課下鞏固精練卷(三十二)簡(jiǎn)單的三角恒等變換【基礎(chǔ)鞏固題】1．(2024·保定模擬)已知sinθ?π4＝22A．79B．－C．29D．－解析：選B.由sinθ?π4＝223，得sinθ?π4＝sinθcosπ4－cosθsinπ4＝22(sinθ－cosθ)＝223，即sinθ2．(2024·棗莊模擬)已知sinπ6?α＝23A．－59B．59C．－13解析：選A.cos2α?4π3＝cos?π+2α?π3＝?cos2α?π33．(2024·湖南師大附中模擬)已知sinθ1+cosθ則A．43B．－23C．－43解析：選C.由sinθ1+cosθ＝2sinθ2cos4．(2024·邢臺(tái)模擬)1＋tan22.5°等于()A．2B．52C．1+52解析：選A.由tan45°＝2tan22.5得2tan22.5°＝1－tan222.5°，所以(tan22.5°＋1)2＝2，又tan22.5°>0，所以1＋tan22.5°＝2.5．若λcos50°－tan40°＝3，則λ＝A．2B．23C．4D．33解析：選C.由已知得，λsin40°－sin40°cos40°＝3，則λsin40°cos40°－sin40°＝3cos40°，整理得λ2sin80°＝3cos40°＋sin40°＝2(32cos40°＋12sin40°)＝26．(2024·茂名模擬)已知tanα＝2，則sin3αsinα－A．－12B．－13C．13解析：選B.因?yàn)閠anα＝2所以sin3αsinα－sin2α＝sinα+2α＝sinαcos2α+＝cos2α＋2cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α＋2cos2α－sin2α＝3cos2α－2sin2α＝3＝3?2tan7．(多選)已知α∈(π，2π)，sinα＝tanα2＝tanA．tanα＝3B．cosα＝1C．tanβ＝43D．cosβ＝1解析：選BD.因?yàn)閟inα＝tanαcosα＝tanα2，且α∈(π，2π)，所以cosα＝12，所以sinα＝－32，tanα＝－3，故A錯(cuò)誤，B正確；即tanβ2＝?32，所以8．(多選)設(shè)α∈0，π2，β∈π2，πA．sinα＝sinβB．cosα＝－cosβC．sinα＝cosβD．sin2α2＋sin2β2解析：選ABD.由1+cosα+sinα1?得2cos2α2得2cos因?yàn)棣痢?，π2，所以α2∈0，π4，因此有cosα2sinα2＝sinβ2cosβ2，所以cosα2cosβ2－sinα2sinβ2＝0，即cosα+β2＝0.又因?yàn)棣隆师?，π，所以β2∈π4，π2，所以α+β2∈π4，3π4，即α+β2＝π2，因此α＋β＝π，所以有sinα＝sin(π－β)＝sinβ9．若23sinx＋2cosx＝1，則sin5π6?xcos解析：由已知條件可得4sinx+π6＝1，令x＋π6＝t，則sint＝14，x＝t?π6，所以sin5π6?xcos2x+π3＝sin(π－t)cos2t答案：710．(2024·安徽阜陽(yáng)模擬)若cos2α＝－1010，sin(α－β)＝55，且α∈π4，π2，解析：因?yàn)棣痢师?，π2，所以2α∈π2，π，所以sin2α＝1?cos22α＝310所以cos(α－β)＝－1?所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝－1010×?255＋31010×55＝2答案：－π【綜合應(yīng)用題】11．(2024·平頂山模擬)若sinα+π4＝?35，17π12<α<7A．1625B．C．3750D．解析：選D.由17π12<α<7π4，知5π3因?yàn)閟inα+所以cosα+所以sinα＝sinα+π4?π4＝22sinα+π而sin2α＝－cos2α+π2＝－cos2α+π4＝所以sin2α＋sin2α＝－725＋?721012．(多選)已知0<β<α<π4，且sin(α－β)＝13，tanα＝5A．sinαcosβ＝512B．sinβcosα＝1C．sin2αsin2β＝572D．α＋β＝π解析：選ABD.由sin(α－β)＝13?sinαcosβ－sinβcosα＝由tanα＝5tanβ?sinαcosα＝5sinβcosβ?sinαcosβ由上兩式解得sinαcosβ對(duì)于C：sin2αsin2β＝2sinαcosα×2sinβcosβ＝4×112×512對(duì)于D：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋sinβcosα＝12，所以α＋β＝π6＋2kπ(k∈Z)或者α＋β＝5π6＋2kπ(k∈Z)，又因?yàn)?<β<α<π4，所以α＋β∈0，13．已知cosθ+π4＝1010，θ∈0解析：由題意得cos2θ+π4＝1+cos2θ+π22因?yàn)閏osθ+π4＝10所以0<θ<π4，0<2θ<π2，所以cos由兩角差的正弦公式，可得sin2θ?π3＝sin2θcosπ3－cos2θ答案：4?314．(2024·溫州模擬)若cos2α＝2cosα+π4，α∈(0，π)，則sin2α＝________，tan解析：由cos2α＝2cosα+得cos2α－sin2α＝2(cosαcosπ4－sinαsin即(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝2當(dāng)sinα＝cosα?xí)r，α＝π4，sinα＋cosα＝當(dāng)sinα≠cosα?xí)r，sinα＋cosα＝2.對(duì)sinα＋cosα＝2兩邊平方，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝2，化簡(jiǎn)得2sinαcosα＝1，即sin2α＝1，由2sinαcosα＝1，得2sinαcos整理得tan2α－2tanα＋1＝0，解得tanα＝1.答案：1115．(人教A版必修一P255)證明：(1)sin2α+βsinα－2cos(α＋β)(2)3?4cos2A+cos證明：(1)左邊＝sin＝sin＝sinα+βcos(2)左邊＝3?4cos2A+2cos2【創(chuàng)新拓展題】16．(2024·天津南開(kāi)模擬)魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率π約等于355113，和真正的值相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破．若已知π的近似值還可以表示成4sin52°，則A．－18 B．－C．8 D.1解析：選A.將π＝4sin52°代入1?2cos27°π16?π2，可得1?217．(2024·河北邯鄲二模)正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的五角星中，以A，B，C，D，E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，設(shè)∠CAD＝α，則cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＝________，cosαcos2αcos3αcos4α＝________．解析：正五角星可分割成5個(gè)三角形和1個(gè)正五邊形，5個(gè)三角形各自角度之和為180°，正五邊形的內(nèi)角和為180°×(5－2)＝180°×3＝540°，每個(gè)角為540°5＝三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為180°－108°＝72°，則三角形頂角，即五角星尖角為180°－72°×2＝36°，即∠CAD＝α＝36°.cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＝cos36°＋cos72°＋cos108°＋cos144°＝cos36°＋cos72°＋cos(180°－72°)＋cos