轉(zhuǎn)動變量之間的關(guān)系比較返回下一頁上一頁返回首頁某發(fā)動機轉(zhuǎn)子在起動過程中的轉(zhuǎn)動方程為

=t3（rad），t以s計。試計算轉(zhuǎn)子在2s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)和t=2s時轉(zhuǎn)子的角速度、角加速度。解由轉(zhuǎn)動方程

=t3可知

t=0時，

0＝0，轉(zhuǎn)子在2s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為

－

0=t3－0＝23

rad－0＝8rad

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為

N＝＝1.27圈由式（4-17）和式（4-18）得轉(zhuǎn)子的角速度和角加速度為

=d

/dt=3t2

=d

/dt=6t

當(dāng)t=2s時

=3t2=12rad/s

=6t=12rad/s2

例4-7返回下一頁上一頁返回下一頁上一頁返回首頁RO

5）定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度、加速度前面研究了定軸轉(zhuǎn)動剛體整體的運動規(guī)律，在工程實際中，還往往需要了解剛體上各點的運動情況。例如，車床切削工件時，為提高加工精度和表面質(zhì)量，必須選擇合適的切削速度而切削速度就是轉(zhuǎn)動工件表面上點的速度。下面將討論轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度、加速度與整個剛體的運動之間的關(guān)系。剛體定軸轉(zhuǎn)動時，除了轉(zhuǎn)軸以外的各點都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運動，圓心是該平面與轉(zhuǎn)軸的交點，轉(zhuǎn)動半徑是點到轉(zhuǎn)軸的距離。設(shè)剛體繞z軸轉(zhuǎn)動，其角速度為

、角加速度為

。返回下一頁上一頁返回首頁RO

sO'

在剛體轉(zhuǎn)角

=0時，M點位置為弧坐標(biāo)原點O'，以轉(zhuǎn)角

的正向為弧坐標(biāo)s的正向，則用自然法確定的M點的運動方程、速度、切向加速度、法向加速度分別為

s=R

a

v全加速度的大小和方向