課下鞏固精練卷(十三)二次函數(shù)與冪函數(shù)【基礎(chǔ)鞏固題】1．(2024·山東日照二模)已知冪函數(shù)的圖象過點(2，4)，則函數(shù)的解析式為()A．y＝2x B．y＝x2C．y＝log2x D．y＝sinx解析：選B.設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，由于函數(shù)過點(2，4)，故4＝2α，解得α＝2，該冪函數(shù)的解析式為y＝x2.2．若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為()A．g(x)＝2x2－3xB．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2xD．g(x)＝－3x2－2x解析：選B.二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，設(shè)二次函數(shù)為g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得a+b＝1，a?b＝5所求的二次函數(shù)為g(x)＝3x2－2x.3．(2024·四川南充二模)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()A.y＝x12 B．yC．y＝x3 D．y＝x解析：選D.對于A：函數(shù)y＝x12＝x對于B：函數(shù)y＝x?12＝對于C：函數(shù)y＝x3的定義域為R，且y＝x3為奇函數(shù)，且y＝x3在(0，＋∞)上是下凸遞增，故不符合題意，故C錯誤；對于D：函數(shù)y＝x13＝3x的定義域為R，又y＝x13為奇函數(shù)，且4．(多選)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分圖象如圖，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為直線x＝－1.下面四個結(jié)論中正確的是()A．b2>4acB．2a－b＝1C．a(chǎn)－b＋c＝0D．5a<b解析：選AD.因為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正確；二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x＝－1，即－b2a＝－1，得2a－b＝0，B錯誤；結(jié)合圖象知，當(dāng)x＝－1時，y>0，即a－b＋c>0，C錯誤；因為函數(shù)的圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b5．(2024·江蘇南京摸底)已知a＝24A．b＜a＜d＜cB．b＜c＜a＜dC．c＜d＜b＜aD．b＜a＜c＜d解析：選D.由題意得a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，d＝623＝3613，因為冪函數(shù)y＝6．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋5在區(qū)間[0，m]上的值域為[5，6]，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(0，1]B．[1，3]C．(0，2]D．[1，2]解析：選D.f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝1，畫出f(x)的圖象如圖所示，由于f(x)在區(qū)間[0，m]上的值域為[5，6]，由圖可知，m的取值范圍是[1，2].7．(多選)設(shè)abc<0，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()解析：選AB.A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合題意；B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合題意；C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合題意；D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合題意．8．(多選)下列說法正確的是()A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點18，2，則其解析式為B.若函數(shù)f(x)＝x?45，則f(x)在區(qū)間(C．冪函數(shù)y＝xα(α>0)的圖象始終經(jīng)過點(0，0)和(1，1)D．若冪函數(shù)f(x)＝(2m2－2m－3)xm的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(－a2＋2a－5)>f(3)解析：選CD.A選項，設(shè)f(x)＝xα，將18，2代入得18α＝2，即(2-3)α＝2，解得α＝－13，故解析式為y＝fB選項，因為－45<0，所以f(x)＝x?45在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又f(x)＝x?45的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝?x?45＝x?45＝f(x)，故f(C選項，因為α>0，所以0α＝0，1α＝1，故冪函數(shù)y＝xα(α>0)的圖象始終經(jīng)過點(0，0)和(1，1)，C正確；D選項，由題意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1，當(dāng)m＝2時，f(x)＝x2為偶函數(shù)，滿足圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x-1為奇函數(shù)，不滿足圖象關(guān)于y軸對稱，舍去，其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立，故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，又f(x)＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正確．9．已知函數(shù)f(x)＝xα＋2x(α≠0)，且f(4)＝10，則α＝________，若f(m)＞f(－m＋1)，則實數(shù)m的取值范圍是________．解析：f(4)＝4α＋2×4＝10，即4α＝2，所以α＝12，所以f(x)＝x12＋2x＝x＋2x，其定義域為[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．由f(m)＞f(－m＋1)可得m≥0，?m+1≥0，答案：110．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的值域為[2，＋∞)，且滿足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]上的值域為[2，6]，則n－m的最大值為________．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函數(shù)的對稱軸為直線x＝1.由函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，得－a2＝1，a＝－所以f(x)＝x2－2x＋b.因為f(x)的值域為[2，＋∞)，所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3，故f(x)＝x2－2x＋3.若f(x)在[m，n]上的值域為[2，6]，令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1.所以m最小為－1，n最大為3，則n－m的最大值為4.答案：4【綜合應(yīng)用題】11．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，則()A．?x∈(0，1)，都有f(x)＞0B．?x∈(0，1)，都有f(x)＜0C．?x∈(0，1)，使得f(x)＝0D．?x∈(0，1)，使得f(x)＞0解析：選B.由a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，拋物線開口向上．因為f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，所以?x∈(0，1)，都有f(x)＜0.12．若函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋3a在區(qū)間[0，1]上的最大值為M，最小值為m，則M－m的值()A．與a無關(guān)，與b有關(guān)B．與a有關(guān)，與b無關(guān)C．與a有關(guān)，且與b有關(guān)D．與a無關(guān)，且與b無關(guān)解析：選A.函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋3a的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝b，①當(dāng)b>1時，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，則M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此時M－m＝2b－1，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)；②當(dāng)b<0時，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，則M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此時M－m＝1－2b，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)；③當(dāng)0≤b≤1時，m＝f(b)＝3a－b2，若0≤b≤12，則f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值與a無關(guān)，與b若b>12，則f(1)<f(0)，有M＝f(0)＝3a，∴M－m＝b2，故M－m的值與a無關(guān)，與b綜上，M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)．13．(多選)關(guān)于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命題正確的是()A．存在實數(shù)k，使得方程無實根B．存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不同的實根C．存在實數(shù)k，使得方程恰有3個不同的實根D．存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不同的實根解析：選AB.設(shè)t＝x2－2x，方程化為關(guān)于t的二次方程t2＋2t＋k＝0(*)．當(dāng)k＞1時，方程(*)無實根，故原方程無實根；當(dāng)k＝1時，可得t＝－1，則x2－2x＝－1，原方程有兩個相等的實根x＝1；當(dāng)k＜1時，方程(*)有兩個實根t1，t2(t1＜t2)，由t1＋t2＝－2可知，t1＜－1，t2＞－1.因為t＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1無實根，x2－2x＝t2有兩個不同的實根．綜上可知，A，B正確，C，D錯誤．14．冪函數(shù)y＝xm(m≠0)，當(dāng)m取不同